Si la /orme

f=z ax + by -\- cz '^. , .+ gs-¥ ht-\-, . ,-\- iu -h jv est agrégée au système ( 4 ) supposé en réduction apparente a^^ec

a^j t>29 ^8> • • •» gtn

vour diagonale saillante ^ la file d'agrégation est

abc g

«i Ot Ca gm

En appelant X|,>^3, . . ., \n les multiplicateurs inconnus de cette file, on doit avoir d'abord

d'où a = ^j a< , puisque aj = «3 = . . . = «m = o; puis X, = — > à cause

de a,, non = o, ce qui permet de diviser par a, les deux membres de l'égalité précédente. Et de même ^2 = 7^' —

23. Si, dans la forme/, m — i des variables saillantes du même système (4) ont des coefficients nuls, il faut et il suffit, pour quelle soit agrégée à ce système, quelle le soit à celle de ses formes où i autre variable saillante a un coefficient différent de zéro.

Si par exemple b,c, . . ., ^, coefficients dans y des m — i variables, y, z, . . ., s^ qui sont saillantes dans le système (4)> sont tous nuls, l'agrégation dey à ce système exige, par ce qui précède, que l'on ait pour la file d'agrégation

d'où l'identité

f=if'-

en vertu de laquelle/est agrégée kf . Si d'ailleurs cette identité a lieu, /est certainement agrégée au système considéré.

24. Pour que deux systèmes en réduction apparente aux mêmes variables saillantes soient équivalents, il faut et il suffit que chaque forme de Vun soit individuellement équivalente à son homologue dans l'autre, cest'à-dire à celle où la même variable saillante a un coefficient différent de zéro.

Ce théorème résulte immédiatement du précédent, puisque, dans toute forme de Tun des systèmes proposés, les coefficients de m — i variables saillantes de l'autre se réduisent à zéro.

23. Si le système {^) est irréductible, cas auquel m^n^lQ), les coefficients d^un groupe au moins de m variables forment un abaque partiel carré invanescent (15), et l'on peut assigner un système en réduction apparente équivalent au proposé, où ces m variables soient saillantes.

i^ On peut réduire l'abaque (5) par les colonnes (20), c'est-à-dire en extraire de celles-ci /i', nombre non supérieur à m ni k n, constituant un abaque partiel invanescent par les colonnes et auquel toutes les autres colonnes du proposé soient agrégées.

On ne peut avoir /i'< m; car a^b, c^ . . .,e étant les lettres affectées à la notation de ces n' colonnes, on aurait pour toute autre colonne k de l'abaque les relations d'agrégation

^2 -+-^«2 "+"(^^2 -+" VCa -+-. . .-f- Br^2>

î^, (x, V, . . ., w étant les multiplicateurs d'agrégation ; et, en induisant ces égalités par quelque file invanescente de m multiplicateurs 6|, ^29 • • •> ^/n en symptose avec chacune de ces n' colonnes (H), il viendrait aussi

Il existerait ainsi une file invanescente en symptose avec l'abaque (5) par ses colonnes, et, contrairement à l'hypothèse, le système (4) serait réductible. Le nombre n' ne pouvant être ni supérieur ni inférieur à m lui est donc égal, et l'abaque partiel de ces n'= m colonnes est aussi carré et invanescent.

2^ Supposons actuellement que l'abaque partiel des coefficients des m premières variables a?, y, z, . . ., 5 soit l'un de ceux dontl'invanescence vient d'être établie, et induisons le système (4) par une colonne invanescente de n multiplicateurs

en symptose avec celles des coefficients des m — i variables y^ z, . . ., 5 (11). Il en résultera une forme agrégée à ce système

fl = a[x -f-o.j-h o.JS-i-...4-o.5-f- A', r-h.. '-^i^u-\-j^v^

où d^ = X|a, -J- ^2^2 H"- • •■+■ ^m^^wi tie peut s'évanouir, car autrement la file (17) serait aussi en symptose avec la première colonne de l'abaque (5), et, contrairement à ce que nous avons supposé, l'abaque carré de ces m premières colonnes serait vanescent.

En opérant de même, on trouvera m — i autres formes/l^/j, . . .,/^, toutes agrégées, comme la précédente, au système proposé et formant avec elle un système de m formes en réduction apparente aux variables saillantes a?, j, z, . . ., 5. Ce système étant irréductible et agrégé au proposé, inversement celui-ci lui est agrégé et tous deux sont équivalents (19).

ÏQUATIONS LINÉA^IRES SIMULTANÉES.

26. Une équation quelconque étant donnée, on réduit habituellement son second membre à zéro en faisant passer dans Taulre tous les termes qu'il contenait ; il vient alors dans cet autre membre une expression contenant les inconnues, qui en est une certaine fonction quand on les considère comme autant de variables indépendantes^ et que Ton nomme \^ premier membre de l'équation dont il s'agit.

L'équation est dite linéaire quand son premier membre ainsi défini est une fonction du premier degré, linéaire et homogène^ quand il se réduit à une forme linéaire.

Plusieurs équations auxquelles il faut satisfaire à la fois, par des valeurs convenables attribuées à un certain ensemble d'inconnues qu'elles contiennent, constituent un système adéquations simultanées entre ces inconnues. Un groupe de valeurs des inconnues satisfaisant en même temps à toutes ces équations sera ce que nous appellerons wnefile de solutions de leur système.

Nous allons traiter des systèmes d'équations linéaires dont nous ramènerons toute la théorie à celle des systèmes homogènes, et nous emploierons pour ces derniers les dénominations à' agrégés ^ équivalents, réductibles, irréductibles^ etc., dans toutes les circonstances où elles sont .applicables aux formes linéaires qui constituent leurs premiers membres ( n**' H et suivants).

On remarquera que la résolution d'un système d'équations linéaires et homogènes est au fond la même recherche que celle de toutes les fdes de quantités qui sont en symptosc par les lignes avec son abaque, c'est-à -dire celui des premiers membres des équations qui le composent.

27. Étant donné deux systèmes d'équations linéaires et homogènes

(0 /t = o, /^ = o, ..., fm=o,

(2) F, = o, Fj — o, ..., F,n=o,

le second admet toutes les files de solutions du premier^ s'il lui est agrégé. Soient Y un quelconque des premiers membres des équations {2) et ^1 ^2 • • • ^mSa file d'agrégation aux premiers membres des équations de l'autre système; on a, par hypothèse,

quelles que soient les valeurs attribuées aux inconnues, considérées un instant comme autant de variables indépendantes. On a donc en particulier F = o, pour les valeurs de ces inconnues qui constituent une file de solutions du premier système, car alors les formes /,, ^2» ' ' "»fm prennent toutes des valeurs nulles.

Dans ce cas, on dit souvent que le second système est une conséquence du premier, ou bien encore que celui-ci entraîne l'autre.

28. Les systèmes ( r ), ( 2 ) admettent les mêmes solutions s'ils sont équivalents.

Ce théorème est un simple corollaire du précédent et ramène immédiatement la résolution d'un syî>tème réductible à sa réduction (20) suivie de la résolution du système équivalent. Nous ne considérerons donc que des systèmes irréductibles.

La réduction à laquelle nous faisons allusion n'est toutefois pas applicable dans le cas où les coefficients des premiers membres des équations proposées sont tous nuls. Mais alors chacun de ces premiers membres est nul identiquement, et les équations sont identiques, c'est- H-dire admettent pour solutions toutes les files imaginables de valeurs des inconnues.