Les termes du covanescent général d'un abaque carré
^m t>jfi Cffi • . . gffi
correspondent à des diagonales ne formant qu'une seule famille; par suite (40), deux quelconques contiennent comme facteurs des paramètres égaux, ou bien égaux et de signes contraires, selon que les diagonales correspondantes appartiennent à une même classe ou à des classes opposées.
En divisant donc ce covanescent général par le paramètre servant de coefficient à l'un de ses termes, il reste un covanescent particulier composé de termes de la forme =t aph^c^ '^ gt et qui n'est pas nul quels que soient les w} éléments de l'abaque, parce que tous ces termes sont dissemblables et que leurs coefficients, les uns égaux à -h I, les autres à — i,ne sont pas nuls. L'expression ainsi définie est susceptible de deux déterminations égales, mais de signes contraires, selon la classe à laquelle se rattache le terme par le coefficient duquel on a divisé le covanescent général. Mais, en convenant de diviser toujours par le coefficient du terme en a^ b^c^ . . . gf„, rambiguïté se lève, et Ton obtient le covanescent particulier
que Ton considère de préférence, et que l'on nomme le délerminanl do l'abaque carré (2).
T.e ternie du délerminant mis en évidence, et dont chaque élément est à l'intersection d'une ligne et d'une colonne de rangs égaux, est (lit principal, lui et la diagonale correspondante qui, géométriquement, va en ligne droite de l'angle gauche supérieur de l'abaque à l'angle l'opposé. On note souvent un déterminant par son abaque encadré à droite et à gauche entre des traits verticaux.
\J ordre ( * ) d'un déterminant est le nombre commun de sea lignes et doses colonnes; le développement d'un déterminant d'ordre /w contient ainsi i.2.3 . . . tw termes se partageant, suivant la disposition des indices relativement à ceux du terme principal, en deux classes d'effectifs égaux; tous sont précédés du signe -h dans l'une, du signe — dans l'autre (iO).
45 bis. L'abaque (2) étant carré, son déterminant est poin- lui un
(*) Ce mot s'applique à tant de sortes de nombres en Mathématiques qu'un autre serait bien préférable. S'il était possible de le changer, je proposerais celui (le hauteur, par lequel il conviendrait aussi de désigner le nombre des formes (linéaires ou non) qui composent un même système. Le nombre des variables indépendantes pourrait être appelé la largeur d'une seule forme ou d'un s>stème.
covanescent, anssi bien relativement aux colonnes qu'aux lignes {5 ibis, II); un autre abaque carré, ayant pour files de chaque nom celles de l'autre nom dans (2) rangées dans le même ordre, a donc le même covanescent général que cet abaque (2), et par suite le même déterminant, puisque les diagonales principales sont identiques. En d'autres termes, un déterminant reste identique à lui-même si dans son abaque on change les lignes en colonnes et inversement, en transposant chaque élément avec son symétrique relativement à la diagonale principale.
En conséquence, on peut déduire aussi tous les termes d'un déterminant de son terme principal, en transposant les lettres des notations de toutes les manières possibles, les indices restant maintenant immobiles, et en changeant le signe à chaque transposition. Car, dans chacun des deux abaques carrés ci-dessus considérés, les lettres sont disposées comme lesindicrs dans l'autre.
46. En combinant les propriétés générales des covanescents d'un abaque quelconque, avec cette réciprocité remarquable entre les lignes et les colonnes d'un déterminant, on obtient celles de ces expressions. Nous les énoncon» ci-après, en renvoyant aux numéros correspondants.
. I. Un déterminant d* ordre m est une Jonction homogène de degré m par rapport à l'ensemble de ses éléments, c'est évident; inais il est linéaire et homogène relativement à ceur d'une même file quelconque considérés isolément (34 bis), (45 i/^).
II. Si donc on multiplie, si l'on divise par une même quantité k les éléments d'une même file quelconque, ou bien si l'on change tous leurs signes [ce qui équivaut à les multiplier par — i), le déterminant est multiplié ou divisé par k, ou bien changé simplement de signe.
Plus généralement, si Con substitue aux éléments de cette file ceux d'une file agrégée à q autres quelconques de même longueur, aveck* , k", .. ., ¥^^ pour multiplicateurs d'agrégation, le déterminant A se transjorme en
>fc'A'-f-FA" + ...^>tWA(y), M. 8
1\ A", . . . , A^^^ désignant ce quil deviendraà, si à la file considérée on substituait successivement y mais séparément, chacune des q autres.
III . Pour qu'un déterminant soit nul, il est nécessaire et suffisant que les valeurs actuelles de ses éléments rendent son abaque vanescent ou^ ce qui revient au même, que dans un sens donné quelconque il y existe quelque file agrégée à ses parallèles (14).
Le déterminant s'annule quand son abaque est vanescent, parce qu'il en est un covanescent particulier ( 45), (45 bis). Quand le déterminant s'annule, le covanescent général s'annule aussi (45) et l'abaque est vanescent (42).
IV. Un déterminant nest pas modifié par l'addition, aux éléments d'une file donnée quelconque, de ceux de mêmes rangs dans une file étrangère quelconque agrégée à quelques-unes des files du déterminant^ parallèles à celle que Von considère.
Car celte opération revient (II) à ajouter au déterminant ce qu'il devient quand on substitue à la file choisie la file agrégée à ses parallèles, c'est-à-dire un déterminant nul (IH).
Toutes ces observations sont d'une utilité continuelle dans le maniement des déterminants.
V. Des transpositions quelconques exécutées sur les lignes d'un déterminant et simultanément aussi sur ses colonnes le laissent identique à luimême, ou bien changent simplement son signe, selon que leur nombre total est pair ou impair ( 43 ) .
47. Par rapport à ses éléments considérés comme des variables indépendantes, un déterminant est un polynôme premier, c est-à-dire qu^ aucun autre polynôme entier ne peut le diviser s'il ne se réduit à une constante ou bien à ce déterminant lui-même multiplié par quelque facteur constant.
Soient A un déterminant d'ordre quelconque m et H, R deux polynômes entiers par rapport à ses éléments, dont il serait le produit.
Un élément donné Ci de A entre nécessain^nent dans l'un des polynômes H, K, dans H par exemple. 11 en résulte que l'autre facteur K ne peut renfermer aucun élément de la colonne de A, à laquelle appartient Ci, car autrement ce dt'terminant ne serait pas linéaire et homo-
gène par rapport aux éléments de cette colonne (46, I). En d'autres termes, les éléments e,, 63, . . ., ^,„ entrent tous dans II, et aucun d'eux dans K.
Parlant de là et raisonnant de la même manièns on trouve que R ne peut contenir non plus aucun des éléments de A situés sur les lignes auxquelles appartiennent soit e,, soit €2. . . ., soit e,„, c'est-à-dire aucun élément de A, quel qu'il soit. Donc R se réduit à une constante A et II
au produit de A par j»
48. Nous appellerons û?e/er/wma/i/^ d'un abaque non carré (A) ceux dont les abaques sont formés par tous les groupes imaginables de files les plus courtes de (A) prises en nombre m égal à leur longueur. Habituellement l'ambiguïté de cette définition résultant de ce que, pour chaque déterminant, l'ordre de succession des files n'est pas déterminé, n'a pas d'inconvénients. Sous le bénéfice de cette observation, l'abaque
en question a rr determmants distmcts, si n est sa
plus grande dimension. En ajoutant tous ces déterminants après les avoir multipliés par des paramètres indéterminés en même nombre, on régénère évidemment le covanescent général de V abaque considéré [44^].
49. Nous aurons aussi à considérer les déterminants des abaques déduits (le celui dont nous parlons, par la suppression d'un nombre quelconque de files parallèles.
Soient (A) un abaque de dimensions /w, //, et q un entier quelconque ne surpassant ni m ni n. En y prenant arbitrairement q lignes et q colonnes et rapprochant toutes ces files de manière à les rendre contiguës, les q^ éléments appartenant à la fois aux unes et aux autres forment un abaque carré dont le déterminant (abstraction faite du signe qui dépend de Tordre de succession des files) est d'ordre y, et se nomme le déterminant mineur de l'abaque proposé, relatif 2i\x\ q lignes et aux q colonnes choisies. Tous les déterminants mineurs d'ordre q de notre abaque sont en nombre égal au produit des nombres
-yj^ m(/n — i)...(m-~yH-i) ^ n{n — i). . .{n — q -\- \)
iVl^ — 5 i IN- — :z )
«exprimant combien m et n objets fournissent respectivement de combinaisons q à q.
Si 5^ = I , ces mineurs en nombre mn se réduisent aux éléments mêmes de Tabaque (A) Si q est égal à la moindre dimension de Tabaque, ils ne sont pas autre chose que les déterminants mêmes de cet abaque, tels que nous les avons définis ci-dessus, et que par opposition nous nommerons majeurs. Souvent il y a avantage à ne pas les distinguer essentiellement des mineurs proprement dits.
Pour bien concevoir l'ensemble de ces déterminants mineurs d'ordre y de Tabaque (A), et aussi pour donner de la précision à certaines propositions les concernant, il faut les placer dans les cases d'un nouvel abaque (A)^ de dimensions M^, N^, dont chaque colonne contient tous ceux dont les éléments appartiennent à q mêmes colonnes de Tabaque (A), et dans une même ligne tous ceux qui proviennent ainsi de q mêmes lignes de cet abaque.
Il faut en outre, dans une même colonne de l'abaque (A)^, écrire les colonnes des déterminants mineurs d'une manière, arbitraire d'ailleurs, mais lelle, que celles d'un même rang quelconque dans tous ne soient compos^^es que d'éléments empruntés k une même colonne de l'abaque ( A ). Et la même règle doit être suivie relativement aux lignes de l'abaque (A), pour l'arrangement des lignes dans les déterminants mineurs appartenant à une même ligne derabaque(A)^. Cet abaque (A)^ ainsi construit sera ce que nous nommerons \ abaque des mineurs d'ordre q de V abaque proposé,
50. Entre le délei minant d'un abaque carré et certains de ses mineurs, comme aussi entre ces derniers seulement, il existe des relations importantes dont nous allons parler.
Soit d^' un déterminant mineurd'ordre q d'iu) déterminant donné d'ordre //«, c'est-à-dire de son abaque; on nomme mineur complémenlaire de S' le mineur '5 d'ordre m— 7 du même abaque, relatif (49) aux m—q lignes et m — q colonnes auxquelles S' ne Test pas, ce nouveau déterminant '5 ayant ses diverses files écrites dans un ordre convenable qui sera réglé dans un instant. Il est clair qu'il y a réciprocité, c'est-à-dire que ô' e>t inversement le mineur complémentaire de 'â.
Après avoir construit, comme nous l'avons expliqué ci- dessus (iOl,
Tabaque des mineurs d'ordre q du délerminaftt proposé, nous disposerons leurs complémentaires dans les cases semblablement placées d'un nouvel abaque de même dimension. Cela posé, on a ce théorème :
Soient Q = -, puis
' . '55 /iQ /-
'5^ 'fl 't
l'abaque des mineurs d'ordre q du déterminant pwposé A <?/ celui de leurs complémentaires com^enablement écrits. En induisant l'une par V autre [2>) deux files de même nom dans ces deux abaques, on reproduit A ou on trouve zéro 9 selon que les rangs occupés respectivement par les files considérées dans leurs abaques sont égaux ou inégaux. Par exemple, on a pour les lignes
(5) }iY^^ ^^ , ,^ e'/ô, -h. . .-h t/t, = ^,
et même chose pour les colonnes.
Le déterminant A est évidemment un covanescent de l'abaque formé par quelques unes seulement de ses lignes, en particulier de celui dont 8, , . . ., ô'^, . .., T, sont les déterminants majeurs. On a donc identiquement (48)
(G bis) ^ = ^^\-h. . .-hf9\-{-. ..-hzsT
Ç, . . ., 9, . . ., Tjy ne dépendant pas des éléments des (/lignes considérées dans A. Dans ces q lignes, réduisons maintenant à i les éléments qui forment la diagonale principale de %\ et à zéro tous les autres; on voit immédiatement que S^ se réduit à i , tous les autres mineurs de la première ligne de l'abaque (3) à zéro; puis, par une vérification facile, que A devient, au signe près, le mineur complémentaire 'X, de S'^, tel que nous Tavons défini jusqu'à présent.
La relation précédente devient donc
ou
et de même Mais on aura
si, après avoir disposé les lignes des mineurs de la première ligne de Tabaque (4) de manière que celles d'un même rang quelconque soient toujours des fragments d'une même ligne de A, on remanie les colonnes de ces mineurs de manière à leur donner des signes convenables. Cetle précaution ayant été prise, ce que nous supposerons désormais, Tégalité(6 fc/>) se transformera bien dans la relation (5) parla substitution de '8^, . ../5,, .. ., 'T| à Ç, ...,©,..., î? respectivement.
Exécutons maintenant sur les lignes de A des transpositions de nature à changer S'^ , . . . , 5'^ , . . . , r^ en S]., . . . , ô|, . . . , t^ respectivement, et nommons '(5,-, . . , '0/, . . . , % ce que deviennent alors 'd, , . . . , 'ô, , . . . , 't, , ou — 'S^, ..., — 'ô,, ..., — 't,, suivant que ces transpositions laissent ou non invariable le signe de A (46, V). Il est évident que ces expressions sont les mineurs complémentaires de la i*®'"* ligne de l'abaque (3), et que, si ce sont elles que Ton a inscrites dans les cases de la i'^™* ligne de l'abaque (4), l'identité (5) donnera bien
c'est-à-dire l'identité correspondante pour les i^^^ lignes des abaques (3) et (4)
Considérons actuellement le premier membre de la relation (6); d'après ce qui précède, cette expression est égale à un certain déterminant V d'ordre m ayant pour lignes celles du déterminant proposé A, dont des fragments ont servi à former les lignes tant des mineurs S'j , . . ., $'^ , . . ., T, que de 'S,-, . . ., '6/, . . ., 't/. Mais il est évident que deux au moins de ces lignes sont identiques; on a donc V = o (46, III), ce qui prouve l'exactitude de toutes les relations analogues «(G).
Les mineurs de la première colonne de l'abaque (4) étant respectivement les complémentaires de ceux de la première colonne de Tabaque (3), lesquels sont relatifs à quelque groupe de q files parallèles de A, il est certain, en conformité de ce que nous venons de voir, et en ayant égard à la réciprocité des lignes et des colonnes (45 his)^ qu'en choisissant convenablement les signes dans l'expression
elle se réduit à A. Mais il est évident qu'il faut prendre partout le signe +, car l'enseuible des identités analogues à (5) qui \iennent d'être établies pour les lignes montrent que les termes des développements de 4- S'/^o ..., H- S|.'8,, ..., -h y^'^Q appartiennent tous à A; d'ailleurs, étant dissemblables, ils ne peuvent se réduire. Cette remarque prouve l'exactitude des relations du genre de (5), mais relatives à deux colonnes semblablement placées dans nos abaques, relations d'où l'on déduit immédiatement les identités du genre de (6) pour deux colonnes placées de manières différentes dans les mêmes abaques.
On peut formuler très simplement la dernière partie de cette proposition en disant que deux files de même nom, mais de rangs inégauxdans les abaques (3), (4)» sont toujours en symptose (10).
Une règle très simple indique comment il faut écrire les éléments des mineurs complémentaires 'S^, . .., '5,, .. ., 't, pour que la relation (5) ait lieu : après avoir construit l'abaque de l'un d'eux 'S,, par exemple, de manière que les termes du développement de l'expression S'/S^ soient précédés des signes qu'ils doivent avoir dans celui de A, on exécutera dans cette expression toutes les |)ermutations des co-
loiiiies de A qui peuvent changer les colonnes de S', en celles de . . ., 0\, . . ., t'^ respectivement ; puis, pour . . ., 'ô,, . . ., 'S,, on prendra ce en quoi ces permutations changent 'c^i, chaque résultat étant ensuite multiphépar h- i ou — i, selon la parité ou Timparité du nombre des transpositions équivalentes à la permutation correspondante.
ril . Chacune des formules ( 5 ) et des formules analogues pour les colonnes opère une transformation de A que Ton peut nommer son ordination par rapport à ceux de ses mineurs formant soit quelque file de l'abaque (3), soit cella de mêmes nom et rang dans (4). On peut aller plus loin, et décomposer A en une somme dont chaque terme a pour facteurs non plus deux, mais k déterminants d'ordres ^r, , ^r^, . . ., y^ de somme égale à m, dans deux quelconques desquels ne se trouvent pas respec tivement deux éléments appartenant à un même file de A.
On construit arbitrairement un de ces produits de k mineurs, en prenant garde seulement que s(m développement donne des termes précédés de signes qu'ils ont dans A; les autres produits* se tirent tous de ce premier par des permutations, soit des lignes, soit des colonnes de A, accompagnées de multiplications par -h i ou — i réglées comme a la fin du numéro précédent. Le développement de chaque produit donne
ml
termes de A ; comme ils sont au nombre de — -, — r-^ = > marquant
Çil q^\ ... qk\ ^
combien il y a de manières de répartir m objets en k groupes en contenant respectivement q^^q^y •• •> qn^ on retrouve bien au total les m\ termes de A.
Si, avant d'effectuer cette décomposition, on avait réduit A à zéro en y rendant identiques quelques files parallèles, on trouverait de nouvelles identités analogues à (G).
En prenant ^ = /w, y, = ^^ = . . == y,„ = 1 , on réalise la plus complète de ces décompositions, car les divers produits ci-dessus formés se réduisent aux termes élémentaires du déterminant.
Il est inutile de pousser plus loin ces dernières considérations qui, jusqu'à présent, sont à peu près inusitées.
52. Le cas particulier le plus intéressant du théorème ci-dessus est
celui oiiq^ ordre des mineurs de Tabaque (3), se réduisant à i, ces mineurs sont les éléments mêmes
/ a, 6, C^ ... gn / \ j ^2 ^2 ^2 • • • ê^a •
^m ^in ^m • • • gm
du déterminant proposé A d'ordre m. I^es mineurs complémentaires, éléments de Tabaque (4)> sont alors d'ordre ^w — i, et nous les désignerons respectivement par
/\| JD| V>| .•• Vjf y
-^//i ^m ^*in • • • ^m*
La formule ( 5 ) donne pour le déterminant A ordonné par rapport aux éléments de sa première ligne
et des représentations semblables relativement à toute autre file que celle-ci.
Les identités de ce genre ramènent ainsi le développement du déterminant A d'ordre ;w, à ceux de m déterminants d'ordre m — i seulement, tels que A,, B,, G,, . . ., G, ; à leur tour, ceux-ci peuvent être semblablement décomposés, et ainsi de suite.
Les formules (6) en donnent du type
(10) A,a^-h B,i,-+- CjC/-f-. ..-f-(Mg"/= <>»
r indice i n'étant pas = r , et du type
(11) A I X-, -h Aa^'a -f . . . -f- Pimf^m = o,
la lettre k étant différente de a. Toutes ces relations sont très employées; en particulier, elles permettent d'achever la solution de plusieurs problèmes que nous avons déjà ébauchés et auxquels nous allons revenir.
55, Reconnaître si un abaque donné est vanescent ou in^anescent par ses files les plus longues.
Il résulte immédiatement des n^* 48, 42 que le premier cas a lieu, ou le second, suivant que les déterminants majeurs de Tabaque sont ou non tous nuls.
54. Réduire par les lignes V abaque [i) de dimensions quelconques. Formons (49) les abaques des déterminants mineurs d'ordres i , 2,
3, ... de Tabaque considéré, et soit (/(^wet^w) Tordre le plus élevé de ceux dans lesquels il se trouve quelque déterminant mineur non nul. Si le nombre q n'existe pas, tous les éléments de l'abaque sont nuls, et il n'y a pas lieu de le réduire. Si y -= m, les déterminants proprement dits de Tabaque ne sont pas tous nuls, et il est invanescent par ses files les plus longues (48), (42) ou, ce qui est la même chose, irréductible par les lignes.
Supposons donc o < y < m, et admettons, pour fixer les idées, que les q premières lignes de l'abaque aient fourni des éléments à quelque déterminant mineur non nul d'ordre q. L'abaque partiel formé par ces q lignes est invanescent, parce que le mineur dont il s'agit fait partie de ses déterminants majeurs, et qu'ainsi ces derniers ne sont pas tous nuls. Mais chacune des m — q autres lignes est agrégée à cet abaque partiel invanescent, parce que, en la lui adjoignant, on obtient lui abaque dont les déterminants majeurs sont des mineurs d'ordre q -\- 1 du proposé, et partant tous nuls (48), f42), (14).
Les q lignes considérées forment donc un abaque invanescent et équivalent par les lignes au proposé.
On opérerait de même s'il s'agissait des colonnes.
