QUATRIÈME SECTION
Posons ^ = a:-+-i;
on aura «* = (x -+- 1)', et a:» -1- 4a? -1- 2 = <•;
posons f = a:— 2,
donc j?* -+- 4a? -f- 2 = a:* -H 4 — 4a?; j?= J, 7 = i f
(3) ar« — [w -H7) = z% / — (a? -+-7) = f "\
Posons ^ =^ X -f- I ;
on aura «' = a:",
fit a?* — aa? — i==2«;
771^. posons 2 = a?— 2,
donc il?" — aa? — I = a?" -^ 4 — 4a?; a? = 2 i , 7 = 3f
' Voir i« problème «37 de colle seclion. — ** Comparer problème 3o de la deu&iëme seclîon, et Diophanlfl II, 23. — "* Comparer Diophanlc II, 24.
EXTRAIT DU FAKHRL 105
(3) (ap-t-^)«-ha; = z«, (a?-H^)*-h^ = t* \
Posons (x -hyY = "^1*» ^ = 3^1*» y = 8a?,* ;
donc iixî' = Xi, on Xi==jj;
(4) [x^yY — x==z\ [x^yY—y=e
Posons (a? H-^)« = ga?,*, ar = 5aîi*, y = 8a:,*;
donc i3a?,» = 3a:|, a?,==^, j;,»=^;
le»» J ■ 161'
(5) ar .^-4-a;=2*, x .y-hy=t*^ z-\-t = 6
Posons y=hx — 1 ;
on aura z* = àx*^ z = ix^ e = 6 — aa?;
donc 4a;* H- 3a? — i = 4^ H- 36 — a4ar;
^ ai» 7 S7
Posons
on aura
Z* — 4ar», z — 2a?, t —
donc
z-Hf=5***\
se .. 19 1
Posons 'f' égal à un nombre carré quelconque , disons = i ; on aura
posons z = x — 2 ,
donc a;*-!- 1 =a?*H-4 — 4x; a?==?, ^ = 77» ^' = f|-
Mais maintenant il faudrait encore que [ti-A-^ti fût un nombre carré, ce
* Comparer Diophante , Il , 3 5. **** Comparer i6i(/. II, 38.
Comparer i6i(l. II , 26. "*'* Comparer i6i<2. II , 29.
Comparer xhià, II, 37.
Tï^-t-^-»'.
qui n*est pas le cas. Recommençons donc la solution et posons
donc
ou
posons
on aura gar* -t- 9 = 9**-»- 16 — aA»; a? = ^, a;»= AL.
Posons /=!»
on aura a;' — 1 = **;
posons z = x — 2 »
791". donc ar»— 1 =a;*H-4 — 4a?; OU a?=i|, a;' = H' *' = 17'
Mais maintenant il faudrait encore que (77. i) — U fût un nombre carré, ce qui n*est pas le cas. Recommençons donc la solution et posons
J — le»
donc lia;«U=z«.
divisons tout cela par 1 ^ qui est un nombre carré; on aura à résoudre
posons z = x — 4;
on aura a^ — 1 = a;* h- 1 6 — Sx,
mi X — ai aï* — iAl V* — iiî
uu X — 2jy X- — -^, y — -j^.
(9) ^•.r-*-(^-+-»=2% x.y—{x-hy)r=i^'\
Résolvons d abord jf,-h^, = ?,«, a?,— ^, = e,*, ce qui est facile, parce quon 79 v*. a toujours (a*-4-fc') ± 2ah égal à un nombre carré***. Prenons donc a;, = i3,
Ensuite posons y = 1 3a?, a? -h^ = 1 sa?*;
on aura 2»= 2 5a?*, e»=ia?»,
et i4a:= 12a?*; a? = J, j'==^.
* Comparer Diophanie, H, 3o. *** L auteur désigne ici la quantité lab par
" Comparer ibid. If , 3 1 . Texprcssion t>^-*-J^'-
Résolvons d*abord a?, -h^,«= e,«, a?, — j^,«=t>,*; cherchons, pour cet effet, deux nombres a, jS tels que 2»^ = /; prenons
on aura < [ a;, = 20, ^,*=i6.
Ensuite posons a?== 2^, ^= 10^, de sorte que a?^= 20I*; et déterminons Ç de telle sorte que x-^y= 16?;
on aura donc 12^= 16I*, ^= J; a? = i, ^==^.
Posons ^ = 20? -t- 1 ;
on aura t« = (a;H- i)',
et ^ == 4a:* -t- 4a: -H I ;
posons 2 = 4a; H- 3 ;
on aura v* = (2a? -4- 2)*,
et i6a?'-4- 25a?-+- 9 = u;*;
posons w = 4a: — 4 ;
donc 1 6a?* H- a 5a: -t- 9 :^ 16a;* H- 16 — 320?;.
Posons a; = jj, -4- 1 , 7 = 2a:, -H I ; ^o ^'
on aura a?» — ^ = a?,',
et / = 4a?,' -t- 4a;, H- I ;
posons 2 = 4a;, -4- i;
on aura y z == ( 2a;, )',
et 1 6a;,* -t- 7a?, = to* ;
posons w = 5a?, ;
donc i6a?,'-4- 7a;, =- 2 5a;,', OU a;, = J;
Comparer Diophante , II, 32. — ** Comparer ibid. H, 33. — *** Comparer ibid, Jl, 34.
108 EXTRAIT DU FAKHRL
Résolvons d abord « -4- (S* = c*, a-Hy« = u*, a-HiJ» = ô.«.
Prenons, pour cet effet, un nombre divisible en deux facteurs de trois manières différentes , par exemple 12 = 4.3 = 6.2 = 12.1.
On sait que si a = m . n, a-t- l j est un nombre carré;
on obtient donc 1 2 h- (i)* = (3^)*,
Maintenant posons a: = 50?!, ^= ïj?!, z = (bj)xi, x-f-jK-*-2= 12a?,';
donc Sa?! = I 2a?|', a:, = I ;
^=,-»/=iï» z = 3f.
(14) ûc^—(x-hy-{-i) = l\ y— (a: -HJ -4- -&)=»', 2» — (ap-+-y H- z) = u;' *'.
On sait que si a == »n . n , f j — a est un nombre carré , et i on obtient
(6i)"-.2 = {5i)'. Posons x= {3^)j:,, ^ = 4j?j, 2 = (6ï)a:|, x-^y-h z= i2Xi*,
donc 1 4a;i = 1 2X,', a?4 = J ;
«,v" x iiv il» li
(15) a:— ^ = 5, y/x,(iox) = f*'\
y/ioar* = a;*-4- 25 — 10a?;
(16) (y/2â?-f-2)jr = 3o.
y/2x*-t- 2a;=3o, OU a?* H-y/âï" = y^45o;
8ar*. * = i/ï-t-V/45^ — v/i-
Comparer Diophante , II , 35. *** Comparer le problème 4o de la deuxième
Comparer ibid. I[, 36. section. — Libri, vol. Il, p. 4 1 4, 1. i5.
x = j-HV'î-HV/ï-
i-t-Vi+Vî
Posons
on aura
4x,*-h4^i' 7j:,% ou x,*-hx,
-4-ï-Hïi ^, = V^ —
Posons
( J7 -H 7 ) ySar = i ox
on aura î^i'-h7Jf, = (3j)j7i% ou a?,*-»-2ia?, = lox,», x, = 5 — 2 = 3;
(3x-Hy/3x) (x-4-y/x) = 3x'-j-y/3x*-H\/9x*-*-y/3x* = 3ox,
ou , en divisant par x, 3x -h v/3 -»- y/gx -h ^3x = 3o ;
donc
ou
ou
1 ^x -H y/ 1 o8x^ r= go3 -H 9x' -H y/ioSx* — 1 8ox — y/ 1 0800 ,
i()2ic==: ^ -f- go3 — y 10800,
ce qu on résout selon la règle.
* Comparer Libri, Hist* des sciences math.
vol. ]I, p. 442 , 1. 3.
** Comparer ibid, p. 443, 1. 1.
*** Comparer iôicL p. 446,1. 14* **** Comparer ibid. p. 447> i* 26- '"** Comparer ihid, p. 448, 1. 16.
3« H- y^SJ? =100-4- 6** -♦- \/ïôi* — aojc — \/iooojc", OU î3«-|-V^aoooj:'-4-y/8** = ioo-4-6j^-l-V^JO«*.
Pour réduire le nombre des carrés , on multiplie par \ — g" » ^^ T^ donne
83V. =V(»8»ï)^-HV(rï)l? — Y/(Ai-i-i-h|)**--(3J)x — V/RI
On a donc ramené le problème à une équation de la forme «* -h a = 6x qu*on résout selon la règ^e.
On a
donc
en multipliant para:®***, on obtient
loojc* -+-«■» jr*==\/i25oo — 5o;
X = y Y \/ 1 25oo — 5o.
Posons x = 5-i-a?,, ^ = 5 — x,;
8/4 r". on aura 5 -h x, — 2 v/5 -t- x, «= 5 — x, -4- 2 v^5 — x,,
ou 2x, = y/20 H- 4*1 -H V 20 — 4«i ;
donc 4x,« = 4o H- V'i6oo — 64x,",
' Comparer Libri, HUt, des sciences math, *** L*autear multiplie d'abord par x*, et en-
vol. 11, p. 4 dç), I. 3i. suite par X*.
*' Comparer ibid. p. 45i, 1. 3. *'" Comparer Libri, vol. II, p. 46i, 1. i4.
EXTRAIT DU FAKHRl. 111
et consëquemment 1600 — Ux* = (ix,« — io)» = lôx,* -4- 1600 — 3»ojc,%
ou
(26) ir-H^==10, ^l^H-y^ =ao-.
Posons x = 5-|-x,, ^ = 5—*,;
on aura (5-4-x,) (5— x,)v/ao ou V 1 aSoo -+- lox,*— I oooar,* =100,
parce que ^--l^^j . (ja — 6| . fc) = a';
donc 10000= laSoo -f- sojt/ — iooojt,*,
OU 20jr,* -H 25oo = 1 ooca?!* , OU x/ H- 1 25 == 5ox,' ,
^* =25 — y/5oo, X, = i/25 — y^5oo.
^ /3o 3o\* /lo io\*
Ona ^ + j=9.(H.j.= .8o;
donc | — -+~) =20,
ce qu'on vient de résoudre.
Résolvons d*abord j, -t- ar,* = «,*, y, >— x,*= f,».
Posons j, = 2Xi -H 1 ; 85 r'.
on aura 2,*=={x,-+- i)%
et 2X, -Hi — X|' = f,';
posons f, = 1 — X,;
on aura 2a?, -+- i — x,* = i -+- x,» — 2x, ,
donc a;, = 2, x/ = 4, ^^, = 5.
Comparer Libri, vol. If, p. 475, 1. i6. —** Comparer le problème 28 de la deuxième section.
Puis on aura .r r= i, a?* = i}.
L auteur fait observer que la méthode quon vient d'employer est d*une grande utilité dans la résolution des problèmes de la forme ji^-^mx=z\
X* — nx — : t*.
(a8) «• -h aa; r= 2% ac^ — 3j: = t*.
Résolvons 4*abord x* -4- a^, -= z^\ a?»» — 3/, = t,\
Posons
y, = aa?, -H 2 ;
on aura (a:,-t- 2 )' = «,",
nt «,' — 6xj — 6 = e,";
poMons /, =a?, — 4;
on aura a/ - 6x, — 6 --= a:,* -t- 1 6 — 8a:, , H5v*. (i( a?, ^== 1 1,
donr .r,«-^ lai, ^,==24;
puis on nur» a; -^ Vr "~= ^ -*-
On n .r--2« — ao;
donc y r= 3o — 2
«t t"r^lO-h2*.
Prenons / de sorte quon obtienne «»:>2o et 2*— 2o<:io; posons doncî r =-- 2 -»- 1 ;
on aura ,o-H5'-^2*-h jr-hi. ^==4^;
(3o) .r-h4-=/. 9— ap==2*.
On nVsoul / h^'- i3 par deux nombres carrés autres que 9, à. Puis on rolranrho l\ du plus grand des deux carrés trouvés, le reste sera x.
* (loiiipnrt^i* le pi'obl6me 29 de U deuxiè^me section.
(31) x-Hio=j", x-k-JO = z^\
On a 7*-»- io=-=r';
posons z =jr H- 1 ;
on aura y h- io=j"h-27H- i; j= 4?» y = îo^, x= lof
(32) lox— 8 — jr»=7*. 86r'
L'auteur fait d'abord observer que le problème n aura de solution qu'autant que ( — j — 8 peut être divisé en deux nombres carrés. Dans l'exemple actuel, on a 17 = i6h- i.
Posons x*H- 16 = i<MP — 8,
ou a?* -4-1 = KM? — 8;
on aura x = 6 ou = 4 ,
[ou de l'autre côté a? = 9, 1].
Divisons f-j -h 260 en deux carrés; on a 269=io*-4- i3*.
Posons ioo-4-x'=26o — 6ap,
ou 169 -H a;* =260 — 6a?5
donc a?=io, OU x = '].
(34) ar*H-ar=/, x» -H i = «'.
Posons 7 = y/a:' H- 1 — î ;
on aura a:*-+-ar = a;*H- 1^ — \/a;*-4-i, 86v'
OU 1 X — a? = v/^' -+- » î * = T»-
On a «■ — 5 -Hy/a;* — 5 = z*;
posons z=^x — \\
* Comparer le problème 3 1 de la deuxième section.
114 EXTRAIT DU FAKHRL
donc a?* — ô-h-v/** — 5=^-+- î — ^» ou y/x* — 5 = 5i — a?;
consëquemment a:* — 5 = (a7-hî-»-|:)-Ha?"— lo^a?;
Syr*. (36) a;*-+-3a:-»-i =/, a;* — ( Sa? — a) = 2*.
Posons z = y/a;* -4- 3a; -4- 1 — 3;
on aura a;* -h 3a; -4- lo — \/36a;'-H36-h io8a? = a;* -♦- 2 — 3a;;
donc 36a;* -»- 36 -t- io8a; == ( 6a; -h 8 )* = 36a;* H- 64 -♦- 96a;, OU 12a: =28, a; = 2j.
Posons y = 1 —sjoc" -hx— 1,
87 V". donc a;*-Hi — x = a^-^-x — \J ka^ ~\~ kx — 4;
consëquemment 4a;* -+- 4a; — 4 = (2a; — 1)* = 4** h- 1 — 4^;
Posons y = 1 -t- y/ a;* -H a? — 3,
consëquemment a;*-h2 — x^a^-^-x — a -4-^/43;* -f- 4a; — 12;
donc 4a;* -H 4a; — u = (4 — aa:)* = 4a;* -j- 16 — 1 6a;;
ar = i|.
88 r'. (39) a;* -t- a; -t- 1 =/, a;* -f- ax H- a == **.
Posons z == ï -t- y/a;*-t-x-H i,
consëquemment a;*-haa;H-a=a;*-«-x-H 17-t- y/ar* -4- x -f- i; donc ar*-Hx-t-, =(x-Hi)* = x*-t-(ii)x-t-(i-t-t);
Après la fin de ce problème, Tauteur ajoute :
« Parmi ces problèmes, il y en a qui ne sont pas rësolubles par cette méthode. J'expliquerai , dans le commentaire de cet ouvrage , lesquels d'entre eux sont rësolubles, et lesquels ne le sont pas, de même que je montrerai en quoi consiste l'artifice dont on se sert pour leur rësolution. »
(4o) x-hy-h-t==ào,
Posons 7 ==8;
on aura -^ ~" ("^ ^ ^) "*" (i "*" ^) "" ^ "^ 5 '
donc ^~ (I "*"')■*" (l"^"^) "^^"*"f'
ou 2=i5 — (i|)j:;
conséquemment « — f ^ -*- 4 j =8 — (i \)x, et *^-h 3 == 5;
donc i3— (ii)a: = 5 -H ^a?,
ou ^ = 4^, 7 = 8, z = 7,
ce qui donne x-hjr-\-z== lyj;
tandis qu on désirait obtenir a? -1-7 -+- z = 5o.
Recommençons donc ia solution, et posons 7= la;
on aura -^^ U"^^) "^ (j"*" ^) ^^~^y
X = lOj, y= i9y 2=ia;
donc ^"~ (3"*"^) "*~ (i"^^) "^^
ou 2 = 3o — (lî)a:;
conséquemment « — fr-4-4J h- f^-*-3j = 26— (i{)j;, 89 r\
donc 26 — (ii)a? = 8-4--;
Or, en augmentant y de 4 , la somme a? -4-7 -t- 2 s est augmentée de 1 5 , de sorte qua chaque unité du premier nombre correspondent (3-4-^-4-^) unités du second. Mais on désirait obtenir ime augmentation de 3oy, au lieu de
1 5 , ce qui donne, pour augmentation de y, -rY = 8— -,
* Comparer Diophante , renoncé de II , 19.
116 EXTRAIT DU PAKHRÎ.
consëquemment , posons ^ = 1 6 ^ ;
on aura -^""(4"*" v"^ (i"*" V "^ *' " '*'5'
donc ^-(i-^O^G-^^-^^-^r
89V. ou 2 = 45i{— (if)x;
consëquemment ^ — f ^ -»- 4 j = Sa^j — (1 1) a?,
et 4~*"^^77?;
donc ^gii — (ii)«= ii^-4-|;
Posons y = 2» -4- ar H- 1 , ,
on aura j^ = 2* -4- 62: -1-3;
posons a; = « -H 2 ,
gor". on obtient 2* -t- 6z -+- 3 = z* -4- 4z -4- A ; 2 = i;
Posons ^== aa?, a?H-jr-+-z = 5a?*;
on aura «■ = (aa?)*, t>« = x".
Ensuite divisons 5 en deux nombres carres autres que 1 , 4 , problème résolu ci-dessus; on aura 5=jL-j-m.
Posons 2 = far,
on obtient 3a: -»- fa? = 5a;*;
donc * = i?»7 = iT» '^Is*
Comparer Diophanie, II, ao. — ** lh\à, III, 1.
(43) (ap-4-^-l-*)*H- j:=(% (ar-H^ -♦-«)*-+- y = »", (a? -4-^ -H 2)*-*- 2 = w**.
Posons (a: -1-^-4-2) = a?!, x = Sarj*, ^ = 8a?i*, z == 1 5a?,* ;
on aura x^ == 26*,% ar, = ^, a;/= ^ ; ^^ ^o
^ — ïTê' 7 — «Tï» * — "-•
