D. ADDITION DES RACINES SUPERIEURES

= ^3v'^7^-4-3v^583i;-H27-+-8 =^ y^36 -H 54 -t- 27 -H 8 = y^TâS.

Ce procédé ne sapplique qu'à deux nombres jouissant de la propriété que le carré de chacun deux, multiplié par lautre , produit un nombre cube.

= y/3 y/ïTÏÏ -i- 3 v^5832 -+- 2 -+- 54 = V^i8-4-54-l-2-H54== v^Tâs.

= ^(3 v^TTe -H 54) — (3 v^583^ -♦- 2) = y^(i8 -h 54) — (5A -h 2) = v^72 — 56 = \f^.

La démonstration consiste en ce que (a -h 6)* = a' . a -h 6* . 6 -h 3a' . 6 -h 36». a.

18 v*. L auteur explique ce théorème en multipliant tout au long {2 -+- 3) par (2 -h 3)

par (2 -h 3) ; puis il additionne ^2 et ^54 , en formant Texpression v^2 . {v/2)»

-+-V^. (v^)»-+-3^2 . v^. v^ -+-3^54. v^. v^i= 2 -+- 54 -4- 3 vTTTTh

igr». -4-3^/54.54 . 2 OU 2-+-54-+-^27.2.2.54-i-v^27. 2 .54 .54,cequi, dit-il , revient

à ce qu'il a exposé au commencement de ce paragraphe.

E. SOUSTRACTION DES RACINES {(jàJU (gf^ W^»^"^ fr^Li6^l JoUUwl]*.

L'auleur commence par énoncer le théorème (a — 6)* = {a'-+-6*) — lah; il en donne l'exemple (3 — a)» = (9 -h 4) — (6 -4- 6) ; puis il explique que, pour for-

mer le cube (v»*^ u' *^^j' '^' ) ^® (3 — a)» il faut multiplier le résultat précédemment obtenu , à savoir {9 -4- 4) — (6 -h 6) , encore une fois par (3 — 2). Après avoir terminé cette opération, il en fait lapplication à la construction igv'. de v^ — ^2 , en formant de la manière suivante Texpression qui se trouve sous le signe radical :

= (54 -H 3 v^ïTÏÏ) — ( 2 -*- 3 v^583a).

X. THÉORÈMES UTILES DANS LA RESOLUTION DES PROBLÈMES AU MOYEN DE L*ALGÈBRE** 30 r*.

lO . lO -h- lO 1 . lO

Théorème. i-+-2-h3-»-4-i- — -+-io = — '■ ' , ou bien = (i -*- lo)

Si on prend les termes de la suite des nombres naturels de deux en deux, la somme sera encore égale à la sonmie du premier et du dernier terme , multipliée par la moitié du nombre des termes ***.

L'auteur démontre ces procédés en expliquant que chaque nombre est la moitié de la somme de deux nombres pris à distances égales de chaque côté de ce nombre; que dans la suite iH-2-+-3H-...H-io,en ajoutant chaque to v'

* On areiiianpé,saiisdoate,qiieraateara s'eipUqoe par Temploi qa*AlkariJii lait des traité ce sujet déjà dans les deux paragn^bes théorèmes de ce chapitre, dans les proïAkmeA précédents; anasi ne dimne't-il dans celui-ci qui se trouvent au commencement de la II* secrien d*essenti^ement nouveau. tion de son recueil.

Ce cfai^itre traite de la sommation de '" aJ| 3y^UI ^juJ[ (^^^'

différentes suites. Le titre que fauteur lui donne

60 EXTRAIT DU FAKHRL

nombre au nombre correspondant à partir des deux extrémités, on obtient la somme 1 1 cinq fois, c est-à-dire la moitié de fois du nombre de termes. Il fait observer que cela vaut également pour les suites dont la différence constante (»ôl»^I) n'est pas f unité.

Pour déterminer la somme des 20 premiers tenues de la suite