Dans l'abaque
Mo O^ C.y ... I '2
^ni t^/n ^m • • • Vm»
à m lignes et n^m colonnes, on obtient les éléments d'une même diagonale quelconque, en prenant quelque combinaison de m des /i lettres a,b,c, .. .,y et les affectant, d'une manière quelconque, des m indices I, 2, 3, .... m. Nous appellerons yam///e5 les divers groupes formés chacun par les diagonales dont les éléments sont notés par les mêmes lettres; il y a évidemment autant de familles que de combinaisons de
n lettres m dm, c est-a-dire — ^^ ^^ •
Si maintenant, dans les diagonales d'une même famille, on écrit les
éléments d'une manière telle, que les lettres servant à leur notation
soient, pour toutes, rangées dans le même ordre, les notations de ces diagonales ne différeront que par Tordre de succession des indices. Il y a donc autant de diagonales distinctes dans chaque famille que de permutations de m indices, c'est-à-dire i . 2 . 3 . . .m.
Ainsi, dans une même famille, on peut passer de la notation d'une diagonale à celle d'une autre quelconque, en exécutant des transpositions convenables sur sa permutation d'indices (les lettres restant immobiles). Chaque famille se partage donc naturellement en deux classes
o/?po5ec'*, contenant chacune —^-^^-^-^ — diagonales dont les notations de
deux quelconques se métamorphosent l'une en l'autre par un nombre pair de transpositions d'indices (58, V).
Quant au nombre total des diagonales de l'abaque (i), il est égal à n[n — i). . .(n — m -h I ), produit du nombre des familles par celui des diagonales contenues dans chacune.
40. Le covanescent le plus général F de V abaque ( 1 ) s obtient en ajoutant les produits des éléments de cJiacune des diagonales, multipliés respectivement par des paramétres absolument indéterminés, sauf la restriction d'être égaux pour tous les produits qui pronennent de diagonales d'une même famille et d'une même classe, égaux encore, mais de signes contraires, pour deux produits provenant de diagonales de classes opposées dans une même famille.
Si l'abaque (i) n'a qu'une ligne, notre théorème est évident, car la règle posée conduit à la fonction linéaire et homogène la plus générale des éléments de cette ligne, qui est évidemment le covanescent cherché.
Sinon, comme nous savons déjà (34 bis, I) que, F ayant été ramené à une forme où tous ses termes sont dissemblables par rapport aux éléments de l'abaque, chacun de ces termes est le produit des éléments de quelque diagonale par un coeftîcient constant (non nul), soit Cîîa, 62 Tun d*eux correspondant aune diagonale contenant a, et ij» ^^ désignant le produit des m — 2 autres éléments etC le coefficient.
Si, dans F, on rend simultanément et respectivement égaux aux n éléments a,|3, . . ., t, Ç d'une même file indéterminée ceux des deux premières lignes de l'abaque, F s'évanouit, quels que soient les coefficients, les quantités a, |3, . . ., t, Ç et les éléments des m — 2 dernières
lignes de Tabaque, puisque celui-ci devient vanescent par les lignes. Comme le terme considéré devient alors Cùa^ et que C n'est pas nul, il faut qu'il se soit formé simultanément des termes semblables détrui sant celui-ci. Or un seul a pu naître, et il provient d'un terme vn QUib^; F ne peut donc contenir le terme Cùa^b^i sans contenir en même temps le terme — CiîâTjii dont la notation se déduit de la précédente par la transposition des indices i, 2 des deux lignes que l'on a rendues un instant identiques, accompagnée d'une multiplication par — I.
Le même raisonnement, rc'pété pour toutes les combinaisons deux à detjx des lignes de l'abaque, prouve qu'un terme donné quelconque de F est nécessairement accompagné par tous ceux dans lesquels il se métamorphose quand on y transpose deux indices quelconques en le multipliant en même temps par — j. Or ce terme et ceux qui en dérivent ainsi correspondent bien à toutes les diagonales d'une même famille; et, dans deux quelconques, les coefficients sont égaux, ou bien égaux et de signes contraires, selon que les diagonales correspondantes appartiennent à la même classe ou à des classes opposées. Le rovanescrnt F ne peut donc être que de la forme assignée par renoncé, les coefficients C jouant le rôle de paramètres indéterminés, et il nous reste simplement à constater que la forme dont il s'agit assure bien sa covanescenco.
D'abord il résulte des considérations précédentes que F s'évanouit chaque fois que deux lignes de l'abaque deviennent identiques; elles montrent effectivement que, dans luie famille quelconque, chaque terme est alors détruit par celui de classe opposée dont la notation se déduit de la sienne par la transposition des indices de ces lignes, combinée avec une multiplication par — i .
Supposons enfin que l'abaque (i) devienne vanescent par les lignes: dans ce cas (14), la première, par exemple, devient agrégée aux autres. Soient >.2» ^3» •••»\/i '^s multiplicateurs d'agrégation. Comme F est linéaire et homogène par rapport à «,, ft,, c,, . . .,74, la substitution
de >.2^a "^ ^3^3 ^" •••"+" ^m^/n ^ a,, de >2^2 + ^s'^s -^"- • --^^m^m à b^,
change cette fonction en
Aj r j -l- A3 r 3 -j— . . . -f- A;„r;„,
Fj, F,, ..., F;„ désignant ce qu'elle devient successivement quand, aux éléments de la première ligne de l'abaque, on y substitue successivement et respectivement ceux de la deuxième, de la troisième, . . ., de la m'^™®. Or, d'après ce que nous venons de voir, F2, F3, . . . , F,„ sont loutes nulles, puisque ce sont des déterminations de F relalives à des abaques dans chacun desquels deux lignes sont identiques.
41. Dans un covanescent de V abaque (i), ordonné par rapport au,r éléments de une ou plusieurs lignes, les coefficients des divers termes sont des coi^anescents de l'abaque réduit à ses autres lignes.
Ordonnons d'abord le covanescent considéré, par rapport aux éléments de la première ligne par exemple, de manière à le mettre sous la forme
A| a, -f- B, i, H- . . . H- J,yi ,
. A,,B,, . . ., J, ne dépendant plus de a,, è,, . . .,y,. Si l'abaque, privé de sa première ligne, devient vanescent (par les lignes), l'abaque tout entier Test forcément aussi (12). Donc l'expression ci-dessus s'évanouit, quels que soient a,, é|, . . .,71, d'où A, =B| =. . . = J| = o (5). D'ailleurs, chacune de ces expressions est, comme le covanescent considéré, linéaire et homogène relativement aux éléments de l'une qu<*loonque des m — i dernières lignes de l'abaque.
En ordonnant A,, B,, . . ., J, par rapport aux éléments de la seconde ligne de l'abaque, les coefficients de «a, &2» •••♦72 sont de même des covanescents de l'abaque réduit à ses m — 2 dernières lignes. Or ces coefficients sont précisément ceux dis monômes rnai&2» ^«<^'2» •••» 6,^2, b^C29 . .. dans le covanescent considéré, quand on l'ordonne par rapport aux éléments d< s deux premières lignes. On raisonne de même dans tout autre cas.
42. Quand le coi^anescent le plus général d'un abaque s'éi^anouit quels que soient ses paramétres indéterminés ^ l'abaque est vanescent {par ses files les plus longues).
Nous reportant au paragraphe précédent, supposons qu'il s'agisse de l'abaque (17) ne contenant pas plus de lignes que de colonnes et se réduisant à (i5) par la suppression de sa première ligne.
Si (i5) est vanescent, (17) Test aussi (12), et notre théorème a lieu.
Si (ï5) est invanescent, le système (3) est irréductible et a pour file générale de solutions
•**o» tj^, L«o» • • •» J©»
coefficients de «o, b^, c^, . . ., y« dans le covanescent le plus général de rabaque(i7) (5o), (36).
Comme on a, par hypothèse,
aoAo4- ^0 Bo + ^0 t^o -^ • • •-+-yoJo= o»
toutes les solutions du système (3) satisfont aussi à l'équation
a^x H- boy -hCoZ -h. . .-4-y„p= o.
Cette équation est donc agrégée à ce système (52), et l'abaque (17) des coefficients de toutes ces équations est vanescent par les lignes (14). Ultérieurement (54 et suiv. i/j/1), nous déduirons les files en symptose avec un abaque vanescent donné de la considération de son covanescent; nous aurons ainsi une autre démonstration de cette importante proposition, qui achève de justifier le nom que nous avons donné au covanescent.
43. Tout covanescent de r abaque ( 1 ) reste identique à lui-même si on le multiplie par — 1 , après y avoir transposé deux lignes choisies arbitrairement dans cet abaque,
La transposition considérée équivaut évidemment à celle des indices des deux lignes en question, dans les notations de tous les termes du covanescent (les lettres restant immobiles). Chaque terme se change en un autre dont la diagonale appartient à la classe opposée de la même famille, mais qui ne peut faire partie du covanescent parce qu'il n'a pas le signe prescrit par la règle du n*' 40. La multiplication postérieure par — ï le fait rentrer parmi ceux du covanescent, en lui rendant ce signe, et on aperçoit facilement que la double opération dont il
s'agit régénère, quoique dans un ordre différent, tous les termes de celte fonction.
Comme conséquence de ceci : Un déplacement quelconque des lignes de l'abaque (i) dans un de ses covanescents équivaut à la multiplication de cette fonction par =!= i , selon qu il peut être réalisé par un nombre pair ou impair de transpositions de deux lignes.
44. Dans le covanescent général de Tabaque (i), l'ensemble des termes qui dépendent seulement des éléments de m colonnes données constitue le covanescent général de Vabaque partiel formé par ces m colonnes; c'est ce qui résulte immédiatement de l'application de la règle du n^ 40 au développement de ces deux covanescents.
On en conclut que le covanescent général de notre abaque est la somme de ceux des abaques carrés formés par tous les groupes possibles de m de ses colonnes; ou bien encore, comme chacun de ces covanescents partiels ne contient qu'un paramètre indéterminé, puisque les diagonales d'un abaque carré ne constituent qu'une seule famille, que ron obtient encore ce covanescent en ajoutant, après les avoir multipliés respectivement par autant de paramètres indéterminés indépendants^ des covanescents particuliers [non identiquement nuls) de tous ces abaques carrés.
Nous allons donc nous occuper plus spécialement de ces derniers qui sont très remarquables, et dont la considération supplée à celle du covanescent général d'un abaque non carré.
