H«*= io«; 0?= 5 di
Lune des deux parties sera 6, Tautre à-
Autre méthode. Comme on a ^ • - = i ••••", on pourra poser
et l'on aura j?,(2i — x,) = 1, x*'^i = 2\xy, a;, = f|±f,; 6,v".
i un des deux nombres cherchés sera 1 y et 1 autre -f .
Il reste à résoudre a?-f-7=io, -=iiou- = ï;
on aura >o— j = (ii)^ ou ,0—^ = 17,
donc 7 = 4 ou 7 = 6.
* Comparer Diophante, 1, la. — Libri, t. II, p. 369, 1. 5. — Diophante, I,
** Comparer Mohammed Ben Moûçâ, éd. de 3a.
Rosen, p. 3g. — Libri, Hist. des sciences ma' *'** Comparer Mohammed Ben Moûçâ,p. 44.
thématiques en Italie, t. II, p. 368, 1. 9. — Dio- — Libri, t. II, p. 369, 1. 37.
phante , 1 , 3 1 . ***** Voir la partie théorique , ch. xi , fol. a 5 r".
Comparer Mohammed Ben Moûçâ , p. 49* Voir ibid.
TBOISièME liéTHODE. PoSOnS i = 5 -H :t,. /= 5 — ie,;
on aura (5-i-:r,)'-»-(5 — i,)' = (5-+-i,) (5 — t,)iî,
ou 5o-hix,' = 5ii — (ii)x,".
ou (ii)a,' = ii. *,'=', ', = >:
Cir". Quatrième méthode '. On a 1 — ^- =■ >;;
multiplioris toute cette équation par (lo — t), on aura
multiplions de même para;, on aura
ou j'-l- îi^ lOi,
ce qui donne pour l'une des deux parties 6, el pour l'autre k-
Posons - =-■ j"i ■ - = -ti + J -i- i i
1 v\ on aurii ,i-,' -i- [ ; -h ;. ) jr, = i ; x, = ^/—-t- i — ( ; + î ) = ' ■
Il restf donr à résoudre a:-i- v= lo, - =f , ce qui donne i ^=i. y = r>.
AdtRE MÉTHODE. On a 'Z~^'-'*''''
en multipliant par {lo -j), on aura
puis, en multipliant par ,c. on aura
eSr'. ou H-.- ,îu = 3ij-i ï= .7— i3= 'i.^^ '1
Celle mëlLode n'esi pas esscnlicllemenl différeatc de la premiÈre.
(12) a;-4-j^=io, --t-a? = 5i*.
(l3) a?H-7=io, ^^-4-j^a? = 3o**.
/lo — a? ^ o •
( f- 10 — a? la? =00, .r'-4- 20î= gjî;
= 9, jr* -h 100 == 29J7;
a;= i4^ — ioi = 4, 7 = 6.
(l5) a7-h-jK=io, Kj .a:=9.
(16) a:-t-7=io, ^(^a;) = 2r*".
(10 — 2a:) = 24, a;* -h 00 = 27ar;
ar = I 3 ^ — 1 1 1 = 2 , r == 8.
(17) a:-t-j=io, ^■^-t-,oJ7 =
* Comparer Libri, t. II, p. 388, 1. 20. *** Comp. ihià, p. 390, 1. 7.
•• Comp. '\\)\A. p. 389, 1. 17. **** Comp. ihià, p. 386, 1. 3.
[^ h loHio — a?) = 112, a'-4-(3f)a7= ni; 64y'.
loa?;
a:= 5 it 3.
L une des deux parties sera a , l'autre 8.
X H-^= lO
[lOH j [lo ) = >07j, x*-|- i20 = 34ar;
(20) x-^y = 100, z -{- 1= 100, t -+-ti>= 100, j; = 3t, 2 = 2m;, t = 4y *". 55 r». j^=ioo — 3t, » = 4oo — lat,
w=i2t — 3oo, z==2àt — 600; 100 — t = 2àt — 600, t=28;
On sait que
3a? -H y?-— 3Ïc =1 4 '***.
ir«^,4i=(iol)a;. a> = 5Jj— iJ;=4.
on aura donc 1 1 == 3j? , consëquemment a?* = J ; a? = J.
3j7 -h 2 \/x^ 'dX = X^
a:» — 3x = 2 y/a;* — 3a;, conséquemment a?* — 3ar == 4 ;
* Comparer Libri , t. II , p. 382 , 1. 4.
^ ** Comp. ibid, p. 383, 1. 7.
Comparer Diophante , 1 , 1 3.
Comparer Libri, t. Il, p. 3g2-394.
Comp. ibid, p. 392 , i. 6. — Mohammed
Ben Moûçâ, p. 65.
* Comparer Libri, t. II, p. 392-394.
(2Z1) a:-4-^==20, ^-Hr==3o, z-|-x = 4o*.
Posons jr-»-7-H« = JP,;
on aura (a?, — 29) -+- («i — 3o) -4- (a;, — 4o) = «j , ar, = 45 ;
(^2 5) a?-i-^-4-z = 3o, /-+-2-4-f = 45, 2-4-f-HJP = 4o, e-4- j -4-^' = 35 **.
Posons X -I- J' -H 2 -+-'== «1 ;
on aura (a?, — 3o) -+- (x, — 45) -h (a?» — 4o) -1- (x, — 35) = j:^ , jc, = 5o ; 67 r*.
/==2o, a?=5,^=io, 2=i5.
L* auteur ajoute : « 11 faut que la somme des quantités mentionnées dans l'énoncé, divisée par le nombre des nombres cherchés moins un, soit plus grande que chacune de ces quantités; sinon, le problème est impossible.» Par exemple , le problème
n'admettrait pas de solution , parce qu'on aurait
L'auteur explique aussi qu au moyen du procédé suivi dans la solution de ce problème, on peut deviner un nom, imaginé par une autre personne, en se faisant donner d'abord le nombre de lettres dont ce nom est composé, puis les sommes des valeurs numériques de toutes les lettres moins une , en 67 V'. en omettant successivement toujours une autre. Suit un exemple dans lequel il s'agit de deviner le nomjJb«-sr.
On a ^-f-r = 6o — Zx, 4^ H- 2: = 80 — X;
donc 3j=20-+-2x, ou ^ = 6|-»-}ari
ce qui, retranché de 60 — 3a?, donne 2 = 53^ — 3fa?.
Comparer Diopliante, I, 16. — ** Comp. ibid. I, 17. — *** Comp. ihid. I, 27.
Puis on a loo — a7=5z-|-^, 60 — 3x=y -^z;
donc 4o-i- 2a?==4«»
ou io-4-- = 2 = 53j — 3jj?;
*= io|, ^^=13}, «=i5|.
L*auteur ajoute : Si les seconds membres des équations proposées ne sont pas donnés , on peut leur assigner ime valeur arbitraire , et Ton procédera ensuite comme auparavant; on peut aussi leur donner une valeur inconnue et poser x-\-z égal à Ix , parce qu'on doit prendre le quart de cette somme , 68 v^ ou bien, égal à un autre nombre quelconque. En s*arrétant à la supposition a? -h £ = 4 , on aura
— r-^=^-+-i, OU 47-H 5 =x-|- 5 «;
mais 4=a:-|-z,
donc 4^-f-i==4z, ou 2=j-+-i;
conséquemment x= i — fjr -4- 1) = (3 -4- 1 -h i) —7;
mais ^"*" 3 — =7"*"''
donc (3-Hi-hi) — i7=7-hi, ou^ = 2i = ii,
