Pour qu* une forme

f=z ax -\- by -h cz -^. ..-{- gs -+- ht -^ . , .-h iu -hyV

soit agrégée au système ( 4 ) supposé irréductible ^ il est nécessaire et suffisant que V abaque de m -{- i lignes obtenu en adjoignant celle des coefficients defà l'abaque (5) soit vanescent parles lignes.

La condition poséç est nécessaire, car alors dans Tabaque considéré de m -h I lignes, la première est agrégée aux autres (14).

Si, au contraire, on suppose cet abaque vanescent par les lignes, soit

une file invanescente en symptose avec lui par les colonnes Le multiplicateur 6 ne peut être nul; car, s'il l'était, quelque autre appartenant a la file de m éléments

ne le serait pas, et comme cette file, ainsi invanescente, est alors en symptose par les colonnes avec l'abaque (5), celui-ci serait vanescent par les lignes et le système (4) réductible, contrairement à l'hypollièse.

Dans l'abaque considéré de m -h i lignes, la première est donc

( 19) agrégée aux autres, ou bien, ce qui revient au même, la forme /est agrégée au système (4).

18. Si le système {^) est irréductible et contient autant de/ormes qutl y a de variables^ la forme y, queUe qu^elle soit, lui est nécessairement agrégée: car alors l*abaque de m -h i lignes considéré ci-dessus est plus haut que large, et en conséquence vanescent par les lignes (12),

19. Si le système (4 ) ^^^ irréductible et agrégé à un autre système irréductible de m formes aussi

réciproquement ce dernier est agrégé au proposé et tous deux, par suite, sont équivalents.

Par hypothèse, on a m identités telles que

fin ==Br,/-f-Wj/[-h. . .-hCT;^

où les multiplicateurs d'agrégation ^|, ..., t^^y^ forment un abaque carré de hauteur m.

Cela posé, on peut assigner une file invanescente de m éléments

qui soit en symptose avec chacune des m — 1 dernières colonnes de l'abaque d'agrégation (11), et si l'on induit par cette file les identités précédentes, il viendra cette autre

où nous avons posé, pour abréger.

Or 8 ne peut être nul, car sinon Tidentité précédente se réduirait à

en vertu de laquelle la file (i5) serait en symptose avec l'abaque (4) par ses colonnes; comme elle est invanescente, cet abaque serait vanescent et le système (4) réductible contrairement à rhypothèse(15). On peut donc diviser par tous les termes de l'identité (16) et l'écrire

La forme/,' est donc agrégée au système (4), et l'on prouverait de la même manière qu'il en est ainsi pour chacune des autres formes du second des systèmes considérés.

20. Si le système (4) est réductible sans que tous les éléments de son abaque soient nuls^ on peut constituer un système irréductible équivalent 9 avec une partie seulement des formes qui le composent, formes dont le nombre n excède pa^ le plus petit des entiers m, n.

Écrivons les formes proposées dans un ordre quelconque, en commençant par une de celles dont les coefficients sont supposés ne pas être tous nuls, puis biffons successivement toute forme agrégée au système partiel constitué par les formes précédemment écrites, mais non biffées. L'opération achevée, les formes considérées se trou vent, réparties entre deux systèmes partiels contenant, Tun (S)ji., les formes/', f'\ , . .,/**-' qui n'ont pas été biffées, l'autre (S)v celles qui l'ont été.

Le système (S)(4 est irréductible, car si une file invanescente 6', V\ ..., 6^^^ était en symptose avec les colonnes de son abaque, on aurait l'identité

qui se réduirait à

en appelant 6^*^ le premier des multiplicateurs 6', . . ., 0^^^ qui ne sont pas nuls, quand on les considère dans l'ordre des accents décroissants.

D'où Ton tirerait, en divisant par 6^*^ qui n'est pas nul,

et la forme y^*^ serait agrégée à celles qui la précèdent dans le système (S)|it, ce qui n'est pas, puisque cette forme n'a pas été biffée.

Le même système (S)^^ est agrégé au proposé, parce qu'il ne contient que des formes lui appartenant; celui-ci Test à (S)ji, parce qu'il est composé des formes de (S)ji. évidemment agrégées à elles-mêmes, et de celles de (S)v qui le sont aussi aux mêmes, parce qu'elles ont été biffées. Le système irréductible partiel [S)^ est donc équivalent au proposé.

Finalement (x, nombre des formes de (S)ji.,ne peut surpasser /i, nombre des variables, parce que ce système est irréductible (16), ni m, nombre des formes du proposé, parce que toute forme de (S)^^ appartient naturellement à ce dernier.

Selon l'ordre dans lequel les formes considérées auront été écrites, le système réduit [S)^ pourra contenir tel ou tel groupe des formes du proposé; mais, quoique constitués par des formes différentes, ces systèmes réduits sont équivalents entre eux, parce qu'ils le sont tous au proposé, et ils contiennent des formes en nombres égaux parce qu'ils sont équivalents entre eux et irréductibles.

21. Dans un abaque tel que (5), nous appellerons diagonale tout groupe d'éléments en nombre égal à la moindre dimension, et tellement choisis que deux quelconques ne tombent à la fois ni dans une même ligne, ni dans une même colonne. Cela posé :

Le système (4 ) est irréductible si m est S, n et si, dans m colonnes de son abaque, tous les éléments sont nuls, ceux d'une seule diagonale exceptés.

Supposons, pour fixer les idées, que, s étant la m*^"* variable, les éléments a, , 63, cr,, . . . , g,n de l'abaqùe, qui composent une certaine diagonale, soient tous différents de zéro, mais que dans leurs colonnes tous les autres soient nuls. Si une file de m éléments est en symptose avec l'abaque par ses colonnes, on a en particulier

d'où a, 'k^ = o, parce que ^2 = flj =...= «;„ = o par hypothèse» puis X, = o, à cause de a, non = o ; et, eu considérant les //i — i colonnes venant après la première dans Tabaque (5), on prouverait de même que Ton doit avoir aussi

A 2 — A j — - . • . — ^ffi — ^ •

Ainsi aucune file ne peut être en symptose avec les colonnes de l'abaque (5), à moins d'être vanescente; cet abaque est donc invanescent par les lignes et le système (4) est irréductible.

11 nous faut encore un mot pour désigner les systèmes dont l'irréductibilité tient à la cause qui vient d'être analysée et s'aperçoit à première vue. Nous dirons qu'ils sont en réduction apparente; et, pour le système considéré ci-dessus, nous nommerons saillantes, tant la diagonale en question âf,, 63, c,, . . ., g,n que les m colonnes dont ses éléments font partie, et que les m variables a?, y, s, . . .,5 dont les coefficients forment ces colonnes.