1* -, IS

Puis l'auteur ajoute que ^=17, 2=19, x= iZ satisferont aussi aux équations proposées*.

Mais si Ton avait [en place de a? -+-2=4] la condition

X ■+- ^ ^ ^ ■+- (^ -+-7 -hz) = 5o,

on substituerait , dans le premier membre , les valeurs 1 3 , 17, 19, ce 69 r*. qui donne 76; puis, en multipliant i3, 17, 19 par yj, on obtiendra des valeurs de x, y, z qui satisferont à la nouvelle supposition «s'il plaît à Dieu. »

* A savoir, en changeant aussi la supposition x -H * = 4 dans x -H * = Sa.

Posons

on aura

donc

OU

mais donc

On a de même

ZH ^ ^

donc

mais donc

= Î7-+-ii OU 47H-5=a?-HtH-5r;

Puis

on a

donc mais donc

On a donc

conséquemment ou

"3 — = s7-^»»0U 2jr-H3 = 3a?-f-2-h-(;

Posons ensuite - = 47, 7 = 77. -- = 9». t= .0.. Ces valeurs satisferont au

Comparer Diophante, I, 28.

probième, et Ion aura g =137. Si [au lieu de x-i-z-i-f = 4 ou =a4o] l'on avait demandé que

on formerait g-i-jf-+-j'-+-2-+-f==454, puis on multiplierait les valeurs kj^

77, etc. par -^\ les nouvelles valeurs ainsi obtenues satisferont également au problème.

70Ï-. (28) (ar-+- 3)5 — (3 -H 5)x= (3 -i- 5) x — (5 -H x)3 \

Suit la preuve.

Posons X -^y -4- z = RX, »

disons =2 0?,;

70 v". on aura ar-i-j-H2=a2-H 20, ou JT, — 10 = 2;

et de même x^ — 1 5 == a?, x^ — 20 =y\

donc 3*1 — 45 = aa?, , j?| == 45;

(3o) ar-t-j H- z = «-l- 20, jk-H « -I- f = ar-f- 3o,

Posons a? -»-^' -I- 2 -»- ^ = na?! ,

disons = 2ar, ;

7ir*. Onaiura x, — io = f, a;, — i5 = ar, a?, — 20=^, ar, — 25=2;

donc 4*1 — 70 = aa?, , a;, = 35 ;

• Comparer Diophante, 1^43, premier ca». — ** Comparer ihid. I, 18- — "' Comparer ihid.

(3l) x-^y-^:=ioOy x-\-y = Zz, y^t=^x\

vJn a iz= loo,

donc 2 = 25,

conséquemment ^ ^^^ ^ 5 ^ .

mais

JK-H 25 — 4a:,

donc

lOO -

Posons

donc

a:(3j)jr,H-2;

mais

donc

3a:, (2i)ar,-|-6f,

ou

^i — 7iî

donc

(34) i^ + ^ = |.^^- = ix^i

Posons 7 = 4;

on aura 3H-x = iZ-Hi, ou ^=2i-h({-^i)x.

Mais aussi ^^"^5 ^^ (i-+-î)*-*- ï==3 -h|;

donc x==6, z = 5.

Comparer Diopbante, 1,23. — ** Com|>arer ihid. 1 , 2Â. — *** Comparer ibid, 1,25.

Posons 7 = 4;

on aura 4-t-3 = r-Hi, ou 2 = 3-|-x- ^ar»,

Dun autre côté onaa:-+-|ou(i-+-îJa:-t-| = 4-Hf;

(35) î^H-it=jy-H}a. = ^-Hi:r=^-*-f

Posons J = 4 ;

en procédant comme dans le problème précédent, on aura

^tpuis îx-+.ieou (î^è)a:H-i = 3-hJ;

donc X :

V — il z iîi t JUL»

J a»» * «1» ' SI*

(36) ar»-H/ = 9"

posons 7 = aar — 3 ;

donc 9 — a-' --= 4«* -H 9 — 1 2a?, a; = 2 1;

à résoudre par deux nombres carrés autres que 1, 9 **V

Posons X* =- jc,* -H aa;, -f- 1 ,

donc

posons r = 3ar, — 3 ;

on aiu'a 9 — x,* — 2 j, = 9a?,* -1-9 — 1 8^, , x, =.= 1 i ;

Posons y' = x« -H la; -J- 1,

donc i) - - 2X -h I , .T -= 2 ;

• Comparer Uiophante , 1 , 20. **' Comparer tfcid. II, 10.

*• Comparer ilid. Il , 8. "" Comparer ihid, II , 1 1

(39) a;«-hz=f", /-f-2==v*.

Posons z= aa?-+- 1 , et / égal à un carré quelconque, tel que (a: -4- 1)*; on aura à résoudre

x* -t- 4* -+- 2 = w* ; posons v = x — 2 ;

il suit x*-i- 4a?-4- 2=a;*-f-4 — àx^x = {; 73v'.

(ào) a;-f-3=/, a: -4- 5 = 2**.

On a 2* — / = 2 == 4 . 1 ;

on pose ^ = ^ = 2{;

donc

,> = 5h.|, x = ï, / = (i-h.i-hi)'.

{^\) 5 — jr=/, 3 — a;=2*".

On a y — ««=2 = 2.1;

on posera , soit y = ,

donc 5— a?=(J)", x=2Î;

2 — 1 soit « =

donc 3 — aj=(J)«,

ce qui donne également ar = 2 -♦- J -+- {.

(42) jf— 5=/, «— 9 = 2«-". 74 r\

On a f — z»=4 = 4.i;

on posera , soit y = •

donc X — 5 = 6J, a:=iii;

Comparer Diophante, II, i3. — '* G>inparer ihid, 11, i3. — '*' Comparer ihid»\\, i4.

102 EXTRAIT DL FAKHRL

bOlt

donc

L'auteur fait obsenrer qura a résolu ces trois deniîers problèmes par la luétbode de régalité double (iLJblI i1^LMjj#). Mais si Ton veut, on résoudra le problème acUieP par la méthode de Ilstikia [A^iZtmSt ^j^^i^]. On posei'a , pour cet effet

X = Xj' -^ i ,

et Ion aura j: i = x,% x — 9 = «,' — i = r*;

on posera r==jcj — 1,

et Ion obtient x,» — i = x,» -»- 1 — ix, ;

donc

ra = ai, x=iif

(43) x-|-j=io, xH-2* = <", j-|-r« = r*-.

Choisissons deux nombres tels que la somme de leurs carrés soit plus petite que 30; disons n et 3.

74>'- On posera r»=(r-Hi)'=2*H-A-Hi«, x = 4-Hir;

r"=(r-+-3)* = ^-4-9-H6x, jr = 9-H6r; ;ix-f-4)-l-i;6r-i-9) = io, « = iV5

Posons ï' = x,' -4- 4x, -♦- 4, X = ixj -+- â , j ^= IX, -H 3 ;

OU aura z* — x = x.% ** — ^ =.. (x, -♦- 1)%