n' — 2 n — 2 nr

En supprimant le dénominateur, on obtient la formule de Platon (ou, d'après Boèce, d'Archylas) pour la construction du triangle rectangle en nombres entiers. Je fais remarquer, à cette occasion, que l'auteur ne se propose qu'une résolution en nombres rationnels, tandis

que les formules de Pythagore, de Platon, d'Euclide(£/^mente,X, 29, lemme 1 ) et de Fibonacci ont pour but la construction du triangle rectangle en nombres entiers*.

Diopkante , qui dans tout le VI' livre triangle rectangle ayant pour côtés des ne s'occupe que de problèmes relatifs au nombres rationnels , y emploie constam-

(6) Les problèmes 111 ^ k et 111, 3 9 ne donnent pas lieu, en ce qui concerne la méthode de la résolution, à des remarques particulières. Ils portent entièrement le cachet qui caractérise tant les énoncés que les résolutions de Diophante, et je serais très-porté à croire que ces deux problèmes appartiennent réellement à Talgébriste grec, et font partie des pertes que le texte de Diophante, que nous possédons, a éprouvées dans la suite du temps. Le problème III, 5o, qui a pour but la construction de deux triangles rectangles rationnels et ayant la même hypoténuse a:*-i-/=a«, et 2'-i-t' = u% prête à la critique, par la manière dont Tauteur construit le premier triangle. Il pose ^ = a? -f-n , et a « égal à im nombre donné quelconque » m. On aura conséquemment

2 jr' -i- anx -|- n' = m*.

et ^ = î I V^2m* — H* — n\.

11 faut donc choisir m et /i de sorte que 2m* — a» soit un nombre carré, ce que Tauteur oublie de faire remarquer. D'ailleurs, ce problème n est qu'une combinaison des problèmes III , 3 et 111 , 87, et se retrouve considérablement généralisé dans IV, 60.

(7) dz(ax-6)~x«==/. (IV, 32,33.)

Ona — ^\/|gy-^h^'"-

L'auteur énonce maintenant, comme condition de la solubilité du problème, que T-j t h doit être la somme de deux carrés /-4-^'; en

ce cas, on aura

x = =fc - ± r.

(8) ttV-i-èa:-+-c=y, av -♦- fc'x -+- c' = 2». (IV, 34-39.)

Âlkarkhî pose ? = ± \J a^'a^ -\- bx -\- c ± m,

ce qui donne aV-4-fc'x-4-c' = aV-+-6a?-+-(c-4-m*) ±. yjlxa^nex^ -+- /|fcw*j7 -H 4cm%

men t le procédé suivant : il forme le triangle clide el de Fibonacci ( voi r ci-dessous, p. 3q ,

rectangle j:* -f- ^ = 2' des nombres a et |S, dernière note) qu*on obtient en posant

en posant x = «* — ^»/ = a«(3, r = «•-+- 13*. f* = 2. Cest le cas particulier de la formule d*Eu-

donc lia*ni*a:^ -h ^hm*x -+- hem* = [(b' — h)x -^ (c — c — m*)Y

^ ((,'— fc)V ^ 2(fc'— 6) (c'-— C — m*)x -H- (c'— c — m')»;

en prenant maintenant m

on obtient a::

Je passe maintenant à Texamen de la V® section du recueil de problèmes qui a pour objet l'analyse d'équations indéterminées des degrés supérieurs, et qui parait être d'origine purement arabe.

On pose

X my, z ny,

et l'on aura

{m« zt i)y» — n-=*=' ./=^'.

donc

««*' •'' °" •'' m-db .

En posant

j' m*, z naf.

on aura

Maintenant, si l'on peut faire o-h-6— pc=dzi,le problème est résolu :

Ji' m*

on aura ^ = — * ou x == -- .

Sinon , l'équation x^ . f^z' est ramenée à la suivante :

j^ •*■ b — pc yb __ gC

qui, dans certains cas, sera plus facile à résoudre que x',y = z'\

On voit qu*en répétant ce procédé dépendra donc, diaprés cette méthode, de fi fois , on obtiendra, comme exposant de j;, la résolution de Téqualion indéterminée

a-t-ptt — (p-H^,-H^.-h. ..)<^ du i" degré

où p, Pift ' ' • ont des valeurs arbitraires. (a ± i) -h 6x1 — cj, = o,

En définitive, la résolution de Téquation où Ton prendra ensuite

(3) X- -^ ' rfc fc-r- =- y'. (V, Q , I O.)

Posons y = »u? y

on obtient x" ■*-'--( m" q= *) ar-, jr =- m- 41 h.

(4) ««^^y. fcr^z'. (V, ll-l4.)

On a

donc, en posant y = mz,

(5) ax = z\ by=-.z. (V, l5.)

Posons ^ = /»/ ,

on aura anf = hy.

donc

Ou bien on posera simplement

ni' m

(6) Les problèmes V, 16-20 et 43 sont déterminés. Ils sont de la forme suivante :

donc ^ = Y/ p

Mais comme l'auteur désire avoir une solution en nombres entiers , il ajoute la condition ^ = n»'^''~'^-

Le dernier de ces problèmes présente une solution en expressions générales, comme on en trouve aussi chez Diophante.

Posons y = tnx^y ^ = naf ;

on obtient ***=*=/• "** .af'' = n'. «''.

Dans les problèmes 21-27, ^g-SA, on peut choisir/) et q de telle sorte , que des trois quantités a, pb, qc^ deux deviennent égales et plus grandes ou plus petites que la troisième, d'une unité, après quoi le problème est résolu. Dans le problème 2 8 , on arrive à une équation de la forme a^-^fjx' = z*; on pose z = mx\ en choisissant m de telle sorte que m' — </=='»% et l'on a œ = n.

(8) ±x'-^ax*=y\. ± a;^ H- a.x» = z». (V, S'J-^O.)

On pose y==mx, 2 -= nx ;

il suit ±07^-4- ar* = mV, zti x^ -H a,a:' = hV ;

donc a?==zfc(m» — a) OU a;= ± (u* — a,) ;

il faut donc choisir m et w de telle sorte qu'on ait

m^ — n" =^ a — aj .

Dans les deux premiers problèmes, l'auteur fait observer qu'on peut aussi résoudre ces problèmes en employant le procédé ordinaire de l'égalité double.

Posons x=^px^, y = qx^,

ce qui donne p''x,''-^f-'x,''-' = z\ i S/î-x," — 7''-'a:,''-'| = ^^ Maintenant :

1° Si a est pair, on pose

z =r= mr, ' , 1 = nxi '' ,

et l'on a />" J?." -\- f - ' j-/ - ' == m^j;,", zt p^'x^^ qz 9« - 'ji/ - ' =- u'x^\

donc

il faut dont choisir w et w de telle sorte qu'on ait

c'est-à-dire zp" == m* ± n\

* 35 est de celte forme; mais Tauteur ensuite le procédé ordinaire de l'égalité le résout en posant^ = lu; , et en employant double.

— ni'Xi ,

àz p'^Xi qz 9«

2° Si a est impair, on pose

z = wur, ' , / = Fiar, " ,

et Ton a f)-V"H^"~V-*=m«jî,«-', ±l p-x,- zçl 9— v-'=nV-'-,

donc a;, = f OU

condition : 29» - » = m* ip ?<*.

Voilà un aperçu succinct du contenu de cet ouvrage , contenu qui me semble devoir lui assigner une place honorable dans Thistoire du développement de la science, et contribuer, sous plusieurs rapports, à relever les Arabes du reproche de n'avoir pas su reculer les limites des connaissances qu'ils avaient reçues des Grecs.

Occupons nous maintenant de l'intérêt non moins considérable que ce traité nous offre, non comme ouvrage original, mais à cause des emprunts faits par Alkarkhî à Diophante , et par Fibonacci à Alkarkhi.

Je commencerai par passer en revue les problèmes des trois premiers livres de Diophante, en désignant pour chaque problème, ou chaque groupe de problèmes, les problèmes correspondants du recueil d' Alkarkhî, et en faisant remarquer l'identité ou la différence de l'original et de la reproduction.

Dans le premier livre de Diophante , les problèmes 2 et 3 correspondent aux problèmes I, 16, 19 d' Alkarkhî; les problèmes 4» 8, 9, 10, 12 , à II, 45-48, et III, 7 respectivement. Toutefois, les problèmes d' Alkarkhî diffèrent, dans les valeurs données aux constantes, de ceux de Diophante; en partie, ces problèmes sont si simples et se présentent si naturellement à l'esprit, qu'on ne peut pas considérer comme démontré qu Alkarkhî les ait pris dans Diophante. Cela est encore plus le cas pour les problèmes 1 1 , qui offre quelque analogie avec I, 35 d' Alkarkhî, et i5, dont III, 5 d' Alkarkhî présente une forme, étendue à un plus grand nombre d'inconnues.

Quant aux problèmes i3, 16-28 et 43, c'est bien différent. On les retrouve dans les problèmes III, 20, 24, 26, 29-32, 34» 35, 26,

27,28 d'Alkarkhî (en laissant de côté les propositions 19, 21, 28 de Diophante, qui ne contiennent que d'auti^es solutions des problèmes 18, 20, 2/i). Quoique dans quelques-ims de ces problèmes Alkarkhî ait changé les constantes de Diophante, que quelquefois il ne choisisse pas la même inconnue comme celle au moyen de laquelle les autres inconnues du problème sont exprimées, quoique enfin Alkarkhî suive dans lune ou l'autre de ses solutions un procédé un peu différent, qu il ne reproduise pas toujours toutes les méthodes différentes proposées par Diophante , ou qu'il ajoute à celles-ci des méthodes de sa propre invention, je dis : malgré les différences que je viens d'indiquer, la conformité du reste est tellement grande , qu'il n'est pas permis de douter qu Alkarkhî n'ait réellement emprunté ces problèmes à l'ouvrage de Diophante.

Quant aux problèmes 3 1 , 32 , 33 dont les énoncés sont essentiellement conformes à ceux des problèmes III, 8, 9 et I, 36 d'Alkarkhî, celui-ci a emprunté les deux premiers, non pas à Diophante, mais à Mohammed Ben M oùçâ , chez lequel on les retrouve à peu près textuellement *; aussi , le procédé suivi par Alkarkhî , dans la solution de ces deux problèmes, est-il essentiellement diflFérent de celui de Diophante. La différence entre Diophante, I, 33, et Alkarkhî, I, 36, est encore plus grande; car Alkarkhî arrive à une valeur irrationnelle de l'inconnue, ce qui est entièrement contraire, même au caractère des problèmes déterminés de Diophante; aussi ne trouve-t-on pas chez Alkarkhî la condition que Diophante place au commencement de ce problème, afin d'empêcher un résultat irrationnel.

Les problèmes qu'on vient d'énumérer sont, à deux exceptions près**.

Voir Tédition de Rosen, p. Sg, Aa> du second, il emploie un raisonnement

Outre ces deux problèmes , Alkarkhî a en- différent.

core emprunté à Mohammed Ben Moûçâ ** A savoir, les problèmes I, 36; 111, 8

les problèmes III, 10, 22 (éd. de Rosen, d*Alkarkhî. Quant aux problèmes III, 26,

p. M et 65); mais dans la résolution du 27, 34 « 35 qui, diaprés leurs énoncés,

premier de ces deux derniers problèmes , seraient indéterminés , il en a été question

il ajoute d'autres méthodes à celle de Mo- ci-dessus (p. 10, 2' note), hammed Ben Moûçâ , et dans la résolution

déterminés et dû premier degré*. Passons maintenant aux problèmes indéterminés du second degré qu'Alkarkhî a empruntés au second livre de Diophante. Les problèmes 8 (dont 9 n'est qu'une seconde solution peu diflFérente de la première) 10 et 1 1 se retrouvent avec des constantes changées dans III, 36-38 d'Alkarkhî. Le problème III, ko de celui-ci ne reproduit que la première méthode de résolution de II , 12 de Diophante; mais on trouve la seconde employée dans II, 3 1 et IV, 3i d'Alkarkhî. III, 4i d'Alkarkhî n'a de commun avec II, i3 de Diophante que l'énoncé ; mais la méthode suivie par Diophante , dans ce problème, a servi à Alkarkhî pour les problèmes II, 29 et IV, 29. Au contraire, III, 4 2 d'Alkarkhî ne diffère de II, 1 4 de Diophante que par les constantes, et présente les deux méthodes de Diophante. II, 16-17 de celui-ci sont presque textuellement reproduits dans III, 43.45 d'Alkarkhî.

Bachet a déjà fait observer que la solution du problème II, 19 de Diophante n'est réellement qu'un à^koôs de II, 1 8 , et qu'elle est étrangère à l'énoncé du problème II, 19; or, l'énoncé de ce problème est conforme (abstraction faite des constantes) à celui de IV, 4o d'Alkarkhî , qui résout ce problème par la méthode des deux fausses positions. Si maintenant on voulait penser qu' Alkarkhî ait tiré ce problème d'une rédaction moins mutilée de l'ouvrage de Diophante que ne l'est celle que nous possédons actuellement, il serait pourtant difficile de croire que Diophante se soit servi de la méthode des deux fausses positions. Quoi qu'il en soit, toujours est-il surprenant de voir ce problème, dans le recueil d'Alkarkhî, suivi par un problème (IV, 4 1) qni ne diffère que dans le choix des constantes de II, 20 de Diophante. Cette circonstance ne favorise pas l'opinion émise par Bachet, que les problèmes II, 18, 19 de Diophante aient été originairement placés après la 2 5* (ou plutôt la 26') proposition du premier livre. Du moins, il paraît assez probable que les problèmes II, 19 et 20 se suivaient dans la rédaction qu' Alkarkhî avait sous les yeux. Peut-être cette rédaction

Remarquons qu*Alkarkhî omet les énoncés généraux que Diophante a placés en tête de la plupart de ces problèmes.

NOTICE SUR LE FAKHRl 21

^tait-elle déjà presque aussi mutilée que la nôtre , et le géomètre arabe, voyant bien que la solution qui suivait l'énoncé du problème II, 19 ne s'y rapportait aucunement, en donna la solution à sa propre manière, en y employant la règle des deux fausses positions.

Tout le reste des problèmes du second livre, du 21* au 36^ est fidèlement reproduit dans les problèmes III, 1, 2 et IV, i-i4 d'Aïkarkbî, si ce n'est que le problème IV, 4 (II, 26 de Diophante) présente un léger changement des constantes.

Enfin, les problèmes IV, 42-60 d'AIkarkhî sont des reproductions exactes de tous les problèmes du troisième livre de Diophante, en en exceptant seulement le 4% le 8® et le 1 8', dont les deux derniers ne sont que des secondes solutions des problèmes 7 et 1 7 . Dans cette suite de problèmes, Alkarkhî ne s'est éloigné de son original que par le choix d'une constante dans les problèmes i o et 1 1 , et en supprimant, dans les problèmes 12 et i3, ces essais de solution que Diophante ne propose que pour les rejeter, et pour montrer qu'une certaine méthode ne peut pas servir dans ces cas. L'ordre des trois derniers problèmes est interverti dans le manuscrit arabe, et le procédé employé pour résoudre III, 2 4 de Diophante y présente de légères différences qui, cependant, sont à l'avantage de l'auteur arabe.

Il résulte de l'examen précédent :

D'un côté, que plus d'un tiers des problèmes du premier livre de Diophante, les problèmes du second livre, à partir du 8% et les problèmes du troisième livre presque intégralement, ont été insérés par Alkarkhî dans son recueil;

De l'autre côté, que les problèmes 2 4-45* de la IIP section, et les problèmes i-i4 et 4o-6o de la IV® section du recueil arabe, sont tirés de l'ouvrage de Diophante**.

n faut excepter les problèmes III , 33 tous les deux le cachet particulier aux

et 39 d* Alkarkhî, qui ne se trouvent pas énoncés et aux solutions de Talgébriste

dans Touvrage de Diophante, du moins grec.

pas dans ce que nous en possédons aujour- ** Je fais abstraction, dans ce résumé ,

d*hai. Cependant, ces problèmes portent de quelques autres problèmes épars dans

Ajoutons que Tordre de ces problèmes est, en uiajeure partie, le même dans les deux ouvrages.

Ce fait curieux qui nous intéresse surtout sous le rapport de l'importance que doit avoir une reproduction , quoique partielle , de l'ouvrage de Diophante, faite au commencement du xi® siècle, a été remarqué aussi par les lecteurs arabes de l'algèbre d'Alkarkhî. C'est ainsi qu'à la fin de la IV^ section du recueil de problèmes*, il se trouve dans notre manuscrit la note marginale suivante, faite par le copiste :

C'est-à-dire : « J'ai vu en cet endroit ime glose de l'écriture d'Ibn Alsirâdj conçue en ces termes : Je dis, les problèmes de cette section et une partie ** de ceux de la section précédente , sont pris dans les

la partie antérieure du recueil d'Alkarkhî et mentionnés déjà ci-dessus.

* Fol. 98 r'.

** Cette acception du mot ^ajo résulte , avec une certitude absolue, d'un grand nombre de passages de Falgèbre d'Alkarkhî, où celui-ci s* en sert pour désigner des fractions de quantités mathématiques, ce qui met toute incertitude hors de question. Ainsi, on lit dans les règles qui se rapportent à la résolution des équations trinômes du second degré :

f^f JUÎ o^^ oJl^o' ^L. -OjCi-y

«Quant au procédé pour déterminer la

valeur de 1 a* , il consiste à réduire les carrés à un seul carré, s'il y a plus d'un seul, ou de compléter (ce terme) de manière à produire un carré, s'il est au*de89ous d*un carré, ou de le laisser tel qu'il est, si c^est un carré; puis de soumettre les choses ajoutées au carré , etc. à toutes les opérations exigées par la nature des carrés, selon que c'est un carré, ou plus d'un carré , ou une fraction de carré. » Et , d'une manière semblable , ce terme se trouve employé partout dans la suite de l'ouvrage.

Comme celte signification est aussi donnée par les dictionnaires , je n'en parlerais pas , si, d'un côté, il ne m'importait pas de préciser bien exactement le sens des expressions de la glose dont il s'agit, et si, d'un autre côté, Rosen ne s'était pas trompé à ce sujet , en traduisant Jl:^. ^jl» par « certain persons,» tandis que le sens était « une fraction de personne. » (Voir Mohammed Ben Moûçâ, p. 69 de la traduction.)

NOTICE SDR LE FAKHRÎ.

livres de Diopbante, suivant l'ordre. Ceci fut écrit par Ahmed Ben Abî Beqr Ben AIî Bén Alsirâdj Alkelâneci. Fin (de la glose.) »

Cette glose m'avait beaucoup frappé et m'avait fait espérer que j'avais retrouvé , dans Alkarkhî , une partie perdue de l'ouvrage de Diopbante.

En disant que les problèmes de la III* section sont empruntés à Diopbante, en partie*, et en ne faisant aucune restriction semblable pour la IV® section , l'auteur de la glose donne à entendre qu'il attribue cette dernière section, en entier, à l'auteur grec.

Or, cette section commence par quatorze problèmes correspondant aux quatorze derniers problèmes du second livre de Diopbante , et se termine par une reproduction exacte du troisième livre, et, entre ces deux parties, se trouve une série de vingt-cinq problèmes que nous ne retrouvons pas dans l'ouvrage de Diopbante, tel que nous le possédons. On pouvait donc croire que cette série représentait un livre perdu de l'algébriste grec, qu'on aurait à placer entre le second et le troisième livre de la rédaction actuelle. Mais j'ai fini par abandonner cette supposition , par les raisons suivantes :

Les douze premiers des vingt-cinq problèmes dont il s'agit , dépendent d'équations déterminées, deux du premier, les autres du second degré , ou dérivatives du second degré, conduisant, à deux exceptions près, à des résultats irrationnels, ou affectées déjà dans l'énoncé, de coeffi^ cients irrationnels. Cela est entièrement contraire au caractère de l'ouvrage de l'algébriste grec, et on ne peut pas douter un instant, que nous n'ayons ici devant nous un produit de l'esprit arabe. Il y a même une circonstance, minime en apparence, mais qui acquiert ici un poids

La traduction latine publiée par M. Libri {Hist. des sciences maihém. en Italie, vol. I, p. a85], porte ici très-bien : «Dragma et « semis fuit divisa per hominem et partem « hominis. • Il est vrai qu'au premier abord, il peut paraître étrange de parler de fractions de personnes.

Cest la suite des problèmes a4-Â5

de cette section , qui sont empruntés tous à Diopbante , à l'exception seulement des problèmes 33 et 3 g que, d'après le caractère de leurs énoncés et la manière dont ils sont traités, je serais très-porté à restituer à Diopbante, comme appartenant réellement à celui-ci.

particulier pour prouver que ces problèmes sont étrangers à l'ouvrage de Diophante. C'est que dans un de ces problèmes, on arrive à une équation renfermant la 8* puissance de l'inconnue, tandis que Diophante ne définit que les puissances jusqu'à la 6* inclusivement, et ne fait réellement usage que de celles-ci.

Les treize autres problèmes sont indéterminés et du second degré. J'ai discuté ci-dessus (pages 12- 15, n** 2-4, 7 et 8) les méthodes employées dans leur résolution. Or, d'un côté, quelques-unes de ces méthodes, notamment celles des numéros 4 et 8, montrent un caractère étranger à l'analyse de Diophante. D'un autre côté , il y a encore ici une circonstance particulière, à savoir, que l'auteiu" ajoute à la fin de deux de ces problèmes (IV, 2 7 et Sg) des remarques sur l'utilité et sur les limites des méthodes employées , et qu'il renvoie même , pour des explications ultérieures, à son commentaire, ce qu'il ne fait jamais à l'occasion des problèmes tirés de Diophante. Je suis donc porté à croire que ces treize problèmes n'ont, pas plus que les douze premiers, appartenu à un exemplaire plus complet de l'ouvrage de Diophante, d'où l'auteur arabe les aurait extraits.

Passons maintenant à l'examen des emprunts faits à Alkarkhi par Léonardo Pisano.

Je me servirai, dans les rapprochements à faire à ce sujet, du XV® chapitre du Traité de l'Abacus de Fibonacci , inséré par M. Libri parmi les pièces justificatives jointes au second volume de son Histoire des sciences mathématiques en Italie. Comme, cependant, ce morceau a été publié par M, Libri avec toutes les défectuosités que présentait le manuscrit, je ne pourrai pas me borner à y renvoyer simplement, comme je viens de le faire pour les problèmes de Diophante. Je vais donc reproduire, un à un, les énoncés des problèmes de Fibonacci qui présentent des analogies avec ceux -d' Alkarkhi \ Je traduirai ces énoncés en formules algébriques et les accompagnerai de remarques sur la conformité ou la différence des solutions qu'en ont données l'aigébrîste arabe et le géomètre de Pise.

Je suivrai , dans celte énumération , Tordre des problèmes d* Alkarkhi.

Libri , l. II, pag. 4o3 , Hg. 19. x (a? -+- \/Tô) = gx.

'' io6, 17. \/6x ,\/Jx-\-2o = x',

407, 20. y 6a? . y5ÏF -f- ï oa? -H 20 = a;*.

Ces trois problèmes ne diffèrent que dans le choix des constantes , le second d'une seule, de II, 35, 36, 37 d*Alkarkhî. Fibonacci en oLtient la solution en les construisant géométriquement, suivant la manière dont les algébristes arabes se servent pour démontrer les règles algébriques de la résolution des équations du second degré.

Pag. 4i 1 I 1- l3. ar-f-/=io, y* — a?y^8 = 4o.

4i4. l5. ^ — 7=5, yjx. ioa!=y.

Ces problèmes sont identiques avec II, 39, 4o, 4i d'Alkarkhî^ et sont traités par Fibonacci de la même manière que par Alkarkhi; seulement, celui-ci se borne, pour le premier et le troisième de ces problèmes, à les ramener à la forme canonique de Téquation du second degré. Dans le premier problème, Fibonacci, après Tavoir ramené, comme Alkarkhi, à l'équation a?^ -h 60 = 20a; -hv^S ajoute une seconde solution, dans laquelle il ramène ce problème à l'équation y-^s/sy^Ho-hy/sôZ^ qu'il construit géométriquement.

Pag. 4o8,l. 3i. x-h7=io, .Îj2L = i/6

ne se distingue de II, /ig d' Alkarkhi qu'en ce que le second membre de la seconde équation est, chez celui-ci, v^Tô. Après avoir ramené le problème à une équation du second degré, Fibonacci construit celle-ci géométriquement, et vérifie ensuite le résultat obtenu.

Pag. 388, L 20. a;-H-7=io, l-^x==h\.

389, 17. a:-H-J==io, ^•?^-4-jfJ a;=3o.

390, 7. ar-H7= 10. «^^ . ^=9.

386, 3. a;-H-7=io, •?^(y — a;) = 2A.

Ces problèmes sont identiques avec III, i3, i3, i4, 16 d' Alkarkhi. Tandis que Fibonacci ramenait les problèmes précédents , de la même manière qu' Alkarkhî , aux équations du second degré dont ils dépendent , pour résoudre ensuite celles-ci par ime construction géométrique, il ne s'occupe, dans les problèmes actuels, que des opérations nécessaires pour arriver à l'équation du second degré. Il représente, pour cet effet, les deux inconnues et leurs différentes combinaisons par des lignes , d'une manière qui approche d'une véritable notation algébrique , surtout dans le troisième de ces problèmes *. L'équation du second degré obtenue , il la résout algébriquement dans le premier de ces problèmes; dans les trois autres, il se borne à la faire suivre simplement des valeurs des inconnues qui en résultent. Enfin, tandis qu Alkarkhi élimine y pour obtenir des équations en x, Fibonacci élimine x, et obtient des équations en j.

Pag. 38a, 1.4- x-h^==io, [--h 10) K-h loj = 122 j.

383, 7. X'\~y=\o^ fio-f--j(io j :^ 107^.

Le premier de ces deux problèmes ne diffère de III , 18 d'Alkarkhî , que par la valeur numérique du second membre de la seconde équation. Fibonacci le ramène à celui-ci : x -+-7 = a, - -h - = fc **, en employant sa notation linéaire. Le second problème est identique avec III, 19 d'Alkarkhî. Fibonacci le résout en combinant, d'une manière ingénieuse, sa notation linéaire avec une construction géométrique.

Pag. 392,1. 6. ("^""i) •3v/i = a:.

Ce problème est identique avec 111, 3 2 d'Alkarkhî. Fibonacci le résout par un raisonnement différent de celui employé par Alkarkhî.

11 faut bien distinguer la construction celui-ci , Fibonacci se sert de ces lignes

géométrique des problèmes précédents de uniquement pour désigner, d'une manière

cet emploi de lignes dans des opérations plus concise, les quantités qui sont Tob-

algébriques. Celle-là sert pour résoudre jet ou le résultat des opérations algébri-

Téquation, celui-ci pour l'obtenir; celle-là ques.

commence où celui-ci Unit. Dans celle-là ** Il avait résolu ce problème plus haut,

on substitue la géométrie à Talgèbre ; dans p. 369 , 1. 27.

Pag. Sga, 1. 13. Ay/x' — 3a; -i- Sx = 20.

SgS, 17. 4\/«* — si -f- 3 j? = *" H- 4.

3û4» l3. 1 oy x* — SiT -H 8 j: = a:' -H- 2 1 .

Ces problèmes sont très-semblables à III, 21, 23 d'Alkarkhî. Fibonacci se sert , pour les ramener à des équations du second degré et pour résoudre celles-ci, de considérations et de constructions géométriques.

Pag. 442 j. 3. V^-^-y 7-^^/7 =^'-

Ces problèmes sont identiques avec IV, 17, 18 d'Alkarkhî. Fibonacci résout le premier par des considérations géométriques , le second par un procédé purement algébrique, mais diflFérent de celui employé par Alkarkhî.

Pag. 447, 1. 26. (a: -H 7) .y^3j7== 102;.

448, 16. 7==3x, {y-\'\/y)[x-\-\Jx)=^\oy,

449 1 3 1 . X -^ \/x -\-\f2x -H sfhâ? =10.

Ce sont les problèmes IV, 20, 21, 22 d' Alkarkhî. Fibonacci procède, dans leur résolution, d'une manière purement algébrique qui, dans le premier problème, s'éloigne de celle d' Alkarkhî, mais dans les deux autres présente la plus grande conformité avec les procédés de Fauteiu- arabe.

Pag. 45 1» 1. 3. ic^-\-y^ = z^, x.z=y^, x.y=\o.

Dans la résolution de ce problème, qui est identique avec FV, 2 3 d' Alkarkhî, Fibonacci reproduit d'abord les procédés au moyen desquels Alkarkhî ramène le problème à une équation dérivative du second degré. Ensuite il construit géométriquement les valeurs des inconnues.

Pag. 461, )• l4- J7 -1-^=10, X 2^=J-H2^/.

Ce problème, ainsi que la première des solutions qu'en donne Fibonacci, sont entièrement conformes au problème et à la solution

IV» 24 d'Alkarkhî. Cest donc à celui-ci que stressent les éloges de Cossaii\ au sujet du choix ingénieux des inconnues dans cette solution**.

Pag. A75, 1. 16. a?-f-7=io, fl^-

Ce problème ne se distingue de IV, 2 5 d'Alkarkhî que par la valeur numérique du second membre de la seconde équation, et la résolution qu'en donne Fibonacci est, de tout point, la même que celle d'Alkarkhi.

Il résulte des rapprochements que je viens de faire, quune partie considérable"* des problèmes de Fibonacci est tirée de l'ouvrage d'Alkarkhî; que les énoncés de ces problèmes sont identiques dans les deux ouvrages, ou ne présentent que des différences non essentielles; mais que les solutions de Fibonacci sont, pour la plupart, différentes

Origine delV algehra, t. I, p. 5.

'* Les deux solutions suivantes ne sont pas essentiellement difFérentes de la première ; mais la quatrième solution que Fibonacci donne de ce problème (p. 464, 1. i5 sqq.) mérite d*être remarquée. De

œ—'p\/x=jr-hp\/},

on tire p= ^J^^ =\l~x — \lj, \Jx-^r\Jy

ce qui donne

de sorte que, en posant

y = x,*, jf = 1 o — a?,', on aura x^ -H- aa;, = x, . ^10 — j^A ou (a?! -H- a)* = 10 — «i",

ou x^ -»- ax, = 3 ,

d*où il suit a;, = 1 , ^ = 1 , X = 9.

Fibonacci démontre le théorème général que, lorsque

x — psjx^^y-^r-psfy, on a aussi

X —p\Jx=^y'>irp\Jy = \Jx .\fy,

au moyen de la figure suivante ,

sjx

OÙ Ton voit, en effet, que tant kg = x — a^^,

que ce = y-^ 2 yjy

sont aussi égaux à \Jx . \jy. Ensuite , il se sert de la même figure pour construire Té-

quation x^ -»- 2a?, = 3.

Souvent Fibonacci, après avoir discuté un problème , indique comment la solution s obtient d*une manière plus ou moins analogue, lorsque Ténoncé subit certaines modiEcations. Cette circonstance ne permet pas de préciser exactement le nombre des problèmes de Fibonacci. J*ai compté quatre-

de celles d^ Aikarkhî , montrant un caractère arabe lorsque ce sont des constructions géométriques , un caractère original là où Fibonacci se sert des lignes comme de représentants des expressions algébriques.

J aurais pu étendre ces rapprochements à plusieurs autres problèmes de Fibonacci , mais je n'ai pas voulu entrer dans des comparaisons trop vagues. Je me suis donc borné à ne faire remarquer que les identités ou les analogies évidentes. Je dois cependant signaler encore une circonstance qui me paraît digne d'être remarquée. C'est que souvent les problèmes de Fibonacci forment des groupes, de sorte que chaque problème d'un tel groupe ne se distingue des autres, que par de légères modifications de l'énoncé. Or, plusieurs fois le recueil d'Alkarkhî contient un seul ou quelques-uns des problèmes d'un semblable groupe, tandis que les autres ne s'y trouvent pas.

Cela peut s'expliquer de deux manières. Ou bien le recueil d'Alkarkhî lui-même ne serait que l'extrait d'un autre ouvrage arabe du même genre , d'où Fibonacci , de son côté , aurait tiré ses problèmes ; ou bien Fibonacci aurait multiplié ainsi les problèmes qu'il trouvait dans l'ouvrage d'Alkarkhi, en modifiant les énoncés de la manière que

vingl-dix à cent numéros, de sorte que les problèmes énumérés ci dessus constituent au moins un quart du recueil entier. Une autre partie considérable des problèmes de Fibonacci est empruntée à Mohammed Ben Moûçâ, ainsi qu*on le trouvera en comparant les endroits suivants de Tédilion du chapitre de Fibonacci par M.Libri, et de Tédition de Mohammed Ben Moûçâ par Rosen :

Libri, t. II.

Rosen, trad. angl.

Libri, t. IL

Rosen, trad. angl.

Pag. 564 • ligr- 20.

Pag. 35, lig. i5

Pag. 369, lig. i4- 369, 27.

Pag. 4o. lig. 21.

je viens de dire. Je penche pour cette dernière opinion, parce que la même chose se répète à l'occasion de problèmes tirés de Mohammed Ben Moûçâ , et qu'il est très-invraisemblable que Fibonacci ait également eu à sa disposition les sources auxquelles avait puisé ce dernier auteur.

On sait que Fibonacci a composé aussi un traité des nombres carrés, et qu'il a discuté, dans cet ouvrage, diverses questions d'algèbre indéterminée. J'aurais voidu examiner si cet écrit ne présente pas également quelques traces d'emprunts faits au traité d'Alkarkhî; mais l'original de cet ouvrage de Fibonacci étant perdu , j'ai dû m'en rapporter à l'analyse qu'en a donnée Cossali*.

Cette analyse est divisée en quatre parties. La première traite de la génération des nombres carrés par la sommation de la suite des nombres impairs, et de problèmes qui en dépendent. Cette théorie est étrangère à l'ouvrage d'Alkarkhî **.

La seconde partie contient des problèmes d'égalité simple. Le premier de ces problèmes*'* correspond à III, 38 d'Alkarkhî, qui est la reproduction de II, i i de Diophante. Cossali a montré **** la différence qui a lieu entre les solutions de Fibonacci et de Diophante , en faisant valoir, surtout, que celle de Diophante est plus générale. Mais, de la manière dont Alkarkhî a reproduit ce problème, il se rapproche sensiblement de la forme sous laquelle il se trouve chez Fibonacci.

Les trois problèmes suivants ***** correspondent à III , 3 , 36 , 3 7 d'Al-

Origine delV algehra, t. I, p. 1 15 sqq.

Voir aussi raddilion II.

OrigA, I, p. 117, 167, 168.

Cossali , Orig. 1. 1, p. 118, 119, 167, 1 68. On en trouve une rédaction originale dans le fragment du Traité de TAbacus , publié par M. Libri, HisL des sciences mathématiques en Italie, t. II , p. 3^3 , 1. 3 1 à p. 348 , 1. 9. En enchaînant Tune à T autre les solu-

tions des problèmes, Cossali arrive, dans son exposé, à des formules très-compliquées.

Voici des formules plus simples que je tire du fragment original que je viens de citer :

Prenons deux nombres de la forment a', fl|S^ étant tous les deux pairs ou impairs, on

aura x = fiap, r = = |ip%

Celte solution est la même que celle d*Eu-

karkhi; mais les méthodes de Fibonacci sont entièrement différentes de celles qu Alkarkhî reproduit d'après Diophante.

Les problèmes 5 , 6 , 7 * correspondent à II , 22, 23 d' Alkarkhî ; ce qui est bien remarquable, c'est que, de même que je viens de le faire observer au sujet du problème III, 38 d' Alkarkhî, la méthode de celui-ci étant plus générale, sa solution est pourtant, de fait, conforme à la règle plus restreinte de Fibonacci. Cela pourrait fairç croire que Fibonacci ait formé sa règle d'après la solution d' Alkarkhî, dont il ne reconnut pas la méthode générale dans l'application faite à un cas particulier. D'ailleurs, Alkarkhî donne, dans la partie théorique de son ouvrage *\ la formule générale de laquelle dépend la résolution de ces problèmes ^ à savoir que , si l'on suppose a = m.n^ nn — n \ ^ ^ ^^ f "^ "*" " j —a sont des nombres carrés. Les solutions de Fibonacci correspondent au cas spécial de n = 1 .

Les deux derniers problèmes de la seconde partie, ainsi que toute la troisième partie de l'exposé de Cossali n'ont pas des problèmes correspondants dans l'ouvrage d' Alkarkhî ***. Notamment la théorie des nombres « congrus et congruents » est étrangère à celui-ci.

Enfin, quant à la sommation des cinq suites que Cossali discute dans la quatrième partie de son exposé, la première et la quatrième***\ à savoir, la somme de la suite des nombres carrés et des nombres cubes, sont données aussi par l'auteur arabe "***, et il me paraît assez

clide , Eléments ^ X , a 9 , lerame 1 . Une au Ire solution est fondée sur la génération des nombres carrés par la sommation de la suite des nombres impairs.

Trouvons (d'après 1 ) trois nombres a, (3 ,7, tels que a' -h |S* = y*,

Bésolvons encore a' -h (3* = 7%

on aura

on aura x =

aa ± h^

a|3 zp ba

(Cossali, t. I, p. lao, 12 1, 168.) Fol. 26 r* du ms.

Quant aux n°* 2 , 3 et 4 de la troisième partie de Texposé de Cossali, qui présentent une certaine analogie avec II, 29, 3 1 et IV, 29, 3 1 d* Alkarkhî, jV reviendrai plus loin. (Voir p. 43, deuxième note )

Cossali, 1. 1, p. i55, i63.

Fol. 21 r" sqq. fol. 23 v* sqq. du ins.

probable que ces deux théorèmes ont été empruntés pai- Fibonacci ,

soit à Alkarkhî, soit à un autre auteur arabe.

Je répète, cependant, que l'absence de l'original du traité des nombres carrés, m'oblige de donner les rapprochements que je viens de faire entre celui-ci et l'ouvrage d'Alkarkhî, plutôt comme des conjectures que comme les résultats d'un examen rigoureux.

Après avoir constaté ce que l'algèbre arabe du x* siècle a pu léguer au premier algébriste italien et emprunter au dernier algébriste grec, je devais naturellement examiner aussi , si elle n'était pas redevable d'une partie des éléments qu'elle renferme, aux algébristes indiens. C'est ce que j'ai fait en comparant l'ouvrage d'Alkarkhî aux ouvrages ou parties d'ouvrages de Bbascara ' et de Brahmegupta , traduits par Colebrooke. Le résultat de cet examen a été négatif, tant en ce qui concerne le caractère général des méthodes, qu'en ce qui concerne les éléments particuliers dont se composent le traité arabe et les traités indiens.

D'abord, quant aux méthodes, les travaux des Indiens ont un caractère de généralité qui les rapproche de ceux des modernes , et auquel ni les mathématiques des Grecs, ni celles des Arabes n'ont réussi à s'élever.

Puis, quant aux détails, s'ils semblent montrer en partie une certaine conformité, on s'aperçoit pourtant bientôt que cette conformité n'existe que là où la nature même de la chose l'exige, et qu'elle disparaît partout où une différence dans la manière de traiter le sujet devient possible.

Ainsi, on trouvera naturel que les savants de deux nations qui connaissent r.ilgèj)i-e, possèdent aussi des principes de calcul algébrique , et qu'en exposant ces principes ils soient obligés, les uns et les autres, de dire à çnu prés la même chose. On ne s'étonnera donc pas de voir traiter, par e\(>mple, le calcul des quantités irrationnelles aussi bien

' Il ne pcul pas s'agir ici d'emprunts vantes recherches de Colebrooke, l'olgèbre

malériels faits par le géomètre arabe à indienne avait atteint, longtemps avant

Bbascara, qui est postérieur n Alkarkbî Bbascara, l'état de perfection qne pré-

d'un siècle et demi : mai» d'après les sa- sentent les ouvrages de cet auteur.

par Alkarkhi que par Bhascara. Au contraire, en supposant que des ouvrages indiens aient servi de modèles à Alkarkhî , on devrait s'étonner que celui-ci ait manqué d'enrichir son traité de la méthode des Indiens , pour la division des quantités irrationnelles, qui est fondée sur la

formule

.__ , ainsi que de leur méthode ingénieuse

pour l'extraction de la racine des aggrégats de quantités rationnelles et irrationnelles *\

De même, il ne me paraît pas extraordinaire que les géomètres arabes, initiés par les ouvrages grecs, notamment celui de Nicomaquc, à l'étude de l'arithmétique spéculative, aient trouvé la somme de la suite des nombres natm-els, des nombres carrés et des nombres cubes, sans les apprendre des Indiens. Mais il me paraîtrait fort surprenant qu'un auteur arabe qui aurait puisé cette connaissance dans les ouvrages indiens, n'en eût pas tiré aussi celle de la formule générale pour la sommation des progressions géométriques***. D'ailleurs, Alkarkhî en s'efforçant en vain de donner une démonstration satisfaisante de la formule pour la somme de la suite des carrés ****, nous laisse entrevoir comment lui, ou ses prédécesseurs avaient pu être conduits à la découverte de ces formules.

Il ne serait pas moins invraisemblable qu'un géomètre arabe connaissant Talgèbre indienne et l'emploi constant qu elle fait de plusieurs inconnues, se fût borné au faible essai d'un calcul, comme celui que j'ai fait remarquer dans les problèmes III, 5 et 6 d'Alkarkhî, et qui porte aussi bien le cachet de l'originalité que cehii d'une première tentative.

Mais surtout il me paraît impossible qu'un géomètre qui appréciait l'analyse de Diophante au point de copier presque trois livres de son ouvrage, et qui avait essayé, non sans succès, de reculer les limites des théories qu'il avait puisées dans l'étude de l'algébriste grec, il

Colebrooke, Algebra, etc. ofBrahmegupta and Bhascara y p. 1A7. Ibid. p. 1^9 sqq.

Jhid,.p, 55.

Pol. 2 1 r" sqq. du ms.

me parait impossible que ce même géomètre ait pu connaître, sans en parler, ces belles méthodes indiennes d'analyse indéterminée, qui font l'admiration des géomètres modernes.

Or, on ne trouve chez Âlkarkhi ni la méthode des Indiens, essentiellement conforme à celle des modernes, pour résoudre en nombres entiers les équations indéterminées du premier degré , ni la méthode , découverte une seconde fois par Euler, qui sert à trouver un nombre inQni de solutions de l'équation cx'-ha^f , ni la plupart des autres méthodes indiennes relatives à la résolution des équations indéterminées du second degré.

Comme ce dernier point me paraît particulièrement important, j'ai voulu mettre le lecteur de cette Notice en état de se convaincre lui-même de la différence fondamentale qui existe entre l'algèbre indéterminée d' Alkarkhi et celle des Indiens.

Je fais donc suivre ici l'exposé, en notation algébrique moderne, de tous les chapitres ou sections de chapitres, des ouvrages traduits par Colebrooke qui se rapportent à la résolution des équations indéterminées du second degré.