Soit
(y, ~ rt,a? -h &,y -f- c, 2 -1-. .-{- gtS -h htt -\- , -^- i^u -f-y,^- o, I /„ ^-- a,nOC H- b,ny -1- c,„5; -h . . . -h g,nS ■^h^t-^,..-+- hnU-^jm^^o.
un système irréductible de m équations linéaires et homogènes aux n inconnues ir, y , ...,(' pour lequel on a, par suite, w ^ /i ( 16 ) .
Quand m^=n, il n'admet pour solutions qu une file vanescente.
Quand m<Cn^ il admet une infinité défiles de solutions dans chacune desquelles on peut attribuer des valeurs arbitraires à n — m inconnues,
si toutefois on les a choisies de telle sorte que l'abaque des coefficients des m autres soit invanescent (23), et cette attribution détermine entièrement les valeurs des m inconnues restantes.
Si dans le cas de m = n le système (3) admettait une file de solutions invanescente, son abaque, qui est en symptose avec cette file parles lignes, serait vanescent par les colonnes et aussi par les lignes puisqu'il est carré (13), ce qui est contraire à rhypothèse.
Supposons maintenant m < n; comme l'abaque du système est invanescent par les lignes d'après l'hypothèse, un groupe au moins de m de ses colonnes forme un abaque carré invanescent, et le système proposé est équivalent à quelque autre en réduction apparente, où sont saillantes les inconnues dont les coefficients forment ces m colonnes
Soient a?, j% z, . . ., ^ ces m inconnues et
/ A,a7 -f- O.y-h 0.3-h...-f-0.5-f-H,^-h..-Hl,M -hJi^ — O,
O.a? 4- BaJ-H 0.5 -f-, . . -h O.^ -h Ha^ -h. . .-h l^U -f- Jj^ — O,
(4) I 0.07 H- O.y-T- C32 -f-. . .4- 0.5 -H Ha^ -H. . . -t- I3W 4- J,^' — O,
le système équivalent en réduction apparente dont il s'agit.
Les systèmes (3) et (4) étant équivalents admettent les mêmes files de solutions (28). Or A|,Bo, . . ., G,„ étant tous différents de zéro, on peut diviser par ces coefficients toutes les équations du dernier système respectivement, et les écrire
Hi , Il Ji ,
Al A, A,
Z — — -pT- t — . . — -pr U — Y^ ^9
Lis ^^3 L13
GC ... p t* p
Sous cette forme il est évident que les valeurs des n — m inconnues t, ...,(/, V peuvent être choisies arbitrairement, et qu'ensuite les valeurs des m autres x^y^ z^ . . ., s sont déterminées et fournies par ces formules elles-mêmes.
30. Nous verrons plus tard (60 inf.) comment les solutions du système( 3) s'expriment au moyen des coefficients; mais dès à présent nous pouvons ajouter plusieurs observations utiles à ce théorème.
I. Le système (3) admet toujours quelque file de solutions, ou, en d'autres termes, est toujours possible; parmi ces files, figure nécessairement celle dont tous les éléments sont nuls.
Quand m -= n, cette file vanescente de solutions est la seule qui existe; le système est dit déterminé.
Quand m < n, il y a au contraire une infinité de files de solutions distinctes, c'est-à dire dans deux quelconques desquelles une inconnue au moins n'a pas des valeurs égales. On dit le système indéterminé; il admet toujours alors quelque file de solutions dont les valeurs ne sont pas toutes nulles : ce qui s'accorde avec le lemme dun** 11.
II. Quand le système est indéterminé, les inconnues se partagent en deux groupes : Tun Aen — m qui sont tout à fait indéterminées, l'autre de m dont les valeurs s*expriment au moyen de celles des précédentes par les formules (5), qui effectuent ainsi la résolution du système proposé /?ar rapport à ces m dernières inconnues. Ce groupe de m inconnues est caractérisé par la propriété de l'abaque carré de ses coefficients d'être invanescent, condition qui suffît pour assurer la possibilité d'un semblable partage des inconnues et de la résolution correspondante des équations (3). On peut ainsi exécuter ces opérations d'autant de manières que l'on peut former d'abaques carrés invanescents avec m colonnes de l'abaque du système.
Suivant les circonstances, ce nombre peut varier de i à
nombre de combinaisons m k m des n colonnes de cet abaque.
Il importe de remarquer que la condition précitée est nécessaire.
Effectivement si Tabaque carré des coefficients de a7,y, 5, . . ., ^, par exemple, est vanescent, soit >.|, X,, . . ., 1^* ^^^ fi'^ invanescente en symptose avec lui par les colonnes. L'équation
admet toutes les files de solution des proposées, parce qu'elle leur est agrégée (27); mais, comme les coefficients des m inconnues x^ y, Zy , . .y s y sont tous nuls, elle se réduit à
(6) Ui + .. .'hlu-hJi^ = o
et les coefficients H, . . ., I, J, induits des n — m dernières colonnes de Tabaque du système (3) par la file invanescente considérée, ne peuvent tous s'évanouir, sans quoi ce système serait réductible, contrairement à l'hypothèse.
Le premier membre de cette équation n'étant pas nul identiquement, elle et, par suite, le système (3) ne peuvent être satisfaits par toutes les combinaisons de valeurs des n — m inconnues /, . . ., w, i^.
lU. I^ file générale des solutions du système (3) est indéterminée dans son ensemble, et cela d'une manière plus ou moins large selon la grandeur de la différence n — m. Mais il peut se faire que quelques inconnues y soxtnX, individuellement déterminées, c'est-f.-dire ne soient jamais susceptibles chacune que d'une seule et même valeur.
Si cette particularité se présente pour une certaine inconnue, œ par exemple, il faut qu'elle ne puisse faire partie d'aucun groupe de n — /w inconnues indéterminées, et, pour cela, que parmi les n — i colonnes formées dans l'abaque du système (3) par les coefficients des autres inconnues j^, z, . . ., (^ il n'en existe aucun groupe de m formant un abaque carré invanescent (II); cette condition exige que l'abaque de ces n— i colonnes soit vanescent par les lignes (25). Si elle est remplie, soit >.,,>>2, ...,^/n une file invanescente en symptose avec chacune de ces [n — i) colonnes; les équations (3) induites par cette file donnent l'équation agrégée
A ,y , -4- Agy 2 -1- ... 4- >v/t/m ^^ ^
qui se réduit à
Ax — o,
où A ne peut s'évanouir, car alors la file invanescente considérée serait aussi en symptose avec la première colonne de Tabaque de notre système, et cet abaque serait vanescent par les lignes, contrairement à l'hypothèse. Il résulte de cette dernière équation que x n'est effective' ment susceptible que d'une seule valeur qui est zéro.
31. Toute file de n éléments agrégée à quelques files de solutions du système (3) est aussi une file de solutions ^ et si n — m files de solutions forment un abaque invanescente la file la plus générale de n éléments qui leur est agrégée est aussi la file la plus générale des solutions des équations dont il s agit.
L'introduction de /i — /w paramètres indéterminés t, . . ., y, 9, représentant par exemple les valeurs des n — m inconnues indéterminées ty ...» M, ç', permet évidemment de substituer aux formules (>) les formules équivalentes
ic = Tir, -h. . .4- ul, + yJ,,
z — tHj -f-. . .-I- ul^ -h 9J!,,
(7) {^ =^H;,-f-...4-yr^4-9j;,,
u =T.o -+-...4-y.i -f-9.0, {; mT.O -f-. . .-f- u.o -f- y. I,
où, pour simplifier l'écriture, nous avons posé
On voit ainsi qu'une file quelconque de solutions est agrégée aux
( 3. ) n ~ m lignes de l*abaque
II', H'jj Hg ... H'^ I o . . . o o,
J , J!, Jg . . . J^ o o . . . o I ,
irréductible par les lignes, et même, en réduction apparente, ses n — m dernières colonnes étant saillantes (21), et que les multiplicateurs d'agrégation sont t, . . ., u, ç . On voit en même temps que, réciproquement, toute file agrégée à cet abaque par ses lignes, chacune de cellesci en particulier, est une file de solutions.
Considérons maintenant k files parliculières quelconques de solutions des équations (3); comme elles sont agrégées aux lignes de Tabaque (8), toute aulre file qui leur est agrégée Test aussi à cet nbaque par les lignes (7) et constitue par suite une file de solutions.
Si X: = /i — 7w et si Tabaque de ces files de solutions disposées en lignes est invanescent.
*^n—m yn—m ^n-m • • • ^n-m ^n—m • • • ^n-^m ^n—m*
il est nécessairement équivalent à Tabaque (8) par les lignes, parce qu'il en contient le même nombre en lui étant agrégé ( 19). Il en résulte que toute file de solutions est agrégée à ce dernier abaque parce qu'elle l'est à son équivalent (8).
En appelant donc 6,, 0^, . . ., %-m* /ï — w paramètres absolument indéterminés, les formules
00 — t]7| U| "T~ 0^2 "2 "^ • • • ""• ^'^H—rn^n—fnf
qui donnent pour x^y^ . . ., p les éléments de toute file agrégée aux lignes de l'abaque (9), la file d'agrégation étant 6< 63 . . . O^,.^, fournissent d'une autre manière toutes les files de solutions du système (3). Elles ont les formules (7) pour forme particulière, caractérisée par cette seule circonstance que, dans celles-ci, l'abaque des coefficients des indéterminées est en invanescence apparente ; elles leur sont préférables, parce qu'elles n'établissent aucune distinction entre les diverses inconnues.
On observera en outre qu'elles donnent une seule fois chaque file de solutions. En effet, pour que les files de valeurs de a?, y, . . ., i^, fournies par ces formules, pour les files 6'^,62, . . ., 6^^ et G''^,62, . . ., ^n-m ^® valeurs particulières attribuées aux paramètres indéterminés, soient identiques élément à élément, il faut que l'on ait
et par suite
c'est-à-dire que les files de valeurs des paramètres soient identiques. Effectivement, ces conditions constituent entre les n — /n différences 0, — 0"^, . . ., n équations linéaires et homogènes dont l'abaque est invanescent par ses colonnes qui sont précisément les lignes de l'abaque (9). Un groupe au moins de /i — tw de ces équations a donc un abaque carré invanescent (25), et par suite (29) ne peuvent être satisfaites que par des valeurs toutes nulles de ces différences.
On peut nommer cardinales des files de solutions au nombre de n — '/n et formant un abaque invanescent tel que (9), au moyen desquelles on peut exprimer immédiatement toutes les solutions d'une même autre file quelconque, en fonction linéaire et homogène de n — /w paramètres indéterminés. Il existe une infinité d'abaques de solutions cardinales : cela résulte de ce que nous verrons plus loin (71 inf.)\ mais tous sont équivalents par les lignes et fournissent naturellement
pour le système (3) le même ensemble indéfini de files de solutions. Une réciprocité remarquable lie un abaque de solutions cardinales à celui du système d'équations linéaires auquel il appartient (84 et suiv. inf.).
52. Un système d'équations linéaires et homogènes qui admet toutes les solutions du système irréductible (3) lui est nécessairement agrégé.
Une équation quelconque de ce nouveau système admettant en particulier les solutions d'un abaque cardinal tel que (9), ses coefficients a', b\ ...,y' sont des solutions du système irréductible des n — m équations linéaires et homogènes irréductibles aux n inconnues a, byc, . . .,/,y
^i« +7j* 4-Z|C -H-..4-i'iy =0, x.^a -^y^b -\- z^c -H...-i-^2y = o,
„,„n 4-7„-,„6 -H 2«,^C -h. . . -+- Vn^,„j = O,
et, pour la même raison, les m lignes de l'abaque du système proposé (3) sont des files de solutions des équations (11). Mais cet abaque étant invanescent par hypothèse, les solutions qui en forment les lignes sont cardinales; donc (31) la file a'b' ...f leur est agrégée : ce qu'il fallait établir.
33. Deur systèmes irréductibles d'équations linéaires et homogènes qui ont les mêmes files de solutions sont équivalents^ car, en vertu de ce qui précède, chacun d'eux est agrégé à l'autre.
Les deux théorèmes précédents s'étendent facilement à des systèmes réductibles, par la considération des systèmes réduits équivalents. O* sont les réciproques de ceux des n*** (27), (28).
34. Considérons maintenant im système de m équations linéaires, mais non homogènes, entre les n mêmes inconnues ^,JK> • • •> ^>
l a^x -^ b^y^-h. . .-hiiU -hj\v -+■ k^ =0,
En écrivant ^, . i , Xra . i , . . ., X:,„ . i les termes connus de ces équations ^,, ^2, . . ., k,ni on aperçoit de suite que leurs files de solutions peuvent s'obtenir en prenant simplement les n premiers éléments de celles des files de solutions des m équations linéaires et homogènes aux n -H I inconnues x^y^ . . ,^v,w
ia^x-h b^y -H. . .-H t, w -f-y, i» -h kiW = o,
( a,nX 4- b,„y-h. . .-f- î,„w -f-^^t^ -4- A,„fv = o,
dans lesquelles Tinconnue w a pour valeur i .
Nous appellerons abaque du système non homogène (12) celui du système homogène correspondant (i3)qui a m lignes et n-i- i colonnes. Cela posé, en combinant la remarque précédente avec la théorie des sysièmes homogènes, on obtient immédiatement les propositions suivantes :
I. Le système (ï2) admet les solutions de tout autre de même nature auquel il est agrégé, c'est-à-dire à l'abaque duquel le sien est agrégé par les lignes (27).
En conséquence, deux semblables systèmes ont les mêmes files de solutions s ils sont équivalents, c'est-à-dire si leurs abaques le sont par les lignes (28).
La résolution du système (12) peut donc s'opérer par celle d'un système irréductible équivalent (20); nous pourrons donc supposer désormais que ce système est irréductible, ce qui exige en particulier que Ton Siil m'Sn -h i.
II. Quand m est = n -h i , fe système irréductible (12) est i/npossible, c'est-à-dire n'admet aucune file désolations.
Dans ce cas, en effet, la seule file de solutions du système homogène auxiliaire (i3) est vanescente (29), et la valeur de w ne peut pas y être égale à i .
III. Quand //z$ n, le système irréductible (12) est possible ou impossible suivant que V abaque partiel formé dans le sien par les m colonnes de coefficients des inconnues est invanescent ou vanescent.
Si Tabaque parliel en question est invanescent, le système auxiliaire {l'i) peul être résolu en attribuant des valeurs arbitraires à quelque groupe de /i-f- 1 — m inconnues comprenant jr (25), (29), et les n premiers éléments de toute file de solutions dans laquelle iv aura j)our valeur i formeront une file de solutions du système proposé (12).
Si au contraire cet abaque partiel est vanescent, le système auxiliaire (i3) n'admet aucune file de solutions dans laquelle w n'ait pas une valeur nulle (30, III), partant non = i , et le proj^osé est impossible.
IV. Dans le cas où m = n,le système (12), s'il est irréductible et possible, admet une seule file de solutions, ou, en d'autres termes, est déterminé.
Pour résoudre ce système, il faut cliercher les files de solutions du système auxiliaire (i3) dans lesquelles fv= i. Ce système ayant alors des inconnues en nombre inférieur d'une unité seulement, à celui des équations qui le composent, une seule de ces inconnues, pour laquelle l'hypothèse permet de choisir iv, est indéterminé (50, II). En le résolvant dans cette hypothèse par des formules analogues à (5), puis y posant w = \ , les valeurs de toutes les autres inconnues, c'est-à-dire des inconnues du système proposé (i 2), se trouvent exactement déterminées.
V. Dans le cas où m <C^ny on peut attribuer des valeurs arbitraires à tout groupe de n — m inconnues tellement choisies que V abaque carré des coefficients des m autres sont invanescent, après quoi les valeurs correspondantes de ces m autres inconnues sont exactement déterminées.
Supposons, par exemple, que l'abaque carré des coefficients des /// inconnues x,y, z, , , ,,s soit invanescent; on peut alors résoudre le système auxiliaire (i3) par rapport à ces m inconnues, au moyen de formules analogues à (j) qui contiennent comme indéterminées les n-h I — m autres /,..., a, ç^, w. En y posant qp' = i, il ne reste plus comme indéterminées que les /i — m inconnues /,..., m, ç' au moyen des valeurs desquelles les formules ainsi modifiées expriment les valeurs correspondantes de ;r, j', 5, . . ., ^.
VI. Les mêmes choses restant posées, on obtient encore les éléments de
la file générale des solutions du système (12) en ajoutant respectivement à ceux d' une file particulière quelconque de solutions les éléments correspondants de la file générale de solutions du système homogène (3), aiufuel le proposé se réduit par la suppression des termes connus k^^k,y^ . . . , A*;„.
Si iTo, Jo»^o» •••> "o» <'o est une file particulière de solutions des équations (12), en adjoignant à cette file disposée en ligne celles d'un abaque de solutions cardinales du système (3), puis à cet abaque de (m -h i) lignes et de n colonnes une colonne ayant pour éléments I suivi de // — ^ zéros, on obtient l'abaque
jf, V, z, ... M, r, o a\i Yo Z2 . . . £/2 ^'2 ^
dont les lignes constituent dans leur ensemble des files de solutions cardinales du système auxiliaire (i3).
Effectivement les lignes de cet abaque sont 'en nombre égal à n-+- I — m excès du nombre des inconnues sur celui des équations dans le système (i3), et cliacune d'elles est évidemment une file de solutions de ce système. D'autre part, cet abaque est invanescent par les lignes; car dans une file *Xo> ^i» ^^2» • • •> ^«-m ^^ symptose avec lui par les colonnes, il faut d'abord que l'on ait >io = o à cause de la symptose partielle qui doit avoir lieu avec la dernière colonne de l'abaque; il faut ensuite que les n — /n autres éléments X,, >.2, . . ., \'i-m soient tous nids. Car, à cause de la nullité de "Xo, la file de n — m éléments qu'ils forment doit être en symptose avec les colonnes de l'abaque réduit à ses n — m dernières lignes, c'est-à-dire avec celles de l'abaque (9)'qui est essentiellement invanescent. Ce qui revient à dire que l'abaque (i4) ne peut être en symptose par ses colonnes qu'avec une file vanescente.
Cela posé, si au moyen des éléments de cet abaque et de /i -h i — m paramètres indéterminés 60, 6|, 62, . . ., %,^,n on exprime les solutions du système (i3) par des formules analogues à (10), et si l'on fait Oo= i, ce qui est nécessaire pour que w soit = i, on trouvera bien, pour
celles du système proposé (12), les formules spécifiées implicitement dans notre énoncé :
ce ^^ -X^Q -f— ce ^ "1 — 1~ tX*2"2 «~ • • • "^ ^n—m"n--m9
Ces formules fournissent une fois seulement chacune des files de solutions du système (12); ce dont on s'assure en raisonnant comme nous l'avons fait par les formules (ro).
34 bis. Nous revenons actuellement aux équations linéaires et liomogènes, pour chercher comment leurs solutions s'expriment au moyen des coefficients. Mais auparavant il convient d'étudier sommairement des expressions très remarquables qui se présentent dans cette question, ce qui en allégera notablement la solution.
En considérant comme autant de variables indépendantes les éléments d'un abaque donné que nous décomposerons par la pensée en files parallèles d'une direction où elles ne sont pas moins longues que les files de l'autre sens, nous nommerons covanescent de cet abaque toute fonction des éléments, linéaires et homogènes par rapport à ceux de chacune des files en question (considérés isolément), qui jouit de la propriété de s'évanouir pour tout système de valeurs des éléments rendant l'abaque vanescent par les files dont il s'agit.
Nous réduirons chaque covanescent de manière à lui donner la forme d'une somme de monômes dissemblables par rapport aux éléments de l'abaque, ayant pour coefficients des quantités indépendantes de ces éléments, et nous supprimerons naturellement tout terme qui serait pourvu d'un coefticient nul.
I. Pour fixer les idées, nous considérerons l'abaque (i5) écrit plus loin, dont nous supposerons la largeur n au moins égale à la hauteur m. Cela posé, chaque terme d'un covanescent F de cet abaque est le produit de son coefficient par m éléments situés tous sur quelque même diagonale.
Comme F est linéaire et homogène par rapport aux éléments de cliaque ligne de Tabaque considérés isolément, nn quelconque de ses termes contient, à titre de facteurs, m éléments de l'abaque, ni plus ni moins, et ces éléments sont notés par les m indices i , 2, 3, . . . , m tous différents les uns des autres. Les m lettres servant à la notation des mêmes éléments sont aussi toutes différentes.
Dans le cas contraire, en effet, il exislerait dans F quelque lerme ayant pour facteurs des éléments appartenant dans leur ensemble à moins de m colonnes deTabaque, aux tri <^m premières par exemple. En appelant alors P le groupe formé par les termes de cette espèce et Q l'ensemble des autres termes, ayant ainsi pour facteur un élément au moins des n — ni dernières colonnes, on aurait
d'où Fo= P, Fo désignant ce que devient F quand on réduit à zéro tous les éléments de ces n — m! colonnes, car alors tous les termes de Q s'évanouissent.
Mais cette hypothèse rend l'abaque vanescent par les lignes, et par suite Fo= o; car, à cause de 7n'<^ ni, on peut assigner quelque file invanescente de m éléments en symptose avec ses ni premières colonnes (H) et en fait avec toutes, puisque les n — m' autres sont devenues vanescentes. On devrait donc avoir aussi P == o, quelles que fussent les valeurs des éléments entrant dans cette expression; or c'est impossible, puisque nous supposons F composé de termes dissemblables à coefficients non nuls.
Une même lettre ou un même indice ne pouvant ainsi figurer deux fois dans la notation des m éléments qui entrent dans chaque lerme de F, ces m éléments appartiennent nécessairement à une même diagonale de l'abaque (ï5).
II. Quand V abaque (i5) est carré, tout covanescent F relatif à ses lignes est aussi un cos^anescent relatif à ses colonnes.
Puisque chaque terme de F contient en facteurs les premières puissances seulement de m éléments notés par m lettres essentiellement différentes (I), et que la notation de la totalité des éléments comporte seulement m lettres à cause de n = m, une colonne donnée quelconque
(le Tabaque fournit toujours, comme facteur, à un terme quelconque de F, quelqu'un de ses éléments à la première puissance, mais un seul. Notre fonction est donc aussi linéaire et homogène par rapport aux éléments de chaque colonne de Tabaque, considérés isolément. Enfin, quand l'abaque est vanescent par les colonnes, il Test aussi par les lignes, puisqu'il est carré (15), et F s'évanouit.
35. Le système (3) étant irréductible et indéterminé ^ toutes ses solutions sont données par les formules
07 = X, 7= Y, ..., .pz:=V,
o/i X, Y, . . ., V sont des fonctions des mn éléments de son abaque
qui contiennent d'une manière linéaire et homogène certains paramétf^s indéterminés. D*autre^ part^ ces fonctions sont d'une nature telle, que r induit
(i6) «oX 4- fto Y -H. . . -f-yoV
de leur file et de celle de n nouveaux éléments indéterminés a^^^b^^ • • • ^yo est un cos^anescent de V abaque suivant à m-h i lignes et à n colonnes
a^ Oq Cq , . • gf^ /Iq ... Jq at b^ Ci ... gt /i, ... y,
^m ^m ^m • • • 8m ^/n * • • Ji
I . Notre théorème a lieu quand le système ( 3 ) contient une seule équation , sa première par exemple.
Ija fde des coefficients de celte équation en comprend un au moins,
a, pour fixer les idées, qui n'est pas nul parce qu'elle est invanescente. En raisonnant donc comme au n^ H, on trouvera que loules les solutions s'obtiennent en attribuant à 7, z, . . ., ç' des valeurs quelconques et à a? la valeur correspondante
X =^ y 5 — ... Vf
Mais, en posant -^ =V3, — = Ç, ..., — = 9,19, ?!,..., ç:^ seront, comme
* ÛJj cil ^1
y, r., . . ., r, des quantités lout à fait arbitraires, et les solutions dont il s'agit seront aussi données par les formules
z = «iÇ,
dont tous les seconds membres sont bien linéaires et homogènes par rapport aux paramètres indéterminés yj, Ç, . . ., 9. D'ailleurs ils vérifient évidemment l'équation proposée, quelles que soient les valeiu's de ces paramètres, et aussi celles des coefficients ^^,61,.. .,y, . Maintenant si l'abaque
Û^O ^0 ^0 • • • /o Uf Oi C^ ... Ji
devient vanescent par les lignes, il arrivera de deux choses l'une : ou bien sa seconde ligne sera vanescente, ou bien elle ne le sera pas, mais alors la première lui sera agrégée (14). Dans le premier cas, l'expression (16) s'évanouit, parce que, en fait, les expressions cidessus de a?, j, ...,(' s'évanouissent toutes. Dans le second cas, elle s'évanouit encore, parce que l'équation
ao^r-f- 6oj4-. ..-f-y'o^ = o
est agrégée à la proposée et en admet par suite toutes les files de solutions (27). D'ailleurs, cette expression est évidemment linéaire et homogène par rapport aux éléments, soit de l'une, soit de l'autre ligne de l'abaque bilinéaire ci-dessus.
II. Notre théorème est vrai pour le système considéré ['i)^ s'il Test pour un autre de même nature contenant m — i équations seulement.
Notre système étant irréductible, il y a certainement m inconnues x,y^ z^ . . y s dont les coefficients
a, ft, c^ ••• ^M
\ a^fi Ojff Cf„ . . • g'ffi
forment un abaque carré invanescent (25).. L'abaque laissé dans ce dernier par la suppression de sa première colonne est donc invanesr cent aussi (par les colonnes) (12). Le système des m — i équations linéaires et homogènes aux m inconnues >.|,>i2, . . ., 1^
C, À| H- Cj Aj -f- . . -+- Cffiïsfji = O, >
est ainsi irréductible et indéterminé, et, par hypothèse, on obtiendra une file donnée de ses solutions, en particulier une de celles qui sont invanescentes
(20) A<, Aa, . . ., A
en prenant les coefficients de «i, «2, . . ., a,^ dans quelque covanes-
cent ^ de l'abaque carré
f \ ( ^2 1^2 ^2 ' ' * gi
Introduisons maintenant les équations (3) par la lile (20). Les coefficients dey^ 5, . . ., 5 dans le résultat sont tous nuls à cause des équations (19). Quanta ceux des autres inconnues rc, /, . ..^u^i^^ ils sont évidemment les expressions [abc ... g), {hbc . . . g), . . ., {ibc...g)^ [jbc . . * g) dans lesquelles ^ se transforme par la substitution faite à a,, ^2, .. .,a,„dela premièrecolonnederabaque(i5),dela {m -h i)**""^*^, ..., de la {n— i)'^'"*^ et de la n}^^^^ respectivement. On obtient ainsi Téquation
, , ( (abc ... fi')x -^ o.y -^' o.z -h...-h o.s
[hbc . . . g) t -h . . .-i- {ibc . . . g) u -h (Jbc . . . ^) r = o,
et {abc . . > g) n'est pas nul, car autrement Tabaque (18) aurait sa première ligne en symptose, comme les m — i autres, avec la file invanescente (20) et il serait vanescent contrairement à ce qui a lieu.
L'expression {abc... g) est évidemment un covanescent de Tabaque (18), puisqu'elle est formée avec ses éléments exactement comme ^, covanescent de l'abaque (21), avec ceux de ce dernier. Les m — I expressions {aac . . . g)^ {ace . . . g), {agc -* . g) déduites de {abc . . .g), en y substituant successivement aux éléments de laseconde colonne de l'abaque (18) ceux de la première, de la troisième, etc., et de la /^^'***"*^, sont donc toutes nulles puisque ce sont alors des covanescents d'abaques carrés, dans chacun desquels respectivement la seconde colonne est identique, partant agrégée, à la première, à la troisième, ..., à la m*^'"*, c'est-à-dire tous vanescents. Il en résulte que l'induction des équations (3) parles coefficients de 6,, 60» •••> ^w dans {abc ... g'), ordonné par rapport à ces éléments, donne une équa* tion de la forme
( o.x -^ (abc . ., g)y ^ o.z -\-, , .-^o.s
\ -h ( a/ic ... 5') /-+-... -h {aie . . . g ) // -h [ajc . . .g){^ = o,
car, en induisant la file des coefficients dont il s'agit par les colonnes de Tabaque (18) qui sont notées par les lettres 6, A, . . ., i,j\ on reproduit d'abord évidemment l'expression {abc ... g), puis ensuite ce en quoi la transforment les substitutions à la file d'éléments h^^bz, ..., bf„,
des {m -h I )"'"»% . . ., (/2 - i)»^'"% /t""»*' colonnes de l'abaque (i8j.
En poursuivant de même avec les 3**'"*^, . . ., m*^"*^ colonnes de Tabaque (i8) successivement, on obtient les m — 2 autres équations analogues
o.x 4- o.j^-f- [ahc . •* g)z -h.. . 4-0.5
[abh., . g)t -{'...-{'{abi ... g)u-\-[abJ ... g)ç = 0,
o. A?4- O.JH-O.J5 -}-. . .+ [abc . > ' g)s
{abc . .,h)t -+-. . .-h{abc .., i)ii -\- [abc ...j)v = o,
qui, elles, ainsi que (22) et ( 23), sont toutes agrégées au système (3). En outre, ce système de m équations est en réduction apparente à cause de [abc. g) non = o ; il est donc équivalent au proposé (19), et ses solutions sont identiques à celles de celui-ci (28).
Ce système est de même nature que (4), à part les notations, et cette circonstance essentielle que, maintenant, nous avons
A , = Bj = C3 = . . . = Gfn = [abc ... g").
liCS solutions seront donc fournies par les formules (5) ou bien par les formules équivalentes (')
X = — [kbc ... ^) T — ... — [ibc . • g)v — [jbc . . . ^)o, y = — [ahc ... ^) T — ... — [aie . . . ^) u — [ajc . . . ^)<p, js = — [abh ... ^) T — ... — [abi ... g)v — [abj . . . g)f,
t z= [abc ... g)T,
u = [abc ... g)v,
ç = [abc . . . g)(p,
qu'on en déduit en exprimant les n — m inconnues indéterminées
(' ) On peut supposer que les coefficients de t, . . ., u, p sont certains déterminants de Tabaque (i5) (57 m/.). •
/,..., w, (^ au moyen des paramètres indéterminés en nombre égal T, . . ., u, 9, par les n — m dernières des précédentes formules, ce qui ne restreint aucunement l'indétermination de ces inconnues à cause de {^ahc ... g") non = o.
Tl est essentiel de remarquer que ces formules donnent, pour les inconnues, des valeurs qui satisfont au système (3), queb que soient, et ses coefficients, et les valeurs dex^ . . ., u, ç, et aussi le covanescenl ^ de l'ahaque carré (18) qui a servi à les obtenir. Pour s'en assurer, il suffit évidemment de vérifier que les coefficients de t, . . ., u, 9 dans les résultats qu'on obtient en portant ces expressions de ^, j^, . . . , t^ dans les premiers membres des équations (3), se réduisent tous à zéro.
Considérons, par exemple, la première équation et le coefficient du paramètre t, savoir, au signe près,
a^{hbc ... g) -\- b^[ahc . . . ^)
c^[abh . . . ^) +...4-^i(a6c ... h) — h^[abc ... g).
Cette expression est évidemment linéaire et homogène par rapport à A|, A29 • • •> ^m> et A, y a pour coefficient
[a, A, -h i,B, 4- c^C,-f-...-H^,G|] --{abc ...g),
A,, B,, ..., G, représentant les coefficients de a,, Z>,, ..., g^ dans le développement de [abc. . .g), par suite zéro, puisque le polynôme entre crochets régénère [abc. . .g).
D'autre part, si l'on prend k non = i, et si Ton nomme A^^» B^^, ..., G^t les coefficients de a,,, b^, • • •» ^)t dans le développement de {abc. . .g), le coefficient de A^ sera
a^Af,-hb^}^,,-h...-h giG,,.
Or cette expression est un covanescent de l'abaque carré vanescent formé en remplaçant la k'^^^ ligne de (18) par la file a,, è,, ..., ^,. Elle est donc nulle, et ainsi les coefficients de Aj» ^3» •••! ^m s'évanouissent tous comme celui de h^.
Les seconds membres des formules (ai) sont tous linéaires et homogènes par rapport aux paramètres indéterminés t, ..., u, y. En
outre, et par définition, le covanescent {abc * > * g) étant linéaire et homogène par rapport aux éléments de chacune des lignes de son abaque (i8), il est évident, d'après la manière dont les coefficients de T, . . ., y, 9 se déduisent de ce covanescent, que la même propriété appartient à tous ces coefficients, par suite à chacun des seconds membres des formules (24) ainsi qu'à l'expression (16), relativement aux éléments d'une même ligne quelconque de l'abaque (i5).
Supposons enfin que l'abaque (17) devienne vanescent par les lignes; alors celui de ses m dernières lignes le sera lui-même, sinon sa première ligne sera agrégée à ces m autres (14).
Dans le premier cas, m colonnes quelconques de l'abaque (i5) forment évidemment un abaque vanescent ; {abc - •* g) s'évanouit donc et avec lui, simultanément, tous les coefficients de t, . . ., v,* (p dans les formules ( 24 ), chacun d'eux, au signe près, étant composé avec quelque groupe de m colonnes de (i5) comme {abc ... g") l'est avec les m premières. Les seconds membres des formules (24) ^t avec eux l'expression (16) se réduisent donc à zéro.
Dans le second cas, l'équation
aQX -h ^oj-^- "-^Jo^= o
est agrégée au système proposé (3); partant satisfaite par toutes ses files de solutions (27).
L'expression (16) s'évanouit donc dans les deux hypothèses, et, comme elle est linéaire et homogène par rapport aux éléments de toute ligne de (17), elle est un covanescent de cet abaque, ce qui restait à prouver.
IIJ. Notre théorème est donc vrai dans tous les cas, puisqu'il a été démontré quel que soit n pour /n = 1 (I), et que le raisonnement ci-dessus permet de l'étendre successivement aux cas de
36. Réciproquement, les coefficients X, Y, ..., V de a^^bç^, •••♦yo dans un covanescent quelconque de l'abaque (17) sont des solutions du système ( 3 ) .
( 46 ) Effectivement l'expression
est évidemment un covanescent de l'abaque
Cm
déduit de (17) par la répétition de sa seconde ligne à la place de sa première. Elle est donc nulle, puisque ce dernier abaque est en symptose par les colonnes avec la file invanescente ayant pour éléments -f- i et — I suivis de m — I zéros, partant vanescent par les lignes. En d'autres termes, les quantités X, Y, ..., V satisfont à la première équation du système (3), et l'on démontrerait de même qu'elles satisfont aussi à ses (m — 1) autres équations.
37. La recherche des solutions de notre système, exprimées en fonction de ses coefficients, revient ainsi à celle du covanescent le plus général de rabaque (17), puisque l'expression (16) ne peut être qu'un covanescent de cet abaque (35).
Avant de procéder à cette recherche, remarquons que les formules (24) font aussi dépendre les mêmes solutions de la formation d'une simple fonction covanescente non nulle de V abaque carré (18) des coefficients de m inconnues choisies de telle sorte que cet abaque soit invanescent (25).
Ces deux méthodes s'équivalent au fond, mais la seconde est évidemment la plus simple.
Déterminants.
38. Nous aurons incessamment besoin de certains principes d'Analyse combinatoire, que nous allons tout d'abord exposer.
T. On nomme permutations de plusieurs objets déterminés quelcon-
(jnes les divers groupes que Ton en peut former, en les alignant lous les uns à la suite des autres de toutes les manières possibles. On sait que le nombre des permutations différentes de m objets donnés est égal au pi oduit 1 . 2 . 3 ... m.
II. Dans une permutation donnée (de deux ou plusieurs objets), on nomme une transposition l'opération consistant à déplacer deux objets déterminés, de manière à transporter chacun d'eux à la place que l'autre occupait auparavant.
Si les objets considérés sont au nombre de m, le nombre des transpositions distinctes que Ton peut concevoir parmi eux est égala ' — y
\ m JSt
nombre des manières d'en choisir deux.
m. Étant données deux permutations quelconques de certains objets, on peut toujours faire naître la seconde de la première, en exécutant dans celle-ci des transpositions con^^enables.
La démonstration est assez facile pour que nous puissions la supprimer.
IV. Il y a visiblement une infinité de manières de passer ainsi, par des transpositions successives, d'une permutation donnée à une autre, différente ou non, des mêmes objets; mais, quelle que soit la manière d'opérer, le nombre des transpositions pouvant ainsi métamorphoser une permutation donnée dans une autre est de parité inK^ariable, c'est-à-dire toujours |)air ou toujours impair, suivant la nature relative des permutations considérées.
1° Une transposition quelconque équivaut toujours à un nombre impair de transpositions simples, c'est-à-dire ne déplaçant chacune que deux objets contigiis dans la permutation considérée.
Soient ô et p les deux objets à transposer, et supposons qu'il y en ait
q entre eux dans la permutation considérée . ..0 . . .p Il est clair
qu'en transposant successivement 6 avec l'objet placé après lui, puis avec l'objet suivant . . ., puis avec celui qui précède p, puis enfin avec p, ce qui fait q -f- 1 transpositions simples, la permutation considérée deviendra . . . | . . ./j5. . ., le trait vertical indiquant la place qu'occupait dans la permutation primitive.
Si maintenant, dans cette nouvelle pennutation, on transpose suc-
cessivement p avec l'objet placé avant lui, puis avec celui qui précède celui-ci, ..., puis enfin avec l'objet placé imoiédiatement à la droite du trait vertical, ce qui constitue y transpositions simples, la permutation deviendra ... p ... 9 ... , c'est-à-dire ce que devient la permutation |)rimitive par la seule transposition des objets Q et p.
Notre lemme est donc démontré, puisque le nombre total des transpositions simples qui ont été exécutées est l'impair 2y -h f .
s® Si certaines transpositions simples ne produisent aucun changement dans une permutation, leur nombre est essentiellement pair.
La chose est évidente quand la permutation contient deux objets seulement, car chacun d'eux revient à sa place ou n'y revient pas selon qu'il a été transposé avec l'autre un nombre pair (o compris) ou un nombre impair de fois, transpositions qui toutes sont forcément simples.
Il nous suffit donc de prouver que, si elle est vraie quand il y a m objets dans la permutation, elle l'est encore quand il y en a /w -f- 1. A cet effet, choisissons un quelconque des objets dont il s'agit, et, parmi les transpositions considérées, distinguons celles qui déplacent Q et cel les qui, le laissant immobile, déplacent simultanément deux des m autres objets.
Toutes les transpositions considérées étant simples, chacune de celles du premier genre fait marcher d'un seul rang en avant ou en arrière, et, par suite, comme leur ensemble ramène S à sa place primitive, leur nombre est nécessairement pair. En outre, aucune de ces transpositions ne déplace les autres objets les uns par rapport aux autres, c'est-à-dire abstraction faite de 5; en d'autres lermes, si, avant et après l'une d'elles, on supprimait Q en rapprochant au besoin les deux fragments de la permutation qui sont séparés par 5, on obtiendrait deux permutations identiques des autres objets.
La disposition relative de ces autres objets n'est donc modifiée que par les transpositions du second genre ; elles sont donc aussi en nombre pair en vertu de l'hypothèse, puisque ces objets sont au nombre de m seulement et que les transpositions dont il s'agit les ramènent à la même disposition relative.
Les transpositions simples du second genre étant en nombre pair comme celles du premier, le nombre total des transpositions est pair aussi, ce qu'il fallait prouver.
3** Des transpositions de nature quelconque qui ne produisent aucun changement dans une pernruitation donnée sont aussi en nombre pair.
Soient effectivement n', n", ..., n^^^ les nombres tous impairs de transpositions simples dont les ensembles équivalent respectivement à chacune des k transpositions considérées (i®). Leur somme
;i'+^" + ...^nf*)
est paire (2°), puisque l'ensemble de toutes ces transpositions simples ne produit aucun changement dans la permutation considérée. Le nombr-e k est donc pair, sans quoi la somme dont il s'agit serait nécessairement impaire.
4** Soient maintenant P,, Pj deux permutations des objets considérés, dont la première se métamorphose dans la seconde par l'un ou l'autre des deux groupes (/)', (/)" de/i' et n" transpositions, et appelons "(/),un nouveau groupe de n" transpositions formé avec celles du groupe (/)" exécutées dans l'ordre inverse. Il est évident que les transpositions [t)" et ''(/) exécutées successivement sur une permutation quelconque n'y produisent aucun changement, car l'effet de celles du premier groupe est visiblement détruit par celles du second.
Maintenant l'exécution successive sur la permutation P| des transpositions (/)' et "[t) n'y produit aucun changement; car le premier groupe (/)', changeant P, en P2, y produit le même effet que le groupe [ty\ et nous venons de voir que les transpositions [ty et"(/) laissent invariable toute permutation. Donc (2**) n' -^ n!\ nombre total des transpositions (// et "(/), est pair; les nombres n' et n!' sont donc ou tous deux pairs (o compris) ou tous deux impairs.
Il résulte implicitement de notre raisonnement que le nombre des transpositions nécessaires pour iransformerV ^ enV^ est de même parité que celui des transpositions qui peuvent transformer V^ en P^.
V. Comparons toutes les permutations de m objets à l'une d'elles P choisie arbitrairement; formons-en deux classes (C)' et '(C) contenant respectivement celles pouvant se déduire de P par des nombres pairs (o compris) et impairs de transpositions, et soient R, S deux permutations quelconques des mêmes objets, pouvant être déduites de P au moyen der, s transpositions respectivement.
Si Ton peut passer de R à S au moyen de / transpositions, inversement, d'après ce qui a été dit tout à l'heure, on pourra passer de S à R au moyen de t transpositions aussi. En outre, on peut passer encore de P à S par l'intermédiaire de R, c'est-à-dire par r-f- t transpositions; il en résulte (IV) que s et r -h t sont de même parité. Si donc R, S apj)arliennent à une même classe, les entiers r, s sont de même parité, et / est un nombre pair; sinon r, s sont de parité différente, et / est impair. On en conclut immédiatement que le partage en deux classes des 1 . 2 . 3 ... m permutations de m objets donne les mêmes résultats, quelle que soit la permutation type P au moyen de laquelle on l'a opéré.
Finalement, les nombres des permutations contenues dans chaque classe
sont égaux l'un à l'autre, par suite à ' — j car une même transpo-
sition (nombre impair) exécutée sur toutes les permutations de la classe (C)' en donne d'autres en nombre égal, qui sont toutes distinctes les unes des autres et appartiennent à la classe '(C). Il en résulte que la classe '(C) contient au moins autant de permutations que la classe (C)', et l'on prouve de même que celle-ci n'en contient pas moins que l'autre.
