Reconnaître si la ligne

est agngée à celles de V abaque [\) supposé invanescenl par les lignes, et, le cas échéant, trouver les éléments de la file d'agrégation.

Si m^=n^ il y a toujours agrégation (14), (12); si m<^n^ elle a lieu ou non, selon que l'abaque (i) accru de la ligne (i 2) est vanescent ou invauescent par les lignes, c'est-à-dire que les déterminants de cet abaque de m -h i lignes sont tous nuls ou non.

L'agrégation ayant lieu dans le cas de m < /i, supposons que le déterminant A des m premières colonnes de Tabaque (i ) soit de ceux qui ne sont pas nuls. On peut considérer A comme le mineur complémentaire de l'élément h dans le déterminant des m h- i premières colonnes de l'abaque de m -l- i lignes; soient A|, A2, . . ., A,;, ceux des éléments /«,, Ao, . . ., A,„ dans le même déterminant d'ordre 7/2 + 1.

On a les n — m relations

\h -f- A, A, -h AoAa-h. . .4- A,„//,„= O,

Al H-A,i, -4-A2t2 -+-•• -H- A;„«,„ =0, Ay 4- A,y, 4- \J. -f- . . .-h \njm = «,

parce que leurs premiers membres reproduisent ceux des déterminants de l'abaque de m 4- 1 lignes, qui contiennent ses m premières colonnes (52). Les formules du type (11), appliquées au déterminant d'ordre m 4- i que nous considérons, donnent, en outre,

Aa4- A,<7, 4- Aa^a 4- . . 4- A,„a,„ = o, \h 4- A, 6, 4- Aa^o +•• ^- A,„6,„ = o,

A^ 4- ^^g^ 4- A,^, 4-. . . 4- \,ngm = O-

D'après ces n — m-i- m = n relations, la file d'agrégation cherchée (»st évidemment

~T' "1' •••' "" T' Quand m = n, on trouvera la même file en appelant A, A,, . . ., A,;,

les mineurs complémentaires des éléments d\me colonne vanescente adjointe à Tabaque de m-h i lignes, dans le déterminant unique de cet abaque.

Cette méthode ne diffère pas, au fond, de celle qui consisterait à résoudre directement les m équations linéaires non homogènes à m inconnues, dont les lignes des coefficients seraient les m premières colonnes de notre abaque de m -h \ lignes (61 in/.),

56. Si Tabaque (i) appartient à un système de m formes linéaires à n variables, l'application à ses lignes de ce qui précède fournit la solution des questions suivantes :

Réduire le système dont il s'agit; ce qui fera reconnaître en particulier s'il est ou non irréductible.

Reconnaître si une forme donnée est agrégée ou non à un système irréductible donné, et, dans lepremiercas, trouverles éléments de lafde d'agrégation.

Ces solutions conduisent ainsi à la considération des déterminants (le l'abaque du système; nous les nommerons les déterminants (majeurs ou mineurs) du système, dans le cas de beaucoup le plus important où m ne surpasse pas n.

Pour distinguer entre eux les déterminants majeurs, il suffit d'indiquer, dans l'ordre voulu, les m variables du système dont les coefficients constituent les colonnes de chacun d'eux; par exemple, le déterminant des m premières colonnes de l'abaque ( i ) est celui du système pris par rapport à l'arrangement m à m^xyz ,..s, des n variables indépendantes. Relativement au système, ces déterminants jouent des rôles identiques à celui des coefficients dans une simple forme. Les mineurs d'ordre q s'introduisent habituellement dans les questions où il y a à considérer soit q des formes données séparément, soit simultanément avec le système donné, quelque autre système de y forme seulement.

57. Dans le n** 35 du paragraphe précédent auquel nous nous reporterons jusqu'à la fin de celui-ci, nous avons déduit de la considération d'iui covanescent de l'abaque carré (j8) un système de formes en réduction apparente équivalent au système irréductible des premiers membres des équations (3). Il est composé des premiers

membres des équations (22), (23), etc. Rien n'empêche de prendre, pour le covanescenl, le déterminant même de cet abaque. Il est évident alors que [abc. . .^), coefficient commun des variables ^, j, z, . . ., ^ respectivement, dans les formes du second système, est égal au déterminant du proposé pris par rapport à ces variables. Quant au coefficient {hbc.,,g) d'une variable non saillante, t p«ar exemple, dans la première forme du second système, il est égal à celui des déterminants du système proposé, dans lequel {abc,.. g) se change par la substitution de h^^h^^ ,..,hf„^ coefficients de /, àa,, ^2, ..., a„^ coefficients de Xj c'est-à-dire de la variable saillante qui a un coefficient différent de zéro dans la forme où l'on cherche le nouveau coefficient de t. Cette remarque permet d'écrire immédiatement tout système en réduction apparente équivalent au système considéré.

L'abaque d'agrégation (6) du système des premiers membres des équations (22), etc , au système primitif, est

'^*;/i "m ^Vn • • • ^^/n9

abaque des mineurs complémentaires des éléments du déterminant {nbc...g)j ce qui résulte de ce qui a été vu tant au numéro cité qu'au n^ 35.

Quant à l'abaque d'agrégation du système primitif à l'autre, il s'ol> tient évidemment en divisant par le déterminant {abc. g) tous les éléments de son propre abaque dans lequel on a changé les lignes en colonnes et les colonnes en lignes (22).

58. Dans un système donné de/wformes linéaires, nous appellerons contigus par m — i colonnes données deux déterminants dont les abaques contiennent chacun les m — 1 colonnes dont il s'agit. Cela posé, les remarques suivantes aident à la conception de la structure des systèmes en réduction apparente équivalents à un système iiTéductiblede m formes. Les variables saillantes a?,y, 5, . . ., ^ constituent un groupe de m choisies arbitrairement parmi toutes, sous la seide condition que

( 70) [xyz,..s)^ déterminant de leurs coefficients, ne soit pas nul. Dans chaque forme, les variables saillantes ont pour coefficients, l'une {xyz.,.s)f les m — i autres zéro, et les variables non saillantes, tous les déterminants contigus à celui-ci par les colonnes des coefficients de ces m — i dernières variables saillantes. Dans deux formes différentes, une même variable non saillante a pour coefficients des déterminants contigus. Enfin Tensemble des coefficients de ces formes comprend le déterminant {ooyz.,.s) et tous ceux qui lui sont contigus par quelque groupe de m — i colonnes.

59. Que le système considéré soit ou non irréductible , une forme construite comme

{ivyz . . . 5).r H- o . y H- o . 5 -}- . . . -h o . j

H- [tyz. . .5)/ -h. . .-+- {uyz . . .s)u-\- {s^yz. . ,s)v

avec un {Quelconque de ses déterminants [xyz,,,s) et tous ses contigus par m — I mêmes colonnes est agrégée à ce système. Car, si tous les coefficients de cette forme sont nuls, elle est agrégée à telles autres que Ton voudra. Si l'un d'eux [tyz,,.s) ne Test pas, cas auquel le système .considéré est irréductible, cette forme appartient au système en réduction apparente équivalent au proposé, qui a /,/, z, . . ., j pour variables saillantes.

60, D'après ce que nous avons dit ci-dessus (o7), à propos de la transformation d'un système irréductible de formes linéaires en un autre équivalent, mais en réduction apparente, on peut supposer relativement aux formules (24) qui fournissent toutes les files de solutions des équations homogènes (3), que les paramètres indéterminés T, . . ., u, 9 ont pour coefficients, dans les n — m dernières, un déterminant non nul des premiers membres, et dans les m autres, ses contigus (jui se rattachent à lui par une loi évidente.

On peut, bien entendu (33), obtenir également les mêmes solutions en prenant les coefficients de a^, b^^c^^^ .. ,^j\ dans le covanescent général de l'abaque (17) dont nous connaissons maintenant le développement (40) (48). En opérant ainsi, on a cet avantage de les

avoir SOUS des formes où tous les déterminants des premiers membres figurent delà même manière, sans distinction entre ceux qui sont nuls et ceux qui ne le sont pas. Mais il y a aussi im inconvénient : tandis que les formules (24) renferment le nombre minimum /i — /w de paramètres indéterminés et donnent une fois seulement (31) chaque file de solutions, les autres, dont nous rappelons l'existence, contiennent

5 — r— paramètres, et fournissent plus d une fois chaque

file de solutions.

Il serait extrêmement facile de prouver que, dans ces dernières formules, la simple suppression de certains termes les fait coïncider absolument avec les formules (24) sans diminuer, bien entendu, leur généralité, ce qui rendrait tout à fait directe la voie suivie pour arriver à celles-ci. Mais, pour abréger, je laisse au lecteur le soin de faire le raisonnement.

61. Les formules (24) écrites avec des déterminants el appliquées à la résolution des équations homogènes (i'3) procurent immédiatement celle du système non homogène (12) quand il est irréductible et |)ossible. En les supposant résulter d'une résolution par rapport à .1% j, :;, ,..,s, rinconnuew est représentée par le produit du déterminant [abc .. g) et d'un certain paramètre ^; pour la réduire à i , il faut donc

poser partout ^ = — ^ —y ce qui introduit le diviseur [abc > . * g)

dans les expressions de 00, y, 2, . . ., ^.

Quand n = m, les inconnues ont pour valeurs

{^abc.i^) «^ {auc...^^) {abc, , ,^^)

ce sont les célèbres formules de Cramer qui ont été le point de départ de toute la théorie que nous exposons,

62. En thèse générale, on nomme élimination de v inconnues entre m équations simultanées quelconques données l'opération consistant à former une ou plusieurs équations jouissant de la double propriété : 1° de ne plus renfermer les v inconnues dont il s'agit; 2^ d'être satis-

faites pour toutes les valeurs des autres inconnues qui appartiennent à des files de solutions des équations proposées, sans toutefois être identiques, c'est-à-dire sans pouvoir être satisfaites par toutes les valeurs imaginables de ces mêmes inconnues (sauf l'existence fortuite de relations spéciales entre les coefficients des équations proposées).

Quand il s'agit d'équations linéaires telles que (12), la proposition suivante renferme à peu près tout ce qu'il est utile de savoir pour ce cas.

On peut toujours éliminer v inconnues dont les coefficients forment un abaque vanescentpar les lignes y de manière que la ou les équations résultantes restent linéaires par rapport auœ n — v inconnues non éliminées,

11 suffit évidemment, pour cela, d'induire les équations proposées j)ar une file invanescente de m éléments >.,,..., )v,„ en symptose par les colonnes avec l'abaque des coefficients des inconnues à éliminer. L'équation résultante ne les contient plus, et, comme elle est agrégée aux proposées, elle en admet néanmoins toutes les solutions (3i, 1). D'ailleurs, elle n'est pas identique, du moins en général; car autrement les w — v -H r autres coefficients s'y évanouiraient aussi, et l'abaque des équations proposées serait vanescent par les lignes, ce qui exigerait entre ses éléments l'existence de relations spéciales qui ne sont pas supposées avoir lieu

Les multiplicateurs >.^, T.^^, ..., >.,„ dépendent d'équations linéaires simultanées que nous savons résoudre. Rien ne s'oppose à ce que l'on puisse trouver pour eux plusieurs systèmes de valeurs conduisant encore à plusieurs autres équations résultantes et formant un système irréductible; dans ce cas, on peut éliminer de plusieurs manières lesv inconnues en question. Mais tout dépend de circonstances particulières dont il est sans intérêt de faire ici Tétude détaillée.

Si V <; m, le tableau des coefficients des v inconnues quelconques du système (12) ne peut être réduit par les lignes : entre m équations linéaires on peut donc toujours éliminer des inconnues en nombre quelconque inférieur à m, et obtenir ainsi une ou plusieurs équations résultantes linéaires par rapport aux inconnues non éliminées.

Nous avons fait de véritables éliminations en transformant le svstème (3) en un autre équivalent en réduction apparente (35).

Développements sur la composition des systèmes

de formf.s lrnfairfs.

63. Au début de noire théorie (n®* 5 et suiv.), nous avons défini la composition d'un système simple d*abaque

a, />, c^ . ,, g^ hy , . I, y,, / \ ) ci.^ u^ c^ . , . gi /t.2 . . /o y.j,

à //i lignes et n colonnes, avec un système composant d'abaque

A, Aj ... A,,|,

à M lignes et m colonnes, et, généralisant la notion de Tinductioii entre une file et un abaque ayant une dimension égale à sa longueur, nous avons appelé l'abaque du système composé

CT,a,-h...-l- cjr,„a,„, cy,6,-h. .-hny,„6,;,, ..., nT,y,H-. .-hnr,;,y,„

le résulta!: de Tinduction des abaques (i), (2) colonne à ligne. Mais jusqu'à présent nous nous sommes moins occupés des détails de cette opération que de la relation générale du système composé au systènie simple, abstraction faite du système composant, relation à laquelle nous avons donné le nom d'agrégation. Nous allons compléter celte théorie, et tout d'abord étudier de plus près les relations qui existent entre les éléments des trois abaques ci-dessus, en commençant par quelques observations générales. .

I. De même que pour la formalion de Tabaque (3) les colonnes (le (i) ont élé induites par les lignes de (2) qui sont de même longueur, on peut induire les unes par les autres des files de tout sens donné, mais de longueurs égales dans deux abaques quelconques ayant une dimension commune. Dans chacun de ces abaques inducteurs j le sens inductoriel est celui des files qui concourent ainsi à l'induction; le senswow inductoriel est celui des autres. Pour(i), par exemple, les colonnes sont inductorielles, les lignes, non inductorielles. Dans Tabaque induit^ les files d'un même sens contiennent chacune les induits d'une même file induclorielle de l'un des inducteurs, par toutes celles de l'autre; ses dimensions sont donc égales aux longueurs des files non inductorielles dans les deux inducteurs; en ne faisant aucune distinction entre ses deux sens, il est indépendant de l'ordre des inducteurs.

II. Dans un sens de l'abaque induit, chacune de ses files est agrégée aux files non inductorielles du premier inducteur, avec quelque file inductorielle du second inducteur pour file d'agrégation; c'est le sens d'agrégation de l'induit à son premier inducteur; l'autre inducteur joue alors le rôle d'abaque d'agrégation. De même pour l'autre sens de l'induit en permutant les inducteurs.

III. Si Vun d3S abaques inducteurs est nanescent p%r ses files inductorielles, r abaque induà l'est aussi par les files de son ssns d'agrégation à l'autre inducteur.

Car toute (ile de n éléments a, |5, . . ., C qui est en symptose avec l'abaque (1) par ses lignes l'est évidemment aussi avec l'abaque induit (3) par ses lignes; cet induit est donc vanescent par ses colonnes dont la direction est celle où il est agrégea (2), si la file dont il s'agit est invanescente.

IV. Si V abaque induit est vanescent par les files de son sens d'agrégation à Vun des inducteurs, ou bien celui-ci par ses files non inductorielles, ou bien Vautre inducteur par ses files inductorielles y est certainement vanescent.

Pour fixer les idées, supposons l'induit (3) en symptose par les lignes avec quelque file invanescente de n éléments a, ^, , . , Ç, c'est-

à-dire vanescent par les colonnes, files du sens de son agrégation à rinducteur (2). On aura pour sa première ligne

et pour les M — I autres, ce que devient cette égalité par la substitution à X,, Xj, . . .,X,;, des M — I autres lignes de l'inducteur (2). Si donc les m expressions entre parenthèses ne sont pas toutes nulles, leur file est invanescente, et les égalités précédentes montrent que l'inducteur (2) est vanescent par les colonnes, ses files non inductorielles. Sinon leur nullité entraîne la syraptose de la file a, ]3, ...,Ç avec les lignes de l'inducteur (i), c'est-à-dire la vanescence de celui-ci parles colonnes, ses files inductorielles.

64. V entier q ne surpassant aucune des dimensions des abaques ( i) (2), si l'on induit l'un par l'autre les abaques de leurs déterminants mineurs d'ordre q (49) [en y conservant les mêmes directions aux files inductorielles)^ on retrouve précisément l abaque des déterminants mineurs de même ordre q de l'abaque induit (3).

I. Considérons d'abord le cas o\ï les nombres /i, M des files inductorielles des abaques (i) (2) étant égaux entre eux et non supérieurs à m, nombre commun de leurs files non inductorielles, l'induit (3) est carré, et où, ayant pris y = n = M, il s'agit du déterminant même I) de cet abnque.

Par rapport aux éléments de toute file inductorielle de l'abaque (i) considérés isolément, D est évidemment une fonction linéaire et homogène; en outre, comme l'abaque (3) devient vanescent par les colonnes chaque fois que (1) devient tel par ses files inductorielles (63, III), D est un covanescent de cet inducieur. On a donc (48)

(4) D = A'rf'4->t"fr-i-rrf"'-f-...,

d\ d'\ . . . désignant les déterminants d'ordre y ( = /i) correspondant à toutes les combinaisons de q lignes de l'inducteur (1), et k\k\ .. . des quantités indépendantes des éléments de ce même abaque.

Supposons maintenant que Ton réduise à ï chacun des éléments de la diagonale princi|)ale de d\ déterminant des q premières lignes de Tinducteur (i), et à zéro tous les autres éléments du même abaque; il viendra évidemment

puis D= J', déterminant des q premières colonnes de l'inducteur (2), moyennant quoi la relation (4) donne k' = $'. On trouvera de même que k'\ k"'j . . . sont égaux à 5", J"*, . . ., déterminants formés chacun avec les q colonnes placées dans Tiiiducteur (2) comme le sont dans l'autre (i) les lignes ayant servi à former le déterminant correspondant de la suite d\ d",

Celte relation (4) devient ainsi

résultat conforme à notre énoncé pour le cas dont il s'agit.

IL Revenant maintenant au cas général, considérons le mineur |j. de l'induit (3) relatif à deux combinaisons quelconques, Tune de q de ses colonnes, l'autre de q de ses lignes.

L'abaque de [x est évidemment l'induit des abaques (1), (2), réduits chacun à q files inductorielles, y occupant respectivement les mêmes places que, dans l'abaque (3), les q colonnes et les q lignes considér.'es.

On a donc par ce qui précède

m, et p.,, m.2 et [x^, m^ et (jl,, •. . désignant des déterminants formés par toutes les associations possibles de q files non inductorielles, mais de rangs identiques dans les inducteurs (i) et (2) réduits aux q tiles inductorielles ci-dessu* spécifiées.

En d'autres termes, (x. est l'induit de deux certaines blcs inductorielles des abaques des mineurs d'ordre q des inducteurs considérés; <ît les choses se passent évidemment de même pour tous les mineurs

(77) d'ordre q de Imduit (H). Il ne suffit plus maintenant que d'une légère attention pour apercevoir l'exactitude complète de notre théorème.

65 Deux cas particuliers du théorème précédent sont à remarquer.

I. Tout d'abord celui par l'examen duquel nous avons commencé notre démonstration, c'est-à-dire d'un induit carré engendré par deux inducteurs dont les files inductorielles sont en nombres égaux entre eux, mais tous deux inférieurs à celui de leurs files non inductorielles.

Supposons, pour mieux fixer les idées, que les inducteurs proposés

U I C/j Cl •■• * \ f / /■» \ ! Cl^ O2 C.2 • . • 1-29

\ ^/n ^m ^in • • • 'm»

*/n Pin y m • • ■ v/i

aient chacun m lignes inductorielles et /i colonnes. D'après notre théorème, si l'on nomme ^, • . ., e, . . ., g^ les déterminants formés par les

j il i combinaisons de m colonnes de I abaque (0),

S, . . ., g, .. .,y les déterminants en nombre égal formés de la même manière par les colonnes de rangs identiques dans l'abaque (7), et D le déterminant de leur induit, c'est-à-dire celui dont l'élément de la A'^'"® ligne et de la A''''°* colonne est a^iaAH- ^ajSa-H- • • + 'a^a» on a

(8) D = r/S-h.. -het-h., .-hgy.

II. Ensuite le cas où, n étant égal à m, les abaques ci-dessus sont tous deux carrés. La formule précédente devient alors simplement

cl, (?, D désignant les déterminants des inducteurs et de leur induit.

Les formules (8), (9) sont très souvent utiles pour décomposer un déterminant tel que D en produits de déterminants plus simples qù les éléments des abaques (6), (7) sont séparés, ou bien inversement, pour recomposer en un seul déterminant des expressions affectant la forme de leurs seconds membres.

Pour l'application de la formule (9) à une transformation de cette dernière espèce, il est à remarquer qu'elle donne pour D, produit des déterminants de même ordre d et J, plusieurs déterminants tous égaux numériquement sans doute, mais n'ayant pas du tout les mêmes éléments.

Effectivement del â conservent les mêmes valeurs (au signe près), et l'induction de leurs al aques peut toujours s'exécuter ligne à ligne, SI l'on y permute arbitrairement soit des lignes, soit des colonnes, ou bien encore si Ton y change les lignes en colonne, et vice versa.

Parmi les diverses manières de disposer ainsi les abaques de d et de 3, il y en a 4 X '«^...m donnant des abaques induits différant entre eux par autre chose que l'ordre de succession des files; c'est un dénombrement que chacun fera sans difficulté.

66. Nous pouvons actuellement revenir au système simple des formes linéaires

aux variable-i x,y^ z, . . .,t', ayant (r) pour abaque, dont la composition avec le système composant

(1 F,, Fa, ..., F

aux variables ^,j, s, .., ^ ayant (3) pour abaque, ce dernier pouvant être considéré aussi comme résultant de l'induction mutuelle de

( 79) la file des formes simples et de l'abaque (2) par les lignes de ce dernier. Les principes ci-dessus établis donneront immédiatement les propositions particulières qui vont suivre :

Le déterminant de q des formes composées (12) relatif à un certain groupe de q des variables a?,y, . . ., s^ est égal à la somme des produits des déterminants des q formes correspondantes dans le système composant (11) pris par rapport à chacune des combinaisons de q de leurs propres variables y,, ^j, ..., ç)„,, multipliés respecti{>ement parles déterminants relatifs au groupe considéré des variables x, y, ..., i^, des combinaisons des q formes du système simple (10) qui sont affectées des mêmes indices.

Cet énoncé fait ressortir une analogie à remarquer, entre la composition des systèmes dç formes linéaires et la théorie ordinaire des fonctions compo'-ées; le rôle des dérivées des fonctions simples, composante et composée, est rempli ici par des déterminants qui, dans bien d'autres circonstances d'ailleurs, ^e comportent comme des dérivées.

67. Le système composé est réductible quand le système composant l'est lui-même (65, 111).

5/ le système composé est réductible, de deux choses l'une : ou le système composant l'est lui-même, ou bien c'est le système simple qui jouit de cette propriété (63,1V).

68. L'abaqu3 des déterminants mineurs du système composé, d'ordre q [ne surpassant ni n^ ni w, ni M), est Vinduit, colonne à ligne, de ceux des mineurs de même ordre q du système simple et du composant (64).

Celte proposition établit une relation générale très importante entre les mineurs d'un même ordre quelconque, de deux systèmes agrégés de formes linéaire> et ceux de leur abaque d'agrégation.

69. Après avoir induit le système des m, formes (10) par les M lignes de l'abaque (2), de manière à obtenir le système agrégé (12) de M formes, on peut induire ce dernier par un nouvel abaque de M colonnes et d'un nombre quelconque de lignes. On obtient ainsi x\\\ troisième système agrégé à (12), partant à (10), et qui, par suite, peut

se calculer en induisant une seule /ois le système (lo) par les lignes d'un abaque de multiplicateurs convenables.

Il e-t évident que ce troisième abaque, résultant ainsi de la composition (les deux autres, est l'induit du premier par le second, colonne à ligne, écrit de manière à avoir ses lignes agrégées à celles du premier.

On peut ainsi composer en une seule, des inductions successives du système (ro) par des abaques en nombre quelconque; l'abaque résultant est le résultat final de l'induction colonne à ligne de tous les abaques élémentaires laissés dans l'ordre où ils sont donnés. La nécessiré de prendre pour lignes de chaque induit partiel ses files agrég» es à celles du précédent s'oppose à ce que Ton puisse modifier cet ordre; dans certains cas d'ailleurs, on rendrait ainsi l'induction impossible.

Entre les mineurs d'un même ordre y, tant du système (lo) que des abaques par lesquels on l'induit successivement, et ceux du système déformes, résultat final de toutes ces inductions, il exi te des relations analogues à celles résultant du théorème (64) pour le cas d'un seul tableau de multiplicateurs. L'abaque des derniers mineurs peut s'obtenir en induisant convenablement celui des premiers successi. ement par tous ceux des seconds.

70. Quand l'abaque (2) est carré etinvanescent, son déterminant A est différent de zéro, et il y a lieu de remarquer tout .«spécialement, parmi ceux que l'on peut composer avec lui, Tabaque également carré

'ro,

dont les diverses lignes ont pour éléments les quotients par A des mineur*» complémentaires (50) des éléments des diverses colonnes de (2). Effectivement, si l'on a égard aux relations (5), (6) du numéro cité,

(8i ) lion colonne à ligne de (2) par (i3) donne l'abaque

par lequel l'induction du système (10) en reproduit identiquement toutes les formes.

Dans ce cas, Tinduction d'un système de formes par l'abaque ( 2 ) est une opération rés^ersible comme la multiplication d'une quantité par une autre différente de zéro, en ce sens que l'on peut détruire son effet par une opération inverse de même nature.

Il est évident que Ton retomberait encore sur le système (lo) en l'induisant d'abord par. (i3), puis par (2), plus généralement par deux abaques carrés quelconques inverses l'un de l'autre, c'est-à-dire ayant pour induit i'abaque-w/iïVc (i4)« Celui-ci est à lui-même son propre inverse.

Le produit des déterminants de deux abaque^ inverses l'un de l'autre est égal à i , valeur numérique de leur induit (i4)«

71 , Dans le cas qui nous occupe, c'est-à-dire d'une induction par l'abaque (2) supposé carré et invanescent, le système induit (12) et /e proposé (10) sont équivalents^ chacun d'eux étant agrégé à l'autre, puisqu'il résulte de son induction par quelque abaque de multiplicateurs.

Plus généralement, ces deux systèmes sont toujours équivalents quand l'abaque (2) est invanescent par les colonnes, ce^ qui exige qu'il n'en ait pas plus que de lignes; on le constate j-ans difficulté.

72. La combinaison des notions précédentes conduit à d'autres propositions dont les deux suivantes sont à remarquer.

L- abaque [i) et celui de ses mineurs d'ordre q [non supérieur à m ni à n) sont tous deux en même temps vanescents ou invanescents par des fdes de même nom.

Nous raisonnerons pour les. lignes. La chose est évidente si /n> /ï, car les abaques considérés (A), (A)^ ont chacun plus de lignes que de J/. 1 1

colonnes, et par suite (12) sont tous deux vanescents par les lignes.

Elle Test encore si m'^neX. q = m\ car ( A \ n'a qu'une ligne dont les éléments sont les déterminants majeurs de (A), lesquels sont tous nuls ou non selon que (A) est vanescent ou invanescent (48), (42).

Dans le cas oiim^n, ety<m, supposons d'abord vanescent l'abaque (A). Si tous ses mineurs d'un certain ordre q'=q sont nuls, ceux d'ordres y' -h i, y' -h 2, ...,y le sont tous aussi, ces derniers notamment, qui servent d'élément à (A )^, et cet abaque est vanescent.

S'il en est autrement, (A) est équivalent par les lignes, par suite agrégé, à un abaque partiel {a) composé de quelques-unes de ses lignes en nombre au moins égal à y (54). L'abaque (A)^ est donc agrégé par les lignes à (a)^, abaque des mineurs d'ordre qde {a) (64), c'est-à-dire à l'abaque partiel formé par quelques-unes seulement de ses propres lignes; il est donc vanescent (9).

Supposons, au contraire, que (A)^ soit vanescent et contienne, par suite, quelque ligne agrégée aux autres; nommons S', ...,0',...,t ceux des mineurs de cette ligne dont les éléments appartiennent aux m premières colonnes de (A ), et aussi 8", S'", ... ; ... ; 6", 6'", ... ; ... ; t", t'", . . . , les mineurs des autres lignes de ( A )ç qui se trouvent dans les mêmes colonnes que S', . . ., S', .. ., t' respectivement. Par hypothèse, on a en particulier des relations

f ff ff , tt* m ^

T = [JL T -h [w^- T -4- . . . ,

qui, induites par les mineurs complémentaires de S', . .., 6, . . ., T'dans le déterminant A des m premières colonnes de (A), donnent

en ayant égard aux relations du n° 50.

Ainsi A est nul, et l'on prouverait de même qu'il en est ainsi pour tout autre déterminant de m colonnes de l'abaque (i); donc cet abaque est vanescent par les lignes (48), (42).