AC . BC -+- BD == CD

donc xj t'c -nf^y =-^ CD = BC — BD =^ ( FE — BF) — BD

conséquemment

yAv7(5'.

Xin. EQUATIONS DES DEGRES SUPERIEURS.

L'auteur fait d abord observer que le nombre des problèmes algébriques est illimité; puis il donne les règles suivantes :

1. Lorsqu'on a (une équation à) trois termes de degrés quelconques*, mais tels que (abstraction faite des coefficients) ces termes soient en proportion continue, on réduit d'abord tous les termes, de sorte que le terme de l'ordre le plus élevé (iUj; ^j\ ^ is^^) ait pour coefficient l'unité. Puis Sôv" on prend le carré de la moitié (du coefficient) du terme (du degré) moyen [àiAm\^\), Lorsque ce terme ne forme pas à lui seul un membre de l'équation, on ajoute le susdit carré au nombre, et prend la racine de la somme. On retranche de cette racine la moitié du terme moyen , lorsque ce terme

L'auteur sous-entend , sans le dire, que Tun des trois termes soit constant. Dans ce paragraphe , il résout directement les trois équations :

Y 4a a 2tt

Y 4tt' a 2a

h fh* 7

Dans le second paragraphe, Tauteur explique que cette résolution de l'équation aa?^ -4- hx' -\- c = o, n'est, en effet, autre chose que celle de l'équation du second degré aa^ -4- fcj? -+- c = o. Enfin , dans le 3* paragraphe , il ramène la résolution de l'équation aar *'"*-' -f- fcx '' "^ ' -4- ex ' =^ o à celle de Téquation aar'-+-6af-4-c = o.

se trouve ensemble avec le terme du degré le plus élevé; on ajoute la racine à la moitié du terme moyen , lorsque ce terme se trouve ensemble avec le terme du degré le moins élevé (âa3; ^^I ). Il résulte une unité du degré du terme moyen. Lorsque le terme du degré moyen se trouve seid dans un membre de 1 équation, on prend le carré de la moitié (de son coefficient], et retranche de ce carré le (coefficient du) terme de Tordre le moins élevé; puis on ajoute la racine de la différence à la moitié ( du coefficient) du terme 37 r'. moyen , ou on l'en retranche. Exemples : a*~^bs^= 1 a6 ;«;•-+- a 4 = 1 o«*; a;*= 2x*-f-8.

2. Lorsqu'on a trois termes de degrés quelconques, dont deux (ensemble) sont égaux au troisième , qu'on peut mettre le terme moyen à la place de la racine, et le terme du degré le plus élevé à la place du carré, en laissant le nombre tel qu'il est : alors les rè^es données ci-dessus (chapitre xii) s'appliquent sans aucune difficulté, si ce n'est que la racine obtenue est en vérité une unité du degré qui était celui du terme moyen avant la transformation ( J^). Par exemple , l'équation proposée étant «• = 3«* -h 4o , on résout x' = 3x-\' 40. Le critérium de la possibilité de la transformation , c'est que le terme moyen multiplié en lui-même soit (d'un degré) égal au (degré du) produit de l'un des deux autres termes par l'autre.

3. Lorsqu'on a (une équation à) trois termes dont celui de l'ordre le moins élevé (n'est pas un nombre simple, mais) est formé par des carrés, ou par une autre puissance, et que ces termes sont en proportion continue, alors on divise tous les termes par la quantité qui réduit le terme le moins élevé au nombre simple. Exemple : l'équation proposée étant x'=rha^-^ca^,

37V*. on divise para?*, et l'on obtient x^ = bx*-hc\ on transforme cette dernière équation dans la suivante x» = fc jr -»- c , ce qu'on résout suivant les règles données.

XrV. DE L»ANALySE INDETERMINEE [^)jXLm^] jS^).

nVistikrâ dans le calcul, c'est qu'on vous propose un aggrégat formé par un , par deux ou par trois termes de degrés consécutifs , que cet aggrégat n'est pas un carré suivant les expressions de l'énoncé, mais qu'on sous -entend que c'est un can*é et que vous désirez en connaître la racine *. »

• »X^ JJ^ Sjj- (jl 4-)LJ j *fyu*-ifl ^\sX\ j Oj^j -^' "^ J^ ^ *^

Exemple : x'-^-àx^y. En vertu du chapitre sur {extraction des racines, on sait qu'on ne peut pas extraire la racine de a^-hias\ on sait en môme temps que cette racine doit être ce qui , multiplié en lui-même , peut être égalé (J^Ub yl (j^ï) à j;*-4-4x, de telle sorte qu'après la restitution des quantités négatives et après la suppression des choses homogènes [yA «>^ XMôl^m ^Uû^l ^Ull^) *, le problème se réduise à une égalité entre un seul terme et un seul terme, telle que aj; = fc, ou o«* = t«, ou aa;* = t«*. Dans l'exemple actuel, on posera j^=2a?, donc jp* -h 4ar = 4«', ce qui donne, après l'emploi des opérations algébriques ,«=>?, donc ar*-h4« = (i-hïH-f)-f-l5-Hî) = 7^, ce dont la racine est 2|. 38 r*.

Les problèmes de ce genre admettent une pluralité de solutions. Ainsi on peut, dans l'exemple actuel, poser y = nx*\ ou ^ = j?— i , ou^ = ^ — n. En prenant7 = j: — i , on aura a?»-4- àa? = ic'-H i — sa?, donc x = ;, et jj« -4- 4^1? = fj. On obtient ici la solution, parce que des trois termes qui résultent de la multiplication (deo;— 1 en lui-même), un terme est supprimé comme se trouvant également dans les deux membres.

Il faut prendre garde, en choisissant la racine [y] par tâtonnement (^I^JûLm^L) , de ne pas la prendre de manière qu'après lapplication des opérations algébriques, on arrive à une égalité entre un terme et un autre terme dont les degrés ne se suivent pas immédiatement, ni de manière qu'on arrive à une égalité entre un terme et deux termes, comme si, par exemple, on arrivait aux équations ^=10, a^-4- 2^=^ 10.

Lorsque l'expression proposée est composée de trois termes , il est nécessaire que le terme des carrés, ou le nombre, soit, pris isolément, un carré positif, non pas négatif, afin que, lor$qu*on multiplie la racine (y) par elle- 3S^. même, il puisse résulter un terme égal, soit aux carré» ^ soit au nombre, et qu'on puisse supprimer ce terme dans les deux membres.

Exemple : Ax^-i- 1 6^-1-9=/. On pose 7 = «j? — «, en prenant n de sorte que Ji*r>9. Posons, par exemple, / = 2x — 5; on aura y^-kx^-^i^^ — «oj? = 4x^-1- i6x -1-9, donc 3Gj;= 16. On a posé devuc x pour obtenir, en multipliant j en lui-même, quatre x*^ afin qu on pui§se supprimer kx* dans les deux membres^ et qu^on arrive à une égalité entre des choses et un nombre.

On peut aussi poser / = 3 — «x. en choisissant n de telle sorte que «*>^ 4*

* Goiii|Uirer ckapiilrf u% , p. 63 <?< <)4. — " 1>iUi«Jleii»4'jii . un* <|uiujiljté ijut^ieourtju*' 4e dU^Mie»

- 3 — le ; on aura / = gjf -h 9

Posons, par exemple , y =^ 3 — ix-, on aura y ^ gjf -h 9 — i8x^4a^-t-i6j-i-9, donc 5*" = 34t.

Exemples d'expressions dont on nepeutpastrouveria racine : lox — (x'+i).

Exemples de cas résolubles : i^' >+- 1 œ, i o-e — ii*. ïi' — 1 o« ; car en posant 391'. j. = jx, on obtiendra la solution.

En terminant ce chapitre , l'auteur s'exprime de la manière suivante ; «Ceci doit suffiri; en cet endroit; mais. t^Rrliiiiiemeiit , je forai menfioii. dans le commentaire de mon ouvrage , de ce qui concerne les cubes , Irï. carré-carrés, et les ordres suivants. J'ai aussi composé un ouvrage qui traitp. d'une manière développée , de la méthode de ïistilirâ en particulier *'. »