H7-f-ii-f-i5-H

on trouve d abord le dernier ternie = 1 9 . 4 h- 3 = 79 , puis on forme l'expression

(79 "^ ^) "T "^ ^^° » ^® ^* ^^* ^^ somme demandée.

Trouver la somme des nombres pairs ou impairs depuis 1 jusqu'à 1 o revient à trouver la somme des 5 premiers termes de la suite qui a pour différence constante 2 , et pour premier terme 2 ou 1 respectivement.

Théorème. 1 -+-2» -+-3* -4- ...-+- 10* = (1 -4- 10) . 10 (^-+-i) = no. 3^ = 385, ou bien ={i-f- 2 -+-3 -+-...-+- 10) (|. 10-f-j).

L'auteur avoue qu'il n'a pas réussi à trouver la démonstration de ce théorème, et qu'il a seulement observé qu'on obtient toujours

21 v°. (1 -4- 2' -H 3*-+- -f-n*) : (1 H-2 -h3-H . . . -f-ii) = |n-f-|.

Mais il promet d'en donner un autre qu'il démontrera et qui sera fondé sur le théorème que voici :

5«hA .6-f-3.7 -H... -4-1 .9 = 5»— ii*-+-2»-H3*-f-... -f-{5— i)*|

L'auteur démontre ce dernier théorème en expliquant que [a — n) (o-f-n) 2 2 v\ = a* — II'. Puis il trouve la somme de la suite 1 -h 2* -h 3' -+-... -f- 10* en formant successivement les expressions

|(i -H 10) r^\ . io = 55o,

C'est-à-dire (i«-f-2»-4- . . -Hio') = (i*-f- a*-f- 3«-f- . . . -f- 9*-+- io*)-h(i .9

===. (1 -H 2 -f- 3 -H. ..-f-io).io — [2(1.9 -+-2.8-f-3.7-f-4.6).2-f-5.5

-f-2 .8-H. . . H-4.C-f-5') — 5'j. = (l'-f- 2'-i-... -f- io')-f-2Ji .9-H2.8

On voit aisément comment l'auteur a été con- -H. . . -H 4 . 6 -f- 5* j — 5*,

duil à ce théorème. On a donc i* -h- 2* -f- 3* -+-. . . -f- 1 o* = (1 -+- j

(i 4 2 -4-3-+-. . . -H 10) . 10 -H 3 H-. . .-+-10) .10 — ja .(1 . 9-+- 2. 8

.j(<y^3j-4-S(S-f.2)-f-9(9-Hi) La détermination de la somme de la Suite des

-H 10 . 10 nombres carrés au moyen de ce théorème a

Théorème, 6.5-+-7.4-»-8.3-f-...=6.5.5 — |i.2-f-2.3-+-...-+-4.5j

= 6.5. 5 — |(i -+- 2 -H. . . -f- 5)1(5 — »)! = *5o — 4o= 1 lo.

L'auteur démontre ce théorème en expliquant que

|(a-f-i)-4-nt . jfl — n\ = (a-h i)a — n(n-Hi).

Théorème, i.2-H2.3-f-3.4-+-...-H9.io = (i-H2H-3-H/4-4-...H-io)(3.io — |) 22 v*.

Théorème,

i*-H 2'-+-3*-f-. . . -+- io' = (i -f-2-f-3-f-. . . -H 10)'.

Cl 2 W 3 N 4 S