MA

La tangente à la développante est parallèle à ta normale principale de la ligne primitive. L'angle dra tangentes en A et on A' est donc égal à celui qui au N" 77 a été appelé ç, et l'on a

Relativement aux développantes la ligne primitive étant une déve-

loppéc, l'ang-le Jps [ilani, usculatems en \ 1 1 V k k développante considérée est égal, par la pmposition établie au N" i4a, à la variation que subît l'angle des plans osculateurs de la développante et de la ligne primitive quand on passe du pomt M de cette derniève au point M'. Or nous avons \u au numéro préwjdent que l'ang^le des plans osculateurs de la développante et de la li§;ne primitive est le complément de l'ang-le é Un a donc h = H'i- Soient maintenant R le rayon du courbure et S le rayon de torsion au point A ; les trois formules précédentes donnent

/{ = MA lim -, ^ = MA lim — .

î Aï

On voit par ces égalités que les rayons de courbure et de torsion sont proportionnels à la distance MA.

L'expression trouvée pour R se déduirait aussi de la remarque qui termine le précédent numéro, cav de cette remarque il résulte

-fl = MA siuîi ,et la relation tang)J^Um-(i47) donne sin]^^ lim-.

*151. Arête de rebroassement de la surface rectifiante. Les droites rectifiantes étant les tangentes de cet arête, son angle de contingence est l'ang-le des rectifiantes en M et M'. Ces droites font avec la courbe primitive, en ces deux points, des aogles )i et X H-iiJ. I* développement de la surface rectifiante ne change point ces angles, et comme il transforme l'arc MM' et toute la courbe en une droite, l'angle des deux rectifiantes devient \'i ensuite de la propriété de tout angle extérieur d'un triangle rectiligne de valoir la somme des deux intérieurs non adjacents. L'angle de contingence cherché est donc iy , puisque le développement n'a altéré l'angle des deux rectifiantes que d'une fraction de lui-même infiniment petite (102).

Non seulement les droites rectifiantes sont tangentes à l'arête qui nous occupe, mais les plans rectifiants lui sont osculateurs. Le plan osculateur de l'arêle se confond par suite (i44) avec le plan normal des développantes. Et le plan osculateur d'une développante, étant perpendiculaire à !a droite rectifiante (i4c))i est parallèle au plan normal de l'arête. Les aagles de contingence et de torsion de cette

li^ne suLit le 1 is Lpau\ respectivement aux ang'les de torsion et do cuntins'ence des développantes, ce qui fait que les valeurs en soiit etnte.s au piecedent numéro.

Et comme la surface rectifiante est la surface polaire des développantes il aurait suffi [ our montrer que les angles de contingence et de toisiott le laiétu d la surface rectifiante sont réciproquement éoauY a ceu\ des développantes, d'invoquer la seconde des deux proposition lu N" ii

appelons p la distance MP du point M de la ligue primitive au point cones[ondant P de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante P étant le point de cette arête qui correspond au point M njus posuons M P =p + a/). En se fondant sur ce que MP et M P qui sont tangents en P et en P' à l'arête considérée font entre eux un angle égal a i^ d'après ce qu'on a vu tout à l'heure, et se souvenant que la plus courte distance de deux tangentes infiniment voismes est dun oidre supérieur à celui de l'arc qui sépare leurs points de contact le k teur trouvera sans aucune peine A-s,sin^

Pour l'arc PP' de l'arête il obtiendra

arc PP' — A/) + is cosii

ou quelque autre expression équivalente; mais celle-ci se démontre sur la figure avec une grande facilité.

*152- De quel côté du plan osculateur se trouve le point Pï Ceci dépend entièrement de l'angle ij , de l'angle aigu que fait la tangente avec la droite rectifiante, selon qu'il est croissant ou qu'il est décroissant. Que l'on détache un petit arc IK comprenant le point M; ses extrémités l et K sont situées de part et d'autre du plan oscuiateur en M, et nous allons reconnaître que, par rapport à ce plan, le point P se voit du même côté que 1 si V est en 1 plus grand qu'en K, et du même côté que K par conséquent si le contraire a lieu, l'arc étant pris assez petit pour que, de l'une h l'autre de ses extrémités, ï varie constamment diins le même sens.

Lemme. Soient les plans AO, AQ (fig'. g;)) respectivement parallèles aiix plans osculateur et rectifiant en M, donc à angle droit l'un sur l'autre, et AT leur intersection, parallèle à la tangente. Soient AT' et AR' parallèles, le premier à la tangente et l'autre à la droite rectifiante en M' : le plan R'AT' est parallèle au plan rectifiant en ce même point. Soient enfin AB t'interseclion des plans AO, R'AT', dont l'angle est droit à la limite, et A/"' la projection de AR' sur le plan AQ. L'angle R'AT' est la valeur de)i au point M' ; appelons cette valeur ï -4- iï, iï étant ici susceptible de signe. L'inclinaison de AT' sur le plan AO est, cQmme on sai!, du second ordre; il en est alors de même de l'angle T'AB, qui, eu tant qu'infiniment petit, est égal à celte inclinaison. Partant, l'angle R'Alï, au second ordre près, vaut K + iï -

Les plans AQ et R'AB sont parallèles aux plans rectifiants en M et M'; leur angle est donc du premier ordre. La différence des angles R'AB et r'AT, dont le second est la projection du premier sur le plan AQ, est en conséquence du second ordre (55), et cela fait qu'au second ordre près on a r'AT = Jj + Aï .

Si donc dans le plan AQ on tire AC de façon à avoir CAT=R' AT' ^^ ii + i!J I l'angle CAr' est du second ordre. Or R'Ar' est du second ordre aussi parce que le plan AQ est parallèle au plan osculateur en P à l'arête de rebroussement de la surface rectifiante, et que AR' est parallèle à la tangente en P' à cette arête. Il suit de îà que l'angle R'AC est d'un ordre supérieur au premiei'.

Remarque préliminaire. Dans le triangle ABC (fig. loo) on suppose les angles A et B finis de même que les câtés qui leur sont opposés, et l'angle C avec le côté AB sont supposés infiniment petits du premier ordre. Supposons en outre qu'une droite UV fasse avec BG un angle du second ordre, et que la distance du sommet B à cette droite soit du second ordre pareillement. Si H et G sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur UV de A et de C, CG est plus petit que AH comme étant du second ordre tandis que AH est du premier. Il suit de là que celle située sur AC des deux extrémités de la commune perpendiculaire aux deux droites AG et UV se trouve, par rapport à A, du même côté que le point C.

— im —

Tout ceci posé prenons la courbe et plaçons-la de telle sorte que le rayon de courbure en M soit dans le fii-d-plomb et que le plan osculateur soit en face de nous; cette disposition facilitera le discours. A partir de M le plan osculateur nous cache la courbe d'un côté, nous la laisse voir de l'autre, et l'on prendra le point M' du côté où elle se montre, que, pour fixer les idées, nous supposerons être à droite de M. Alors on verra la partie antérieure de la rectifiante obliquer vers la droite {*), ce qui fait que si sur cette partie on marque un point F (fig-. loi), et un point T sur la tang'ente à droite de M, l'ang-le TMF est ai§;u et conséquemment n'est autre que ï . Sur la partie antérieure de la rectifiante en M' marquons un point F', abaissons M'D perpendiculaire sur MT, et dans le plan TMF, qui est le plan rectifiant en M, tirons DE de telle façon que l'angle TDE soit égal à T'M'F', donc à 3 + ij( ; les droites MF et DE se coupent quelque part, étant tracées dans un même plan.

La distance M'D est du second ordre, et d'après le lemme ci-dessus l'angle des directions M'F' et DE est du second ordre aussi, car il est l'analogue de l'angle R'AG de la figure 99. On amène donc M'F' sur DE par une translation et une rotation du second ordre toutes deux. Dès lors, ensuite de notre remarque préliminaire, l'extrémité située sur MF de la commune perpendiculaire à MF et à M'F' est du même côté de M que l 'intersection de MF avec DE. Comme cette extrémité est infiniment voisine du point P, le point P se trouve sur MF du côté de M où MF est coupé par DE, Tout est donc ramené à savoir de quel côté de M la rectifiante est rencontrée par la droite DE.

Rédidte à ces termes, la proposition énoncée en commençant est évidente, car DE coupe MF dans la région antérieure, donc du côté du plan osculateur où se trouve M', si l'angle TDE surpasse l'angle TMF, c'est-à-dire si l'angle g a crû de M à M'; et la rencontre a lieu dans la rég-ion postérieure si au contraire le premier de ces deux

(*j G et C' étant les centres des ceiides oscillateurs en M et en M', soït MI parallèle â M'C et de même direction : Ml est au-dessous du plau rectifiant en M, en avant du plan osculateur, et à gauche du plan normal, d'oii il suit que le plau CMI, à partir de son mtersection MG avec le plan oscolateor, tire vers la gauche dans sa partie antérieure ; et voilà pourquoi la rectifiante, qui est noj-mal en M à la limite du plan CMI, oblique, elle, vers la droite.

ang'les est moindre que le second, donc si l'unglfi "i csl (dus petit c

Propriété caractéristique de la droite rectifiante.

153. De toutes les droites qu'on peut conduire par M, /a rectifiante est la plus également inclinée sur les tangentes en M et en M'; et la différence des angles que cette droite fait avec les deux tangentes est infiniment petite en comparaison de la même différence relative à toute autre droite menée par M.

MT et MT' étant la taii§;ente en M et la parallèle à la tangente en M' tirée de M, soit Ml une droite dirigie à volonté. Posons

angle TMI = a, angle T'MI = n + «;

il s'agit de montrer que la valeur que revêt a lorsque MI coïncide avec la droite rectifiante et infiniment petite comparée à la valeur qu'il prend dans tout autre cas.

Les trois droites MT, MT', Ml peuvent être envisag'ées, à partir de M, dans deux directions différentes, et il sera bon d'avoir précisé, pour chacune de ces droites, la direction que nous choisissons. Nous appellerons comme jusqu'ici MT celle des deux directions de la tangente en M qui fait un angle aigu avec la corde MM' considérée comme tirée de M vers M'; et nous appellerons MT', MI celles des parties des deux autres droites qui sont situées, par rapport au plan osculateur en M, du même côté que le point M'. Alors l'angle TMT' sera égal à e.

Désignons par A le dièdre dont l'arête est MT et qui est formé par les deux plans TMI, TMT': ce dièdre étant, dans le triédre MITT', opposé à l'angle plan BIT' ou a -\- a, une formule de la trigonométrie donne

cos (« + «)=: cos a cos s -H sin a sin e cos A, d'où, à cause de cose^ i — asinV-

(i) cos a — cos (a -i- a) =^ acosasin^-s — sin (î sine cos A. Or une autre formule donne

Au premier memlire de (i) substituons sa valeur (2). Dans l'ég-alilé ainsi obtenue 00 n'altère le premier membre que d'une quantité d'ordre supérieur au sien si l'on j remplace sin {a ■+- ^a) par sina et sin-apar„K. Divisant en outre par sin a, il vient (3) « — 2 cotga sin^îs — sin; cosA,

et il s'ag'it de déterminer l'ordre infinitésimal du second membi* de cette équation,

A cet effet supposons d'abord que MI ne soit pas situé dans le plan rectifiant; alors, comme le plan TMT' tombe à la limite dans le pian osculateur, l'angle A est différent d'un droit, son cosinus ne tend pas vers zéro, et par conséquent sinscosA est du premier ordre. Mais 'autre terme du second membre de l'équation (3) est du deuxième ordre. Donc a est du premier. Ainsi a est du premier ordre toutes les fois que la droite MI n'est pas contenue dans le plan rectifiant. Supposons maintenant la droite MI contenue dans ce plan. L'inclinaison du plan TMT' sur le plan osculateur étant égale à 5ï] (61) et ce dernier plan passant par MT, l'angle A, dans le cas qui

nous occupe, est ég'al à g^; alors on a

cosA^sin-ïf ou cosA=;^jj,

Rcmplai;ant en outre sin s et singE par £ et -t, l'équation (3) devient

et chacun des deux termes du second membre n'est l'autil' que d'une quantité d'ordre supérieur au deuxième. Cette valeur de a. est du second ordre si les deux termes ne sont pas des infiniment petits égaux,

par conséquent toutes les fois que l'on n'a pas tang«^ lim-. Or lim-est la valeur de tanga relative à la droife rectifiante (i^-]). Si

donc MI est situé dans le plan rectifiant sans 6tro la droits^ rectifiante, a est du deuxième ordre.

Mais si Ml se confond avec cette droite, les deux termes du second membre de la dernière équation, étant des infiniment petits égaux, « est d'un ordre supérieur au deuxième, ce qui achève de démontrer la proposition énoncée (*). Sur elle sera basée l'étude du cône rond osciUateur de la surface Heu des tangentes.

Au moyen de la proposition qui fait l'objet du N" 83, et en remarquant que la cotangente de l'inclinaison de la rectifiante sur la

binormale vaut -, on reconnaîtra, par la même marche exactement,

que la rectifiante jouit aussi de cette propriété relativement à la binormale, que de toutes les droites elle est la plus également inclinée sur deux binormales infiniment voisines.

Le cône rond osculateur le long d'une génératrice à la surface lieu des tangentes.

154. Sur la tang-cnte M'T' au point M' soit A (fig. loa) un point pris à une distance finie de M', Il suit de la proposition établie au numéro précédent, ainsi qu'on va le reconnaître, que le cône rond qui a pour axe la rectifiante au point M et dont la tangente MT est une génératrice passe infiniment plus près de A, donc de la tangente M'T' dont A est un point quelconque, que ne le fait tout autre cône rond de sommet M. C'est-à-dire que le cône qui a pour axe la rectifiant* est osculaf«ur à la surface lieu des tangentes le long de sa génératrice MT(**).

Le plan osculateur en M à la ligne primitive est tangent à un cône de sommet M passant par MT, ou ne lui est pas tangent, selon que l'axe du cône a été pris dans le plan rectifiant ou en dehors de ce plan. Dès lors comme la distance du point A au plan osculateur est

(*) Aa sujet de cette proposition, que je renais de donner dans les Nouoelles Annales de Mathématiques ()873| , Eugène Catalan, titulaire alors de la chaire d'Analyse à l'uiiiversité de Liège, m'a fait observer qu'elle exprime une propriété caractéristique des lignes géodésiques dans les surfaces développables ; car les lignes géodësiques d'une surface dércloppable étant toutes transformées en droites par le développement de la surface, les génératrices d'une surface développable sont les droites recUfiantes des lignes géodésiques qu'on peut tracer sur elle.

(**j Cf. de Sainl-Vmant, Mémoire cité, N" 2o.

du second ordre, le cône passe infiniment plus près de lui dans le premier cas que dans l'autre. Nous supposerons donc l'axe do cône dans lo plan rectifiant. MK étant une droite située dans ce plan, nous considérons le cône rond dont cotte droite est l'axe et dont la tang'cntc MT est une g;énératrice.

Soient :

MB la parallèle à la tang'ente M'T' menée de M;

MG, des deux §;énératrices suivant lesquelles le plan KMR coupe le cône, celle qui fait avec MB un angle infiniment petit ;

MD, des deux génératrices selon lesquelles le plan KMA coupe le cône, celle qui fait avec la droite MA un ang^le infiniment petit. MD est, des génératrices du cône, celle qui passe le plus près du point A de la surface lieu des tangentes.

L'angle KMG étant égal à l'angle KMT puisque MC et MT sont deux génératrices, et la droite MB, parallèle à la tangente en M', étant dans le plan du premier de ces deux angles, l'angle BMC est la différence des inclinaisons de MK sur les tangentes en M et en M'. Cet angle est donc, d'après le numéro précédent, d'un ordre supérieur au second ou du second ordre seulement selon que MK coïncide ou non avec la rectifiante. Or on va montrer que les angles BMC et AMD sont tous deux du second ordre ou tous deux d'ordre supérieur au second. 11 en résultera que l'angle AMD est, comme l'angle BMC, d'un ordre supérieur au aeconi ou du second ordre seulement selon que MK est ou n'est pas la rectifiante pai quoi U piopo ition se trouvera démontrée.

Le plan BMA contient la ting nf M T puis jue BM est parallèle à cette tangente, dont A qui est s tué dans ce plan est un joint Contenant la tangente en M a U combe primitne et le pomt M il se confond à la limite a^et. le plan osculateui en M par la defaniiiDn même du plan osculateui (4i) donc ivec uelui au point M

Le plan GMD aussi se confond la limite avec le plan osculateur puisque MC et MD sont deux generatnces du cône infiniment voisines de la génératrice MT, pai quoi k plan C\ID est à la limite tangent au cône suivant celte dernière génératrice t pui que 1 a\H du clne est dans le plan rectifiant pai quoi lo plan tangent au cône sunant MT est le plan osculateur.

Les plans BMA (*) et CMD se confondant par conséquent à la limite, les ang-les BMA, CMD, qui sont les intersections du dièdre BMICA par ces deux plans, ont l'unité pour limite de leur rapport. Or !a distance du point A à la droite MB, qui est parallèle à la tangente M'A, étant précisément ég'ale à la distance de M à cette tangente, et cette dernière distance étant du second ordre (i5), l'angle BMA est du second ordre. Ainsi les angles BMA, CMD sont deux infiniment petits égaux du second ordre.

1*3 deux faces de ce dièdre BMKA tondent à se joindre au plan rectifiant puisque MK, par hypothèse, est une droite de ce plan, et que MA et MB finissent par se réunir à MT, qui en est une autre. Les angles BMC, AMD, respectivement situés sur ces deux faces, tendent donc à tomber dans le plan rectiftanl.

En résumé donc, d'une part les angles BMA et CMD sont des angles du second ordre, égaux comme infiniment petits, situés à la limite dans le plan osculateur, et d'autre part les Emgles BMC, AMD tendent à tomber dans le plan rectifiant. De ces deux derniers angles le premier est d'un ordre supérieur au second ou du second ordre seulement selon que MK est ou n'est pas la rectifiante, et nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour montrer que le second est, avec lui, du second ordre ou d'un ordre supérieurj ce qui est le but que nous avons en vue.

Les droites MA, MB, MC, MD tendant toutes quatre à se réunir à MT, un plan perpendiculaire à celte tangente les coupe respectivement en des points «, b, c, cl tels, que les longueurs ba, cd, bc, ad sont proportionnelles aux angles BMA, CMD, BMC, AMD, par quoi ba, cd sont des grandeurs du second ordre, hc une grandeur du second ordre ou d'un ordre plus élevé, et tout est ramené à montrer que hc et ad sont ensemble du second ordre, ou ensemble d'un ordre plus élevé. Or il suit de la construction et de notre résumé de tout à l'heure que ba et cd sont parallèles entre eux à la limite, et au plan osculateur; que bc et ad sont parallèles entre eux et au plan rectifiant, et alors le quadrilatère hcda (même figure loa) tend à devenir un rectangle. Tirons la diagonale ca. Si bc est du second ordre, les

(*) Drtns la liçiiri? licej- en pensée la <Iroile MA, qui y a été omise.

aiifi;Ies c et « du triaug-le abc sont finis puisque ha et bc sont alors (le m6mo ordre, par quoi leur rapport est fini. Le rapport des angles « et c du triangle adc, respectivement égaux aux deux angles que l'oQ vient de considérer, est dès lors fini, donc aussi celui des côtés ad et cd de œ triangle, par quoi ad est du second ordre comme cd. Mais si hc est d'un ordre supérieur au second, donc à l'ordre de ba, l'angle hac tend vers zéro, donc aussi l'ançle acd à cause du parallélisme final de ba et cd, el alors le même rapport, celui des longueurs ad et cd, tend vers zéro. Par là ad est infiniment petit comparé à cd, donc d'ordre supérieur au second.

155. Nous supposons maintenant que MK est la droite rectifiante. Par un point E (fig. io3) de MT menons un plan perpendiculaire à cette droite. Ce plan contient la normale en E à la surface lieu des tangentes puisque la droite MT, dans toute son étendue, donc aussi au point E, est tangente à la surface. La section qu'il détermine sur la surface est donc une section normale au point E. Appelant S le point où elle est traversée par la rectifiante, la droite ES est la normale en question en tant que perpendiculaire à MT el située dans le plan rectifiant en M à k ligne primitive, par quoi elle est perpendiculaire en E au plan osculateur, lequel est tangent en ce point à la surface, comme il l'est dans toute l'étendue de MT. Menons encore par le point E un plan perpendiculaire à la rectifiante; il est traversé par celte droite en un point que nous nonuneronsV, il coupe le plan osculateur en M à la ligne primitive selon une perpendiculaire à MT, el la section qu'il détermine sur la surface lieu des tangentes est une section oblique au point E, le plan sécant ne contenant pas la normale ES. Enfin ce plan coupe le cdne rond osculateur le long de la tangente MT selon un cercle de centre V et de rayon VE. Or les centres de courbure des deux sections au point E sont, on va le reconnaître, les points S et V.

Considérons en premier lieu la section oblique. Le plan de cette section coupe la tangente M'T' en un point que rien n'empêche d'être le point A du numéro précédent, pnisque A était un point quelconque de cette tangente. Il coupe en un point F {fig. io3) la génératrice MD du cône siluée d.nns le plan KMA, el. de toutes les génératrices du

cône celle qui passo le plus près de A. La long'ueur AF est d'ordre supérieur au second parce que c'est là le cas de l'angle AMD quand MK est la rectifiante (voir le numéro précédent), et parce que le point F est sar la droite MD. Or AF est la distance du point A de la section oblique au cercle selon lequel le cône est coupé par le pian de cette section. Dès lors, comme AE est du premier ordre puisque l'ang^le des tangentes MT, M'T', sur lesquelles sont les points E et A, est du premier ordre, ce cercle est le cercle osculateur de la section oblique en son point E. V et VE sont le centre et le rayon de courbure de la section en ce point.

Venons en maintenant à la section normale.

Remarque préliminaire. — Concevons une section faite par un plan quelconque dans la surface lieu des tangentes. Les plans osculateurs de la ligne primitive, en leur qualité de plans tangents à la surface tout le long d'une génératrice, sont tangents à la section, dont les tangentes sont, par suite, les intersections du plan sécant par ces plans osculaleura. Dès lors, si est un point de la section et que, parO, onmèneune parallèle à la bi normale qui correspond au point 0, c'est>é-dire qui correspond à celle des tangentes de la ligne primitive sur laquelle est le point 0, la projection de cette parallèle sur le plan sécant sera la normale en à la section, puisque les binormales sont perpendiculaires aux plans osculateurs, ce qui fait que la projection sera perpendiculaire à l'intersection des deux plans, le pian sécant et le plan osculateur, c'est-à-dire à la tangente à la section.

Ceci acquis, supposons le plan sécant perpendiculaire à MT, donc parallèle au plan normal en M. Soit E' (fig. io4) le point où M'T' est coupé par le plan sécant, qui coupe MT au point E. Par E et E' menons EH et E'H' parallèles respectivement aux binormales en M et M': ces parallèles font entre elles l'angle v, c'est-à-dire l'angle des plans osculateurs en M et M'. EH est situé dans le plan sécant et est la normale à la section en .son point E. La projection E'I de E'H' sur le plan sécant est, d'après notre remarque préliminaire, la normale en E' à la section, et la limite de l'intersection J des deux normales est le centre de courbure de la section en son point E. Or l'angle que fait E'H' avec sa projection E'I sur le plan sécant est du second ordre en tant qu'égal à Tinclinaison de la binormale en M' sur le

— 177 ~ plan normal en M, laquelle est du second ordre (Sa), et il suit de là que l'angle EJB' e8tég;ai, en tant qu'infiniment petit, à l'angle de EH et E'H', donc à «. Gonséquemment si l'on nomme r le rayon de courbure do la section en son point E, c'est-à-dire la limite de la longueur EJ, on a EE' =^ ru puisque EJ est normal au plan osculateur et que l'arc EE' est langent à ce plan. Mais cet arc étant perpendiculaire à MT, il est égal encore au produit de l'angle z des tangeoles MT, M'T' par la longTieur ME. La valeur de r que fournît la relation

que l'on obtient en égalant ces deux expressions de EE' est ;■ = ME-. Le rapport - étant la tangente de l'angle que fait MT avec la rectifiante (147), cette valeur de r est égale à la partie, comprise entre la tangente et la rectifiante, de la perpendiculaire élevée en E à la tangente. La limite de J est donc sur la rectifiante, et le point S de la figure io3 est le centre de courbure, au point E, de la section faite dans la surface Heu des tangentes par le plan perpendiculaire en E à la tangente MT.

Le rayon r tend vers zéro quand on fait tendre le point E vers M. Il est dès lors nul au point M, ce que nous savions déjà par leNogi.

156. Les deux résultats obtenus dans le numéro que l'on vient de lire se déduisent l'un de l'autre à l'aide du théorème de Meusnier (*) qui consiste en ce que si par une tangente à une surface on mène deux plans, l'un normal à la surface et l'autre oblique, le rayon de courbure de la section oblique au point de contact de la tangente avec la surface est la projection, sur son plan, du rayon de courbure de la section normale au même point.

D'après cette proposition le rayon de courbure de la section normale est le rayon de courbure de la section oblique divisé par le cosinus de l'angle des deux plans sécants, ou, ce qui revient au même, de l'angle des deux rayons. Ayant obtenu BV, fig. io3, pour rayon de courbure, en son point E, de la section perpendiculaire à MK, celui de la section normale s'obtient donc en divisant EV par le cosinus de l'angle VES, ce qui donne bien ES, puisque l'angle EVS est droit.

(*) Mémoires de math, et tic phijs, pràssnlés à l'Acad. des se. (de Parts),, t. X,

* Voici, du théorème de Meusnier une démonstration dont j'emprunte le principe aux Eléments Ip falcul i ifinitésimal de Du hamel.

BAC et DAE (fig. io5) étant dejx section la première noimaie et l'autre oblique, faites par ietiY plans meufs suivant une même tangente en un point A d'une suiface soient B G D E les points où elles sont eoupées par un plan j aiallèle au plan tancent en A à la surface. Soient AP, AQ les normales en A auï deux sections P et Q étant les points où elles rencontrent les cordes BC, DE, elles coupent ces cordes à angles droits, l'angle APQ est droit, et l'angle PAQ est celui des plans des deux sections. Concevons que le plan BCED se rapproche indéfiniment du plan tangent en A en lui restant constamment parallèle. (Considérant l'arc BAC comme du premier ordre, AP est du second, donc aussi PQ puisque l'angle PAQ est fini, et alors les cordes de nos deux arcs, donc les arcs eux-mêmes, sont des infiniment petits égaux.

Appelant p et f,' les rayons de courbure, au point A, des arcs BAC, DAE respectivement, on a (N" 34, Remarque), ces aix;s étant égaux,

~rr ^ ~ . Appelant m l'angle des plans des deux sections, le premier

e de cette relation vaut cosw puisque l'angle APQ est droit.

L'angle triédre de la tangente, de la biiiormale, et de la normale principale.

157. Pour introduire la notion de l'axe instantané de rotation, l'intelligence de cet article exigeant que le lecteur la possède, représentons-nous une surface polyédrale dont les arêtes soient les côtés, indéfiniment prolongés de part et d'autre, d'une ligne polygonale, que noo.s supposerons inscrite dans une courbe non plane (telle est la surface que monti'e la figure 68, tracée pour la lecture du N" io8), et concevons qu'un plan roule sur elle sans glisser. Couché d'abord sur l'une des faces de la surface polyédrale et prenant pour axe de rotation l'une des deux arêtes par lesquelles cette face est bornée, le

plan tourne autour de celte arête et vient se poser sui deux faces qu'elle limite, ayant tourné de l'angle des plans de ces deux faces. Prenant maintenant pour axe de rotation l'arête suivante, le plan vient de même se poser sur une troisième face, ayant tourné de l'inclinaison de cette nouvelle face sur celle qu'il vient de quitter. Et ainsi de suite. Faisons croître indéfiniment le nombre des sommets de la lig^ne polygonale, et cela de telle sorte que la distance de deux d'entre eux consécutifs quelconques tende vers zéro : l'angle de deux arêtes est celui de deux faces consécutives de la surface décroîtront sans autre limite que zéro. Il en sera de même des angles dont le plan roulant tournera autour de chaque arête pour passer d'une face à la suivante, et, par conséquent, des durées des rotations correspondantes. A la limite les arêtes, devenues les tangentes d'une courbe non plane, seront des aœes instantanés de rotation pour le plan roulant sur la surface heu de Les tanffentei

Si deux surfaces i vl'ndnques ou si deux sm faces coniques roulent l'une sur l'autre de ta^on à se touchei constamment le long^ d'une g'énératriee, cette génératrice de contac» sera à tout instant, pour l'une et pour l'autre surtaco, un axe instantané de lotation.

158. Quand on étale sur un plan la surface rectifiante la courbe se transforme en droite; ses tangentes viennent toutes se ranger dans une droite unique et ses plans osculateurs dans un plan unique; ses biaormales se disposent toutes dans un môme plan en droites parallèles entre elles, et ses normales principales pareillement. Tel est l'effet du développement de la surface rectifiante. Or ce développement consiste en une série de rotations instantanées autour des géné-

al d 1 u 1 r autour des diverses droites rectifiantes.

A n p n tat n n tantanée autour de la droite rectifiante en "\I la t n4( t t 1 pi osculateur en ce point viennent s'appliquer

u I t ng nt t I pi n osculateur en le point infiniment voisin M pa [U la n n al p incipale et la binormale en M viennent se ranget paiallélement à !a normale principale et à la binormale en M'. Cette observation conduit à un théorème remarquable qui actuellement va nous occuper.

159. Soient oabc, oa'b'c' deux positions d'un angr'e trièdre de sommet o, mobile autour de ce sommet, que l'on supposera fixe. Les plans bissecteurs des angles aoa' , bob', coc', perpendiculaires respectivement aux plans de ces angles, se coupent suivant une même droite passant par o, et une simple rotation autour de cette intersection commune des trois plans porte, on le voit, l'angle trièdre de l'une à l'autre des deux positions.

Considérons mainteaant un arc quelconque d'une courbe non plane. Par un point menons des parallèles à toutes ses tangentes, à toutes ses binormales, à toutes ses normales principales, à toutes ses droites rectifiantes; nous formerons par là quatre cônes ayant tous le point pour sommet. Ils seront appelés T, B, P, et R, respectivement. Soit M l'origine de l'arc considéré, et soient Ot, Ob, Op, Or, les parallèles menées par à la tangente, à la binormalc, à la normale principale, à la droite rectifiante, du point M : le plan tOb est parallèle au plan rectifiant en M, et il est tangent au cône R suivant Or (ioo). Concevons que l'on fasse rouler le plan tOb sur le cône R, après lui avoir invariablement lié les trois droites Ot, Ob, Op : ces droites seront entraînés dans son mouvement, et elles parcourront, respectivement, les cônes T, B et P. Nous allons établir cette propriété du cône l\.

Il est évident d'abord que la droite Op parcourra le cône P, car soitN un point quelconque de l'arc considéré: lorsque le plan roulant tOb sera devenu tangent au cône R suivant la parallèle menée parO à la droite rectifiante eu N, il sera parallèle au plan rectifiant en N, et dès lors la droite Op sera devenue parallèle à la normale principale en N, et coïncidera conséquemment avec celle des droites menées par qui a été tirée parallèlement à cette normale.

Puisque Op décrit le cône P, Ol ne saurait évidemment décrire le cône T sans que Ob décrive le cône B, et réciproquement.

Soient Ot', Ob', Op' les paraîièles menées par à la tangente, à la binormaie, à la normale principale, en M'. Les deux angles trièdres Otbp, Ot'b'p' sont identiques, on les peut donc fEiire coïncider. Comme d'ailleurs ils sont de même sommet la coïncidence s'obtiendra au moyen d'une rotation autour d'un axe passant par le sommet commun, et cet axe est un axe instantané de rotatien si l'angle trièdre

Otbp doit passer successivement par une série de positions de sommet infiniment voisines dont Ot'b'p' serait ia première. Nous allons chercher quel est c«t axe instantané, et nous trouverons qu'il n'est autre que la droite Or(*).

D'abord, pour amener la droite Ot à coïncider avec la droite Ot' il faut nécessairement prendre l'ase do rotation dans le plan bissecteur de l'angle de ces deux droites. Appelons A ce plan. 11 est perpendiculaire à celui de l'ang^Ie, donc, à la limite, au plan osculateur en M, auquel le plan de ran§:le tend à devenir parallèle. Et puisque le plan A renferme la bissectrice de l'ang'le des deux droites et que celles-ci tendent à se confondre, il contient Ot à la limite. Il finit dès lors par se confondre lui-mÈme avec le plan tOb, qui est perpendiculaire au plan osculateur et qui contient Ot. Ainsi , déjà, l'axe instantané dont nous cherchons à déterminer la position est situé dans le plan tOb.

La condition que Ob doit venir se placer sur Ob' nous aurait conduit sans plus de peine à ce résultat. Le raisonnement eût ét^ fondé sur ce que le plan de ces deux droites, d'après ce qu'on a vu au N" 82, est parallèle à la limite au plan normal en M, qui l'est, lui, au plan eOp.

Considérant les deux droites Op, Op', soit OU une normale à leur plan et soit OV la bissectrice de leur ang^le. Pour amener Op' à coïncider avec Op on est obli§:é de prendre l'axe de rotation dans le plan UOV, qui est !e plan bissectem de l'angle des deuv droites. Or OV iînit par se confondre avec Op puisque l'anjS^îe pOp' est nul à la limite, et quant à OU il fait un an^lc mfiniment petit avec Or (i47). L'axe instantané de rotation est en conséquence situé dans le plan pOr. Ce plan coupe le plan tOb, dans lequel aussi on a vu que se trouve l'axe, suivant la droite Oh. L'axe instantané de rotation cherché se confond par conséquent avec Or.

Ce point acquis, marquons sur l'arc considéré une suite M, M', M", etc., de points tels que chacun d'eux soit très voisin du suivant. Soient Ot, Ot', Ot", etc., Ob, Ob', etc., Op, Op', etc., les parallèles

(*) Voir dans le recueil Ai-chh der Mathematik und Physik, Theil 86, 1874, le trarsil du D' Hoppe inlitulé Prînsipien der analytîschen Cufventheofie.

~ 182 — menées par aux tangentes, aux binormales, aux normales principales, en M, M', M", etc. Proposons-nous de faire coïncider l'angle triédre Otbp successivement avec les ang'les trièdres Ot'b'p', Ot"b"p'', etc. : ces coïncidences pourront être réalisées au moyen de simples rotations autour d'axes successifs Oq, Oç>', etc. ; or Oq fait un angle très petit avec le plan tOb, puisque, d'après ce qu'on a vu tout à l'heure, il se confondrait à la limite avec Or si l'are MM' était infiniment petit, et que Or est situé dans le plan tOb. De même, Oq' fait un angle très petit avec le plan t'Ob', et ainsi de suite. Il résulte de là que le plan tOb, lorsqu'il vient coïncider successivement avec les plans t'Ob', t''Ob°, etc., tourne chaque fois autour d'un axe qui fait avec lui un angle très petit. Concevons que chacun de ces axes de rotation soit double, c'est-à-dire formé de deux droites coïncidentes, l'une desquelles sera fixe, tandis que l'autre deviendra liée au plan tOb aussitôt qu'il aura tourné autour d'elle, et par conséquent sera entraînée dans son mouvement lorsqu'il tournera autour des axes suivants : les droites fixes sont les arêtes d'une surface pjTamidale H, et, lorsque le mouvement sera achevé, les droites mobiles seront les arêtes d'une surface pyramidale K dont les faces sont respectivement égales à celles de la surface H, et dont les arêtes font toutes des angles très petits avec le plan tOb dans sa dernière position. Effectuons maintenant le mouvement contraire, amenant l'angle triédre Otbp, qui est venu coïncider avec le dernier des angles trièdres, à coïncider avec l'avant-dernier, puis avec le précédent, et ainsi de suite, et enfin à reprendre sa position première, entraînant avec lui, pendant tout le cours de ce mouvement, la surface K : les diverses faces de K viendront s'appliquer l'une après l'autre sur les faces correspondantes de H, en sorte que le mouvement sera effectué par le roulement de la première de ces deux surfaces sur la seconde. Une fois ce mouvement achevé, les arêtes de K feront toutes de très petits angles avec le plan tOb dans sa position primitive. Si maintenant nous voulons de nouveau faire coïncider l'angle triédre Otbp successivement avec Ot'b'p', Ot"b''p'', etc., il suffira de faire rouler la surface K sur la surface fixe H. Ceci posé, augmentons indéfiniment le nombre des points de division M, M', M", etc., de l'arc de courbe i nombre des arêtes de la surface pyramidale H ira

croissant indéfiniment, et à la limite cette surface se confondra avec le cône R, puisque l'axe instantané de rotation est toajouvs une des génératrices de ce cône. D'un autre côté, la surface pyi-annidale K tondra à se confondre avec le plan tOb, puisque chacune de ses arêtes fait avec ce plan un angle aussi petit que l'on veut. Il est démontré par là que si l'on fait rouler le plan tOb sur le cône R, les droites Ot, Ob, Op décrivent respectivement les cônes, T, B et P.

160, Proposons-nous de trouver l'expression de ia rotation instantanée autour de Or qui porte l'ang'le trièdre Otbp sur Ot'b'p' infiniment voisin. Cette rotation a pour effet d'amener l'une sur l'autre les droites Op, Op', parallèles è deux normales principales infiniment voisines, et la droite Or, autour de quoi elle s'effectue, est perpendiculaire au plan limite de ces parallèles. La rotation considérée est par suite égale à l'angle de ces deux normales, angle dont l'expression a été obtenue au N" 77.

De l'hélice osculatrice.

I I. Notions préliminaires sur l'hélice.

161. Si sur une surface cylindrique on enroule un plan, une droite préalablement tracée sur ce plan se transforme en une ligne non plane qu'on appelle hélice. De cette définition et du N" 87, 2« alinéa, il résulte que les tangentes de l'hélice sont toutes également inclinées sur la section droite du cylindre. En d'autres termes, si par un point l'on mène des parallèles à toutes les tangentes de l'hélice, le cône dont ces parallèles sont les génératrices sera un cône de révolution ou cdne rond dont l'axe est parallèle aux génératrices du cylindre. Nous appellerons C ce cône.

Réciproquement, une courbe est une hélice si ses tangentes sont toutes également inclinées sur un même plan A. Que de chacun de ses points en effet, on mène une normale à ce plan; l'ensemble de ces normales constituera une surface cylindrique sur laquelle est tracée la courbe donnée. Que l'on développe le cylindre sur l'un de ses plans tangents : le développement n'altérant point les angles que les tangentes font avec le plan A, il transformera en une droite la courbe donnée, laquelle dès lors peut être tenue pour la trace d

sur un cyiindre par un plan sur lequel on aurait tiré une droite et que l'on aurait enroulé sur le cylindre avant que l'encre de la di'oite fût sèche, c'est-à-dire qu'elle est une hélice.

162. Les plans osculateurs de l'hélice sont (43) parallèles aux plans tangents du cône que nous venons de nommer le cône C. Ils font par conséquent avec la section droite du cylindre le même ang^le que les tang-entes. On peut encore énoncer cette proposition en disant que si l'on a rendu horizontal le plan de la section droite du cylindre, la tangente en un point de l'hélice est, sur le plan osculateur au même point, une ligne de plus grande pente.

163. La normale principale est perpendiculaire à 3a tangente et elle est contenue dans le plan osculateur. La normale principale en un point A de l'hélice est donc perpendiculaire à la direction de celle des génératrices du cône C qui correspond au point A, et elle est parallèle au plan tangent au cône suivant cette génératrice. Dès lors elle est perpendiculaire è l'axe du cône, et par suite aux génératrices du cylindre. La normale principale étant perpendiculaire à la tangente et à la génératrice au point A, elle est normale au plan que déterminent ces deux droites, c'est-à-dire au plan tangent en A au cylindre (*).

164. Les normales principales d'une hélice sont ainsi parallèles à un même plan, au plan d'une section droite du cylindre. La réciproque est vraie ; quand les normales principales d'une courbe sont parallèles à un même plan la courbe est une hélice. Car en chacun de "■es points la droite rectifiante est perpendiculaire à ce plan, puisque cette droite est parallèle à la commune perpendiculaire à deux normales prmcipaies infiniment voisines, laquelle est perpendiculaire a un plan parallèle à ces deux normales. Les droites rectifiantes foimant ainsi une surface cylindrique, la courbe est une hélice, puisque le développement de cette surface la transforme en une droite on sa qualité de surface rectifiante.

(*) Cette ppoposit OQ est dailWr» une LJUsi'quenLe ii des liçnes gëodesiques que nous ^lons ippris k connaît] est, sui Je cjJmdpp unt> ligne e^odciiqnc romme il r mode de a;ént<ration

165. Le plan rectifiant est perpendiculaire à la normale principale. Celle-ci dans l'hélice étant perpendiculaire au plan tanguent à la surface cylindrique, ce plan est identique au plan rectifiant. Dès lors la droite rectifiante qui, par définition, est l'intersection des plans rectifiants en deux points de la courbe infiniment voisins, se confond dans l'hélice avec la génératrice du cylindre, puisque cette génératrice est la limite de l'intersection des plans tangents au cylindre en deux points qui tendent à se réunir. Il suit de là que la surface rectifiante de l'hélice n'est autre que la surface cylindrique elle-même, ce qui est d'ailleurs «ne conséquence immédiate de la définition de l'hélice donnée dans le premier numéro de ce paragraphe.

166. Soient r, s les rayons de courbure et de torsion en un point A de l'hélice, et ;■ le rayon de courbure d'une section droite du cylindre, au point a situé sur la génératrice qui passe par A. Nous

aurons besoin de connaître les rapports - et — . Ils sont, comme on

va voir, invariables sur une hélice donnée, et éffaux à — -^ et à

cos'a

tangft, a désignant l'inclinaisoti constante des tangentes et des plans

osculateurs de l'hélice sur le plan de la section droite.

Soient A' sur l'hélice et a' sur la section droite les points situés

sur une génératrice infiniment voisine de celle qui contient A et a;

on a évidemment

arc A A' i

arcaiï' cosa'

Appelons P, P' les génératrices du cône C parallèles aux tangentes à l'hélice en A et en A', et />,/)' les parallèles menées par le pointO, sommet du cône, aux tangentes en a et en a' à la section droite : p et />' sont les projections de P et de P' sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône, et l'on obtient sans peine, au moyen de la sphère de rayon unité qui a pour centre le point 0, la relation

anglePOP' angle pQp'

Divisant la précédente égalité par celle-ci, le quotient des premiers

— -[86 — membres est—. La division des seconds membres donnant ~

Pour obtenir l'expression du rapport — , par menons des droites

normales aux plans tang^ents du cône C ; ces droites sont normales en même temps aux plans osculateurs de l'hélice, et leur ensemble constitue un cane rond qui a même axe que le cône C. Soient Q et Q' les génératrices de ce nouveau cône perpendiculaires aux plans tangents du cône C suivant les droites P et P' : l'ang'le QOQ' est l'angle de torsion de l'arc AA'. Les génératrices P et Q sont à angle droit, et leur plan contient l'axe commun des deux cônes; il en est de même des génératrices P'et Q'. Alors on trouve aisément, à l'aide de la spbère utilisée tout à l'heure,

,. angle QOQ- , '"° .ngl.POP = "'°'^°- Ce résultat pouvait être pi'évu. Nous avons trouvé au N* i47 que l'angle de la tangente et de la droite rectifiante a pour tangente la

limite du rapport -. Or dans l'hélice la droite rectifiante étant la

génératrice du cylindre, cet angle est précisément le complément de l'angle «, ce qui fait que tanga est égal à la limite du rapport inverse, donc à la limite du rapport de l'angle de torsion à celui de contingence, ainsi que nous venons de l'obtenir directement.

Le premier membre de la dernière relation étant égal à -, on a

(?) ^ = tang»,

B dans (i), donne

Cette formule peut se déduire, comme cas particulier, ainsi que la formule (2), des résultats obtenus aux N"^ 78 et 80 c

normales principales de l'hélice étant perpendiculaires aux plans tangents du cylindre (i63), donc parallèles au plan de la section droit*, la commune perpendiculaire des normales en A et en A' est perpendiculaire à ce dernier plan, donc parallèle aux génératrices du cylindre, en sorte que l'aagle ï du N" 78 est, dans l'hélice, celui que forme la tangente avec la direction de ces g'énévatrices, d'où il suit que a est le complément de cet angle ï , ce qui fait que l'équation

finale du N" 78, en y mettant «, R, s, au lieu de ï , />, o, doit

leproduire la formule (2), et c'est bien ce qui arrive. Maintenant, appelons U, V les points où les normales principales à Thélice en A et en A' sont coupées par leur commune perpendiculaire, et k l'intersection des normales en a et en a' à la section droite. Ces deux dernières normales étant les projections des normales principales en A et en A' à l'hélice et celles-ci étant parallèles à leurs projections, la droite UV prolongée au besoin va passer par h, d'où il suit qu'on a AU = ah. Or la limite de ah est r, et celle de AU est la longueur appelée MD au N" 80. Si donc dans ce numéro on remplace MD, p et tr par r, r et s, on doit retrouver la formule (3) ci-dessus, et c'est en effet ce qui a lieu.

Des relations (i) et (2) on déduit

ainsi dans l'hélice la courbure - et la torsion - sont données par les

lesquelles nous apprennent :

i" Que la courbure et la torsion sont invei'sement proportion nel les au rayon r.

2" Que ces deux grandeurs sont égales enlre elles et à — lorsque 0.

montre d'ailleurs que la courbure est plus §:rande ou plus petite que la torsion suivant que « est plus petit ou plus grand qu'un demi ang^le droit.

3" Que la courbure va diminuant sans autre limite que zéro lorsqu'on fait croître a, par quoi l'hélice s'allonge de plus en plus sur le cylindre.

4" Que la torsion atteint sa valeur maximum lorsque n est la moitié d'un angle droit. Elle va croissant avec a lorsque cet ang'Ie varie de zéro à un demi droit, et elle décroit lorsqu'il varie d'un demi droit à un droit. Elle est la même pour deux valeurs de « qui diffèrent ég^alemont d'un demi droit, l'une en plus, l'autre en moins. Elle s'annule aux deux limites, c'est-à-dire pour a :zz o et a ^: un droit; c'est que dans ces deux cas on a une ligue plane et non plus une hélice.

167, Le rapport des rayons de courbure et de torsion est constant dans une hélice d'après la relation (a). Réciproquement une courbe est une hélice quand ce rapport y est constant. En effet, l'angle des droites rectifiantes en deux points d'une courbe infiniment voisins est

ilj (r5i), où )i désigne (78) l'ang'le dont ia tangente est égale à -,

P donc à l'inverse du rapport en question. Ce rapport étant supposé constant son inverse l'est do même, Alj est nul, les droites rectifiantes is entre elles par la proposition du N'' 1 5 1 qui vient d'être , la surface rectifiante est un cylindre, et Sa courbe est une hélice.

168. Remarquons encore que toute développante d'une hélice est une ligne plane tracée dans un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre, ou, en d'autres termes, dans le plan d'une section droite. En effet, les normales principales d'une hélice étant perpendiculaires à ces génératrices (i63), elles sont parallèles au plan d'une section droite, d'où il suit (i4i) que les taog-entes d'une développante sont parallèles à ce plan. Et de là résulte la double proposition, car las tangentes d'une courbe ne sauraient être parallèles à un plan A sans êtres contenues toutes dans un même plan parallèle à ce plan A.

Elle est d'ailleurs une conséquence de la définition de l'hélice. Cette courbe, en effet, est la transformée d'une droite préalablement tirée

dans un plan que l'on enroulera sur une surface cjliniîrique. Or ses développantes sont les courbes que décrivent pendant l'enroulement les divere points de cette droite, et chacun d'eux, on le voit, se maintient constamment dans un même plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre, ce qui donne le théorème.

I 2. De l'hélice tracée sur an cylindre de révolution.

L'hélice tracée sur un cylindre de révolution ou cylindre rond est une ligne éminemment sim.p!e entre les lig'nes non planes, car elle reste la même en tous ses points. A ce titre il y a intérêt à la mettre en contact aussi intime que possible avec les autres lig^nes non planes, de même que nous avons mis le plan et la sphère en contact aussi intime que possible avec une ligne non plane quelconque. Ce sera l'objet des deux paragraphes suivants, et dans celui-ci nous présenterons sur cette hélice quelques observations préliminaires.

169. La normale principale dans toute hélice est perpendiculaire au plan tangent au cylindre {i63). Il suit de là que dans l'hélice tracée sur un cylindre à section droite circulaire l'axe du cylindre rencontre toutes les normales principales, et il les coupe à angle droit. On voit que la ligne de striction de la surface lieu de ces normales coïncide avec cet axe.

170. Dans l'hélice qui nous occupe les rayons r et S sont constants, et fous les résultats du précédent paragraphe lui sont applicables pourvu que r représente le rayon du cylindre sur lequel elle est tracée. La formule (i) du N" i66 montre que pour que l'on puisse tracer sur un cylindre rond d'un rayon donné r une hélice d'un rayon de courbtire donné R, il est nécessaire et suffisant d'avoir r < R.

Supposons cette condition remplie; alors on aura cos^k^ — , relation

qui ne fournit qu'une seule valeur de a, car cet angle est compris entre zéro et l'angle droit, et par conséquent qu'une seule hélice.

Toutefois il existe deux hélices qui satisfont à la question; elles sont enroulées sur le cylindre l'une dans un sens, l'autre dans l'autre. On ne peut pas les faire coïncider, elles sont symétriques relativement h. un certain plan qui passe par l'axe du cylindre, et se coupent en

deux séi'ies de points situés sur les deux génératrices que nufermo ce plan.

171. Si R et S sont donnés, les formules {2) et (3) du N° 166 fournissent un système de valeurs de r et de ce, et ce système est unique. Il est donc toujours possible de construire uoe hélice de rayons de courbure et de torsion donnés, et le problème n'a qu'une solution, sauf la remarque qui termine le dernier numéro.

172. Une courbe ne saurait avoir ses rayons de courbure et de torsion constants l'un et l'autre sans être une hélice d'un cylindre rond. D'abord une telle courbe est une hélice puisque le rapport de ses deux courbures est constant {167). Puis, étant une hélice, c'est à un cylindre rond qu'elle appartient, car le rayon de courbure de l'hélice, on l'a vu au paragraphe précédent, est proportionnel à celui de la section droite du cylindre, lequel dés lors est constant puisque celui de l'hélice est supposé constant, par quoi cette section est «n cercle, et le cylindre est un cylindre rond.

^ 3. L'hélice mise en contact aoec une autre courbe non plane

quelconque .

Il s'agit, bien entendu, de l'hélice tracée sur un cylindre rond, la seule qui nous doive occuper désormais.

1 73. Lorsque deux courbes ont un point commun, leur distance dans le voisinage de ce point est réduite à son minimum si elles y ont. même tangente et même plan osculateur. Il faut de plus disposer les deux courbes de manière qu'elles soient situées, dans les environs du point commun, du même côté du plan rectifiant; mais avec cela la distance est encore du deuxième ordre, à moins que les centres de courbure des deux courbes ne se trouvent coïncider, auquel cas elle tombe au troisième ordre. Nous supposerons donc que l'hélice mise en contact avec une courbe ait avec elle au point commun même tangente, même plan osculateur, même centre de courbure, et, par conséquent, même rayon de courbure p. Il y a une infinité d'hélices qui satisfont à celte dernière condition, ce sont celles où r et « sont liés par la relation que l'on déduit de l'égaitté (i) du N" 166 en y substituant p à H. Le contact étant en M, soit N' le point où l'hélice est

coupée par le plan que déterminent le point M' et la polaire relative au point M : nous compterons la distance de M' à l'hélice suivant M'N'. Lo plan rectifiant et le plan osculaleur, qui sont conununs aux deux courbes, forment par leur int«rsection quatre dièdres droits, et pour rendre M'N' aussi petit qu'il peut l'être avec des valeurs données des éléments r et a, il faut, entre les deux hélices symétriques correspondantes à ces valeurs, choisir celle qui satisfait à cette condition que le point N' soit situé dans celui des quatre dièdres où se trouve le point M'. Supposons que cette précaution ait été prise, et cherchons l'ordre infinitésimal de M'N'.

Le plan mené tout à l'heure par M' et par la polaire du point M coupe les projections de la courbe donnée et de l'hélice sur le plan osculateur commun en des points m' et n' (fig. io6) qui sont les projections de M' et de N'. Il coupe la tangente et le cercle osculateur communs en des points qui seront appelés t et k. Soit enfin c le pied de la perpendiculaire abaissée de N' sur Wm' . Le triangle M'N'c étant rectanj!:le en c, il donne

(0 M'N'=^/N'cVM't:'

Qv m' k ai n'k sont précisément les distances des points m', n' au cercle osculateur en M commun à la courbe donnée, à l'hélice, et à leurs projections. Il résulte de là que m'k a pour &spression -s^if» ("^k), quantité du troisième ordre. Nous allons faire voir que n'k est d'un ordre supérieur au troisième, et qu'il doit par conséquent être négligé. D'après la proposition du N** ^3 la différence entre les rayons de courbure en N' à l'hélice et en n' à sa projection sur le plan osculateur est une quantité du deuxième ordre qui a pour expression -ipi?, il se rapportant ici à l'hélice. Or le rayon de courbure ne variant pas d'un point de l'hélice à un autre, il est en N' égal à p. Mais le rayon de courbure de la projection de l'hélice est égal à /! au point M ; donc sur cette projection le rayon de courbure ne varie du point M au point n' que d'une quantité du deuxième ordre. Il suit de là, et

de la remarque qui termine le N" 25, que la distance n'k est du quatrième ordre au moins, donc d'un ordre supérieur au troisième. C'est là ce qu'il s'agissait de faire voir, et l'on a par conséquent

N'C = ^E=Ap.

Telle est la valeur de la prem.ièro des deux quantités qui figurent au second membre de la relation (i) ci-dessus. L'autre ne saurait être d'un ordre inférieur au troisième, car elle est é8:ale à la différence des deux grandeurs M' m' et N'n' qui sont du troisième ordre toul«s deux (63).

La distance de M' à l'hélice est donc du troisième ordre dans toutes les hélices qui ont avec la courbe le cercle osculateur commun.

1 4- Définition de l'hélice osculatrice ; expression de sa distance

à la courbe dans le voisinage da point de contact; situation

de l'axe de son cylindre.

174. Il existe ainsi une infinité d'hélices dont la distance à M' est du troisième ordre, et il n'en est aucune où cette distance soit d'un ordre supérieur. Toutefois l'une de ces hélices est, sinon infiniment plus voisine, du moins plus voisine de M' que toutes les autres. On la nomme par extension hélice osculatrice, et nous l'obtiendrons tout à l'heure en réduisant à son minimum la valeur de M'N' donnée par la relation (i) du numéro précédent.

L'ordre de la distance de la courbe à l'hélice osculatrice étant ains i le troisième, le contact des deux li§^es est un contact du deuxième ordre (*) (N" i8, le dernier alinéa).

Des deux quantités qui figurent au dernier membre de la relation {i)du précédent numéro, la première, nous venons de le voir, a une valeur constante, en sorte qu'il n'y a lieu de considérer que la seconde, M'c. On a

(*) Et non pas <!'im ordre entre le deuxième et le troisième, comme on le lit (tans un ouvrage, fort savant d'ailleurs, sur les courbes à double courbure, paru il y a trois ans en seconde édition augmentée. J'avais cependant donné les propositions ci-dessus déjà en 1871, dans un périodique fort répandu [Noiiu. Ann. de Math., p. 444 et suivantes de cette anniie-là).

et en outre (63), en désignant par e et h les ang-les de conting'encc et de torsion de l'arc MN' de i'bélice,

M'm't^^marcMM', N'n'= ^eÀ arcMN'.

Multiplions et divisons les seconds membres de ces deux ég'alités par le cube de Mi : les arcs MM', MN' et la longueur Mt étant des infiniments petits égaux il vient , en ne négligeant que des quantités d'ordres supérieurs au troisième,

,„ . !>!' ^T, , iMÏ

Mais on a par hypothèse r =: p, par conséquent la valeur ci-dessus de M'c devient

On voit par cette égalité que si l'hélice satisfait à la condition s^^tr, M'c s'annule, ou, plus exactement, est d'un ordre supérieur au troisième, et que ceci n'a lieu pour aucune autre valeur do s. Il existe toujours une hélice dont les rayons de courbure et de torsion sont respectivement égaux à p et à o- (171). elle est unique, et c'est donc îà l'hélice osculatrice. D'après ce qu'on a vu au numéro précédent sa distance k M' est égale à gS^i/i, ce qui est précisément l'expression de la distance de M' au cercle osculateur dans une ligne plane. Le cercle oscutateur des lignes planes est un cas particulier de l'hélice osculatrice; c'est le cas limite qui se présente quand la torsion est nulle. Les valeurs de tanga et de r relatives à cette hélice sont, d'après les équations (2) et (3) du K" 166,

(a) tang« = ^, /■ - -^,,

et si Ton suppose que la torsion diminue indéfiniment, tondant vers zéro, alors a va croissaiiî indéfiniment, et à la limite iî vient

c'est-à-dire que l'hélice osculatrice se réduit a est le cercle osculateur.

175. L'hélice osculatrke est donc celle qui a môme rayon rie courbure el même rayon de torsion que la courbe, au point coDsidéré De cette définition il est aisé de déduire la situation de I a\e du cylindre sur lequel elle est tracée. Nous savons déjà que i.et axe len contre la normale principale de la courbe donnée et qu il la coupp a ang'le droit, car en vertu du N" 169 cela résulte, indépendamment de toutes valeurs attribuées à r et à s, de ce que la courbe donnée t l'hélice ayant au point commun même tangente et m6me plan oscu lateur, leurs normales principales en ce point sont de mêmn dirrc tion. Pour le déterminer complètement concevons deujt courbes quel conques disposées l'une par rapport à l'autre comme le sont la courbe considérée et l'hélice osculatrice, et supposons qu'elles aient au point de contact M mêmes rayons de courbure et de torsion. La position limite, sur la normale principale en M, du pied de la perpendiculaire commune aux normales principales en M et en un second point infiniment voisin, est la même pour les deux courbes, car la distance de M à cette position limite ne dépend que des rayons de courbure et de torsion {80). La direction de la commune perpendiculaire aussi est la même dans les deux courbes, car l'ang^le que cette direction fait avec la tangente et avec le plan osculateur ne dépend non plus que des rayons de courbure et de torsion (78). Supposons maintenant que l'une des deux courbes soit l'hélice osculatrice ; dans toute hélice tracée sur un cylindre rond la commune perpendiculaire à deux normales principales se confond avec l'axe du cylindre (169)- Dès lors, l'axe du cylindre de l'hélice osculatrice n'est autre que la commune perpendiculaire à deux normales principales de la courbe donnée infiniment voisines, prolongée de part et d'autre (*). Proposition qu'on pouvait, en s'appuyant sur les N's 78 et 80, déduire aussi des relations (a) du précédent numéro. La situation de cet axe list ainsi complètement déterminée. On voit qu'il est parallèle à la droite rectifiante (147)) et que cette droite est, comme telle, communeil la courbe et à l'hélice osculatrice.

(*) Ce théorème ayant élé donné dans les Anaali's 3{.ienUJiqaes de l'Ecole normale sapérleare (2' série, t. I, p, 228) , je courrais le nsqup if paraître avoir emprunté sans citer en ne disant pas que je l'avais flnf^rieurpnienl fail connaître et établi dans un Mémoire inséré su tome X de la S" série des iSonvilha Annales de inaiheTimiiqaes, où l'on en peut lire l'énoncé à la page 450.

I 5. Surface lieu des axes des hélices osculatrices.

Pour abréger nous appellerons rayon et axe de l'hélice oscula-

trice le rayon et l'axe du cylindre sur lequel cette hélice est tracée.

Désignons par r et par r + 4r les rayons des hélices osculatrices

aux points M et M'; xr est du premier ordre.

176. La commune perpendiculaire aux axes des hélices osculatrices en M et enM' esl dans la normale principale du pointM, et elle est en longueur égale à ip. Le liea des axes des hélices osculatrices est une surface gauche, et la ligne de striction de cette surface coïncide avec la ligne de striction de la surface des normales principales. En tout point de cette ligne le plan langent à l'une des deux surfaces est tangent aussi à l'autre.

L'angle des axes des hélices osculatrices en M et M' est égal à Alj, cai* ces axes sont parallèles aux droites rectifiantes correspondantes (175), et l'angle de celles-ci vaut AJ( (i5i).

Les plans rectifiants étant osculaleurs à une ligne — l'arète de

eh u n n a ace rectifiante — à laquelle les droites recti-

an n tan n la droite rectifiante en M' fait avec le plan

il n n M un an^l du second ordre (Sg). Dès lors l'angle que

axe d 1 hé o a -ice en M' forme avec le même plan est du

nd ord d n nfin ment petit comparé à l'angle des axes de.s

es os u a ce n M et M' {*). On déduit de là qu'un plan paral-

C pe d établir iniiëpeDdammeut <le la consid^ralion du plan

re fiai d d ec Sanle, et sans faire iolerveoir la courbe en aucune

ço £f

Le m p p snt les générBtrices d'une surface gauche, Soient A et

B fi g e-5 d'une surface gauche quelconque. L'axe de l'hélice

it ce m un perpendiculaire à deux normales principales îufîniiuent

uies app C p n limile de la commune perpendiculaire à A et à une

co d g tr ce fi m voisine de A ; et appelous D la position limite de la mm peri d B et aune seconde génératrice infiniment voisine de.B.

8 pp m qi \ et B se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre et

d gle que ces deux droites font entre elles, et l'angle

des droite, C et D, seront des infiniment petits de même ordre, et si noue considérons ces angles comme du premier ordre, il s'agit de montrer que l'angle que fait D avec on plan perpendiculaire à A est du second ordre. Soit à cette fin pq la commune perpendiculaire à A et à B : si, A restant fixe, B vient se confondre avec lui , pq va

lèle à ces deux axes est, à la limite, parallèle au plan rectifiant en M. La commune perpendiculaire aux deux axes tend donc à devenir parallèle à la normale principale au point M. On va reconnaître qu'elle en est, de plus, infiniment voisine.

Remarque préliminaire. Soient (fig. 109) IK et l'K' les axes de.s hélices osculatricea en M et en M', 1 et l'étant les points où ces deux droites rencontrent les deux normales principales. L'ang'le des axes IK, l'K' ne saurait être infiniment petit en comparaison de leur plus courte distance, car ces droites sont deux génératrices de la surface lieu des axes des hélices osculati'ices, et dans aucune surface rég-lée l'angle de deux g-énératrices infiniment voisines n'est infiniment petit comparé à leur plus courte distance (94)- Ov représentons-nous deux droites dont l'une au moins soit mobile, et qui tondent à se confondre. Soient D et E les points on elles sont coupées par leur commune perpendiculaire, F et G ceux où elles le sont par une autre ligne. Le lecteur reconnaîtra sans peine que si l'angle des deux droites n'est pas infiniment petit en comparaison de leur plus courte distance, et que cependant la direction FG tende à devenir parallèle à la direction DE, les points F et G sont infiniment voisins des points D et E.

coïncider avec C ; et il finit par colndder ai fixe et A qui va se confoadre avec lui. Dès lors les angles que fait pq avec G et avec D sont do même ordre que l'angle des droilea G et D, donc du premier. Or pq est l'intersection des deux plans qu'on mènerait l'un par^a perpendiculairement â A, l'autre par j perpendiculairement à B. Ce dernier plan est parallèle S D, puisque D est perpendiculaire à B ; i! contient donc la droite qr men^e par q parallèlement à D, et il suffit de montrer que qr l'ait avec le premier plan un angle du second ordre. Remarquons dans ce but que l'angle des deux plans est ^^1 à celui des droites A et B ; il est donc du premier ordre. Tout revient par conspuent à faire voir que lorsque deux plans X et Y font entre eux un angle a. du premier ordre, une droite ac (fig. 108) située dans le plan Y et faisant avec l'intersection ab des deux plans un angle ^ du premier ordre, fait avec le plan X un angle d du second ordre. Soient à cet efiet cb et cd les perpendiculaires abaissée d'un point quelconque c de oc sur ab et sur le plan X ; on a

d'où l'on tire s\aS =^ sina sin(î. De cette égalité, qui est l'une de celles que Fou donne dans la trigonométrie sphérique, résulte la proposition.

Ceci posé, dans la figure 109, où les droites IK, l'K' et les points I, r sont ce que l'on a dit tout à l'heure, soient :

A et B les pieds de la perpendiculaire commune aux normales MI et M'I';

BP une droite égale et parallèle à AI ;

Q et R les pieds des perpendiculaires abaissées de P sur IK et sur M'I'.

La longueur BP, qui est égale à AI, et l'angle PIK, qui est ég-al à celui des directions AB, IK, sont infiniment petits, parce que IK est la position limite de la droite AB prolongée (175). D'un antre côté, la longueur IP, qui est égale à AB, et l'angle PBM', qui est celui des normales MI, M'I', sont des grandeurs du premier ordre (77 et 79). n suit de là que PQ et PR, et par conséquent aussi QR, sont d'ordres supérieurs au premier. Or RI' est, en tant qu'infiniment petit, égal h la différence Ar des rayons MI, M'I', qui est du premier ordre. QR étant d'après cela infiniment petit comparé à RI', l'Q fait un angle infiniment petit avec M'I', donc aussi avec MI, donc aussi avec la direction de la perpendiculaire commune aux droites IK, l'K', puisque cette perpendiculaire est à la limite parallèle à MI, ainsi qu'on l'a vu au commencement de ce numéro. Dès lors, en vertu de notre remarque préliminaire, les pieds de cette perpendiculaire sont infiniment voisins de I' et de Q, donc aussi du point I. II est ainsi démontré que, sur la surface des axes des hélices osculatrices, I est le point central de la génératrice IK. {Voir, pour la définition du point central, le N" q5). Or il est, sur la surface des normales principales, le point central de la génératrice MI.

La commune perpendiculaire aux axes IK, l'K' est, en tant qu'infiniment petite, ^ale à l'Q, car l'Q s'appuie par ses extrémités sur les deux axes, et fait avec la commune perpendiculaire, comme on vient de voir, un angle qui est nul à la limite. Or QR étant, ainsi que nous l'avons reconnu, d'un ordre supérieur au premier, l'Q est égal à RI', donc à ir.

Nous avons vu dans ce numéro que l'angle des deux axes vaut i]j . Les grandeurs Ar et Aï étant du même ordre, la surface des axes des hélices osculatrices est une surface gauche (96).

Ces deux surfaces, le lieu des normales principales et le lieu des

ont une §"org« ou ligne de striction coKimune qui est la courbe des points I.En d'autres termes, la ligne d'intersection de'* deuv surfaces joue, sur l'une et sur l'autre, le rôle de ligrne de stnrtion

Soit IT K tangente en I à cette ligne : la surface des normales principalei serait de\ eloppable si IT se confondait avec la normale MI (go) ; et la surface des axes des hélices osculatrices serait développahie si IT et IK n'étaient pas deux droites distinctes. Puis donc que ces surfaces sont l'une et l'autre gauches, IT est différent de MI et de IK, Par suite IT et MI déterminent un plan, ainsi que IT et IK. Or ces plans sont les plans tangents en I, le premier, à la surface des normales principales, et, le second, à la surface des axes des liélices osculatrices. On va voir qu'ils se confondent en un seul plan.

De y abaissons une perpendiculaire sur MI et désignons-en le pied par U. Dans le quadrilatère gauche ABl'U les angles en A et en U sont droits, et les côtés AU, Bl', étant parties des normales principales Ml, MT, sont parallèles à la limite. Il suit de là que les côtés AB et Ur aussi sont parallèles à la limite, car pour qu'il pût en être autrement il faudrait que ces côtés fussent infiniment petits en comparaison des deux autres, ce qui n'est pas le cas, vu que les quatre côtés sont du premier ordre. La droite UI' fait donc un angle infiniment petit avec AB, donc aussi avec IK; or l'angle des droites Ul', IK ne diffère point de l'inclinaison de Ul' sur le pian MIK, laquelle est infiniment petite par conséquent. L'angle de II' avec le même plan tend vers zéro à plus forte raison, car il est inférieur k cette inclinaison, puisque II' est plus grand que Ul'. La corde II' du lieu d^ points 1 faisant avec le plan MIK un angle infiniment petit, la tangente IT est située dans ce plan. Il est par là démontré que les plans tangents en I a la surface des normales principales et à la surface des axes des hélices osculatrices se confondent, en d'autres termes que le plan MIK est tangent en I à la fois aux deux surfaces, lesquelles par conséquent se touchent tout le long de la courbe des points I. Nous retrouverons cette proposition d'une autre manière au numéro suivant (*),

(*) Une surfece gaucbe A étant donnée, que l'on considère !a surface B lieu des communes perpendiculaires à deux généralrices de A infiniment voisines : B rer-

*'î 77. La lang'cnte IT étant donc sitnûc dans le plan MIK qui fait avec le plan osculaleur l'angle )j , sa direction sera déterminée si l'on connaît son inclinaison sur une droite de ce plan, par exemple sur la normale principale Ml, ce pour quoi il suffit d'avoir les deux longueurs UI et Ur, car la tangente de l'angle que forme IT avec la

normale principale est la limite du rapport YTTt s* ^'^ même coup l'on connaîtra la valeur de l'arc II', puisque son carré est la somme des carri^ des deux termes de ce rapport. Or UI. est évidemment égal

contre A suivanl la gorge de celle dernière surface. Ce que nous voulons faire remarquer ici, c'est que le numéro qu'on vient de lire renferme, pourvu que l'on tienne compte de la dernière note marginale qui d'ailleurs en fait partie, la démonstration du théorème que voici : la surface B est aussi une surface gauche ; de plus, A est par rapport à B ce que B est par rapport à A, c'est-à-dire que A est le lieu des communes perpendiculaires à deux génératrices de B inflniment voisines; et dès lors une même ligne est gorge des deux surfaces. En outre, les deux surfaces se loachenl suivant leur gorge commune, ce qui, rappelons-le, signifie qu'en chacun des points de cette ligne un même plan est tangent aux deux surfaces.

Si toutefois A ëtait à gorge orthogonale, c'est-à-dire si la ligne de striction de cette surface en coupait les génératrices à angle droit, alors la surface B ne serait pas gauche, mais bien dëveloppable, pai'ce que ses génératrices seraient, on le voit, tangentes à la ligne de striction de la surface A. Cette surface A dans ce cas ne serait autre que le lieu des biuormales de sa ligue de striction. Etablissons ce dernier point; il suffit de montrer que des normales N, N' A une courbe aux points M et M' ne peuvent, si leur angle est du premier ordre, avoir leur commune perpendiculaire parallèle à la tangente en M, à moins d'être des biuormales. Soit l' (flg. 110} le point où une sphère de centre O et de rayon unité est traversée par la parallèle tirée de O à la tangente en M' : les plans menés par perpendiculairement à K et i N' coupent la sphère suivant deux cercles C et C dont te second passe par i' et qui se rencontrent suivant un diamètre ab parallèle à la perpendiculaire commune aux deux normales. Le plan conduit par Oi' peq>endiculairement au plan du cercle C coupe ce cercle en deux points dont soit p celui qui est infiniment voisin de C; i'acc pt' est égal à l'inclinaison de la tangente en M' sur le plan mené par M perpendiculairement à la normale N, et comme ce plan n'est pas le plan osculateur puisque N par hypothèse est différent de la binormale, pt' est du premier ordre. L'angle pat' est du premier ordre aussi en tant qu'égal à celui des cercles C, C, lequel n'est autre que l'angle des normales N, N', que l'on a supposé être du premier ordre. Ainsi dans le triangle spbérique apt', rectangle en p, l'angle a et le côté opposé ^i' sont du même ordre. Il s'ensuit que l'arc ai' est fini, et de là résulte la proposition, puisque les rayons qui aboutissent aux extrémités de cet arc sont parallèles à la tangente en M' et à la commune perpendiculaire des deux normales.

à ir, et l'expression de r est Écrite dans les équations (a) du N° 174. Quant à Ul'.il est égal à AB, qui n'est autre chose que la grandeur h dont la formule a ét^ obtenue au N" 79.

Appelons V la projection {non indiquée sur la figure) de I' sur le plan osculateur en M : l'V est ég'al au produit de M'I', rayon de l'hélice oscuJatrice en M', par l'inclinaison de ce rayon sur le plan osculateur en M. Comme cette inclinaison est égale à u (76), et que M'I' peut ici être remplacé par r, on a l'V ^; rjj. Dès lors le sinus

de l'angle que fait UI' avec le plan osculateur en M est égal à y-

Remplaçant A et /■ par leurs valeurs, et tenant compte de celle de tang ij donnée au N" 78, on trouve que la limite de l'angle eu question est Ij . Mais ï est l'ang^le du plan MIK et du plan osculateur; donc Ur fait avec le plan MIK un angle qui est nul à la limite. Il en est conséquemment de même de II', et nous retrouvons ainsi que la tangente IT est située dans le plan MIK.

*178. L'angle des plans tangents MIK, M'I'K' s'obtient immédiatement, on va le reconnaître, au moyen de la proposition qui a fait l'objet du N'*57, et son expression est i^l^ ■+■ AX^. Le carré de cet angle est ainsi la somme des carrés de l'angle des normales principales et de celui des droites rectifiantes (N^^ 77 et i5i). Soient, comme au N» iSg, Op, Op' les parallèles menées d'un point aux normales principales en M et M', et Or, Or' les parallèles ans droites rectifiantes, par quoi les angles pp' et hr' valent Ç et lï. Nos deux plans tangents sont parallèles respectivement aux plans pOr, p'Or'. Or le carré de l'angle de ces deux derniers plans, par la proposition mentionnée tout à l'heure, est la somme des carrés des angles pp' et rr', car Or, comme on sait, est normal à la situation finale du plan pOp' , Op l'est à la situation finale du plan rOr' laquelle est parallèle au plan rectifiant en M, et les angles pr et p'r' sont droits.

Distance de la courbe à la spbère osculatrice dans le voisinage du point de contact.

Je dois prévenir le lecteur que quelques notions, d'ailleurs très élémentaires, d'analyse sont nécessaires à l'intelligence de ce qui va suivre.

179- Il s'agit de former l'expression de la distance de M' à la sphère osculatrice au point M, Soit toujours S (fig. m) le centre de cette sphère. La droite SM' prolongée au besoin en rencontre la surface en un point P infiniment voisin de M'. Représentant par S la distance de M' à la sphère, on a

S=PM', et PM' est donc la grandeur que nous désirons connaître.

Gon.sidérons à cet effet celle des développées qui passe par le point S; soit T le point de cette développée qui correspond à M'; SM et TM' sont tang'ents à la développé*, le premier en S, le second en T. Soit Q le point on TM' traverse la sphère : les angles M'PQ et M'QP sont droits à la limite, et de là résulte PM'— QM'; donc

8 = QM'=TM'— TQ.

Or on a, exactement,

TM' = arc ST -f- SM — arc ST + SQ, d'où S — arc ST + SQ ~ TQ,

ou, appelant D le pied de la perpendiculaire ahaissée do S sur TQ, 3 = (arc ST ~ TD) + (SQ — DQ).

La seconde des deux différences qui figurent dans cette égalité est infiniment petite comparée à corde ST — TD. Ceci est une conséquence de ce que ST est infiniment petit tandis que SQ est fini, et de ce que les angles en D sont droits (24)- La seconde différence étant infiniment petite comparée à corde ST — TD, elle l'est à plus forte raison en rejt'ard de la première différence, et dès lors elle doit être négligée. On a donc (i) S = arc ST ~ TD.

LepointTe.stsiluésur la polaire du point M'; soit, comme jusqu'ici, S' le centre de la sphère osculatrice en M': cette polaire est tangente enS'àl'arêtederebroussement delà surface polaire; de plus, l'angle des tangentes en S et en S' à cette arôte est égal à i, (iio, 2"). Dès lors la perpendiculaire SE abaissée de S sur S'T a pour expression ^wrfS (58, 20), dS désignant l'arc SS', dont la formule est écrite au

N» ii4. Par saite on obtiendra la valeur de l'arc ST en divisant cette expression par le cosinus de l'angle TSE. La limite de la direction ST n'est autre que celle du rayon MS ou R. Quant à SE, la limite de sa direction est celle de la normale principale en S à l'arête, et nous savons que cette normale est parallèle à la normale principale en M à la courbe primitive, c'est-à-dire au rayon p (i lo, i"). 11 résulte de là que l'ang'le en question n'est autre que celui des rayons R et p, et

que son cosinus par conséquent est égal à ^, On a donc

(2) arc S I — T ,

grandeur du second ordre.

L'angle des droites SM et TM', tang;eiUes à l'arc ST en ses cxtré-

, . MM' ds mités, est évidemment égal a -jrr^ ou — ; on a donc

ds

{3} angle de contingence do l'arc ST^i--,

grandeur du premier ordre.

Cela posé, pour évaluer ie second membre de l'cgaiité (1), rapportons l'arc ST à trois axes rectangulaires issus du point S. Prenons pour plan de xy le plan osculateur à l'arc en ce point, et pour axe des X la tangente SM. Les directions suivant lesquelles on comptera les X, les j et les ^ positifs seront choisies de telle sorte que les coordonnées du point T soient positives toutes trois.

Un arc infiniment petit est égal à sa projection sur la tangente en son origine; conséquemment, dans le système d'axes que nous venons d'adopter, l'arc ST est égal à Vx du point T. L'angle des tangentes extrêmes d'un arc infiniment petit est égal à l'angle des tangentes extrêmes de sa projection sur le plan osculateur en son origine (54); donc, dans notre système d'axes, l'angle des tangentes en S et en T

est égal au ~- du point T. Dès lors, puisque d'après les relations (2)

et (3) l'ordre infinitésimal de l'arc ST est double de celui de l'angle de ses tangentes extrêmes, l'équation de la projection de cet arc sur le plan des xij sera, A désignant une constante.

y = Aici + des termes en x de degrés supérieurs à j;

«Q effet, l'axe des x est tangent à l'origine des coordonnées à la ligne <fue représente cette équation, et eomnie elle donne

rés supérieurs à - ,

on voit que l'ordre de œ, supposé infiniment petit, est double de celui

de*

dx

Quant à ré([uation de la projection de l'arc sur le plan des xz, si, désiq'oant par B une constante, on la met sous la forme

z ^= IÏJ3''4- des termes en x de degrés supérieurs Àp, p sera plus grand que ^i o'' '^ plan des xy étant osculateur à l'arc en son orig'ine, le s du point T est infiniment petit comparé à son y. On a, appelant a Vx du point T,

Nous négligerons les quantités d'ordres supérieurs à celui de a*. On "trouve alors, en développant le radical par la formule du binôme et effectuant l'intégration,

(4) .™st = <. + |aw.

Passons au calcul de TD; on a

TD = coi-de ST x co.s STD.

Représentons la corde ST par H, et désignons par a, j3, 7, i, ft, », les cosinus des angles que cette corde et la tangente au point T font avec les axes; on aura, par la dernière égalité,

On a, apfielant b ti c Vij et le z du point T, a b c

yGoosle

el, représentant par K le radical 1/ ' + ( j~ ) + ( 7~ ) '

de ,. . , , du dz . , „

— desig'nent les valeurs que -~- et — prennent au point 1

T dh 1 de ^~Kdâ' ''^Kda

donc