DEMONSTRATION

(i-+-2-t-3-H. . .-Hio) = 55 = 45-Hio,

En continuant ainsi on vérifie le théorème. Et de même, on a 23 r° dans la figure ci-contre :

DE -H EA -f- EB = 6*,

à savoir, EA = 6,6, DE = EB==6. 15 = 90, EA-f-DE-+-EB= 216.

La raison de cela c'est que

et que

C'est ainsi qu'on a

KZ -H ZE -f- ZF = iCL\ LH -H HZ -H HS = Lm\ MT -+- TH -h TN = Mx\

l*air d^un cercle , mais elle ne Test pas; car pour trouver la somme des carres jusqu à 1 o', l'auteur ne suppose connue , dans son théorème auxiliaire, que la somme des carrés jusqu'à 4'; c*est une espèce de formule de réduction. Quant à la démonstration du théorème actuel promise par l'auteur, il faut croire qu'il la réservait à son commentaire.

* Voici comment Tauteur est probablement arrivé à ce théorème. 11 avait

-+-. . . -+- {lO* — 10)

— (i-H2-»-3-^.. .-Hio) |(îio-|-{) — 1|.

XT -4- IT -H IW = XÔ\ enfin IC = ÔcT; donc AC==i'-i-2»-i-3'-h...-h6\ c. q. f. d.

Théorème. (i.3-i-3.5-f-. .. -4-7 .9) -i-(« . 4^4.6-4-. . . -i-8. lo)

^àr\ = (, -+- , -H 3 H-. . . -+- .0) . (^-^~ 1 î) -H I

Démonstration : (i.3-i-3.5H-...H-7.9)-i-(a.4-+-4.6^...-+-8.io)

= (3' — a .3-t-5* — a. 5 4-. ..4.9» — j .9) + (4' — , .4-^.6* — a .6-h. .. 4- 10* — 2 . 10) = (3«-h-4'-+-5«-i-... -h-io') — a(3-h-4-h-5-i-. .. -h- 10);

mais 55 (-^ ifj =(t*-h-a*-H. . . -H 10*) — 2(1 -l-a-+-3H-. .. -H 10)

et !*-+- a* — a(i H- ï) = — 1, ce qui fait qu'il faut ajouter 1 au produit

Théorème. 1 .a.3-i-2.3.4-i-3.4.5-f-...-+-8.9.io

OU bien = 45 . 44 = 1980.

24v*. La raison de cela cest que (#1— i;ii («-+- i) = n* — ».

XI. TH^Rl&MES DONT LA CONNAISSANCE SERT X R^ODDRB LES DIFFICULTES

l'auteur ajoute que ce théorème s*appelle it^Um « l'égalité ^. n

* A savoir, Tégalité double, puisque c est sur trouve-i-on en plusieurs endroits de ce recoeii celte formule qu est fondée la résolution de Té- de problèmes, cette dernière eipresaion en en* galilé double à la manière de Dic^hante. Aussi tier iUâII iLLhlf*

EXTRAIT DU FAKHRl. 63

am-\-bm-hcm-\-.,. =^=(aH-fc-*-c-f-...)ïii.

afc-h-fo — j OU afc-f-f 6j =f j ;

l' auteur fait obsei'ver que ce théorème est donné implicitement parEuclide *. 25 \".

(may -H o' ifc 2 (ma) . o sont des nombres carrés;

l'auteur ajoute que ce théorème est fondé sur la proposition d'Euclide, a6i". Éléments, II, 4.

o"-H(aa-+- i) et a* — (la — i) sont des nombres carrés.

En supposant

( j H- « et ( j — a sont des nombres carrés , à savoir»