JJ

(44) (a?-+-^-+-2)« — ar=«*, (x -hy -^ z)* —y = v\ (ay-t-^H- «)' — 2 = u>«**. Posons a? -4-^ -j- 2 = 4a?| , a: = 1 ax,*, ^ = 7a?!", 2 = 1 bx* ;

on aura Aa:, = 34a?,\ a:, = ^, a:,* = ^{^ ;

(45) a: -4-^ -4- « = t*, a:-4-^ = 2 -hB*, ^ -4- « = a: -4- w*, 2 H-a:=^ -4-ti>' "*. gir*. Posons t* = a?|* -♦- aar, -4- 1 , u* == 1;

on aura a;-4-^ = ^a:,'-4-a?, -4- i» 2 = ^a?,* -4-a;,.

Ensuite posons «' = a?,* ;

on aura 7 -4- 2 = a?,* -4- a;, -h J , a; = a;, -♦- i.

En même temps on avait a? -4-7 -h « = a?,* -4- aa;, -4- 1 ,

donc y == ia:,* -H j.

Enfin on a posons^ on aura

x = S{, y = Z2jy 2=4o.

Autre MÉTHODE****. On résout a»-f-(S»-*- y' = ^, ce qui est facile. On trouve , par exemple 36 -4- 9 -4- 4 = 49.

Ensuite résolvons cH-Ç=n-4-36, Ç-4-n = e-i-9, n-4-c = ÇH-4;

on aura c=2o, Ç= aa^, »? = 6î.

Ces nombres satisfont aux conditions ci-dessus. La raison de cela c est cpie

a; -4-^ -4- 2 = tt* H- V* -H w*. 91 v'

• Comparer Diophante, III, a.—*' Ihid. III, 3.—"* Ibid. lïl, 5. — "" Ihid. III, 6.

aa^j

(46) x-\-y '^' z = 1^y a?-f-7 = tt*, ^H-z = v*, z-t-a; = u>**. Posons t* = a:,' -H aa?, -4- 1 , x -^y = a?!*, ^ -j- « = a?,* -H i — îa?, ;

on aura r = aa?, -t- i , aî = 4j?, , ^ = a?,* — 4a?i ,

et 6 a:, -t- 1 = u;* ;

comme on a j. = a;,* — da?, , d'où il suit que a;, > 4 ,

il faut choisir w de sorte que u;*>> aS;

prenons w* = i a i ,

on aura a;, = 20, "^

a; = 8o,^ = 3ao, 2==4'i.

(47) a? — y = i — a?, ar-t-^==t', ^-+-z = t>*, z -4- op = «;• **.

Cherchons d'abord trois nombres carrés satisfaisant aux conditions suivantes :

y* — (S» == ^» — a», «»H-p>y% ^»-Hy»>«*, y'-4-a«>^». Posons a?,* = «», a?!» -^ aa?, H- 1 = (3» , a?,' -f- 4a?, -f- 2 == y*;

9a r'. prenons y de sorte qu'on obtienne a:,*>> aa?, -t- i, afin qu'on ait «"-t-l3«>y"; disons y = j;, 8,

on aura a?,* -t- 4a:, h- a = a?,' -h 64 — 1 6a?, ,

ou ^i=T7Î

jî * = îli == a* fi' = '•" v' = i^'-i- •*'! lou ' r 100 ' / 100 •

Ensuite posons a: -h j h- « =- ^,

a;-4-^ = 961, j^-H 2 = i68i, 2 -t-a;= 24oi ;

on aura 2 = $ — 961, x = ^— 1681, [^ = €— a4oi];

donc a; -H^ -H r = 3^ — 5o/i3 = ^,

OU ^ = a5ai^;

z= i56oJ, ar=^84o;, y= lao^.

* Comparer Diophante, Ilf, 7. — ** /6irf. III, 9.

(48) a?-H^-+-3 = t*, jf-i-z-H 3 = H», 2-4-a?-H3 = »S J?-h^ -H z H- 3 == w* *. 92 v' Posons j;-H^==a:i*-f- 4a?, H-i, [y-H « = a;|*H-6j;, -4-6J a? -f-^-f- 2 = a?|*-H8j:,-t- i3;

on aura 2 = 4a?i -h i a , x == 2a:, -4- 7, j' = a?,* h- 2x1 — 6 ;

donc 2-Ha;-t- 3 = 6j;|-|- 22 =«';

posons «« = 49,

on obtient a;, = 4^,

(/ig) ar-+-^ — 3 = t*; ^-4-2 — 3 = u*, 2-4-a:--3 = w', a;-t-^H-z — 3 = ti;»**.

Posons a? -♦- ^ = J7,* -4- 3 , ^ -4- 2 = a?,* H- aa?, -4- 4, a? h- ^ -4- 2 = a;,' -t- 4ar, -h 7 ;

on aura 2 = 40;, -1-4, a? == 2a?| -4- 3, y = x* — 2x1; g3r"

donc 2: -h a: — 3 = 6a?, -4- 4 = w';

posons i,« = 25,

on obtient a?, = 31;

a?=io,^==5j, z=i8.

Résolvons d*abord a' -t- 1 2 = f**, |3* h- 1 2 = v' ; on trouvera «* = ï 1 jS* = 4.

Ensuite posons a? = 4a:,,^ = — , ^ = y

a?.r-t-i2etv.2-4-i2 seront des nombres carrés,

et Ton aura a; . 2 -f- 1 2 = a?,' -h 1 a = u>*;

posons u> = 0?, -4- 3 ,

il suit a?,' -4- I 2 = X,' -H 6X| -h 9 , X, == i;

Comparer Diophanie, III, 10. — ** Jhià. III, 11. — *** /6i(2. III, 12.

(5l) x,y — I0 = f', ^.Z, 10 = l>", Z,X — lO = W*'.

Résolvons d'abord «• — i o = (**, /3* — i o = »*, ce qui est facile, par exemple a*=3oi, (S*= 12J.

Ensuite posons a?=(3o^)jr,, ^ = — , z = (iai)a?,;

X ,y— \o ^\y .z— \Q seront des nombres carrés, et Ton aura x.z — io=370Yja?,* — io=ti;*,

ou 5929X1' — iGo = ti;'*;

posons u>' = 7-737, — 2 ,

il suit 5929J?,* — 160 = 5929X1* -H 4 — 3o8x,, a?, = î||;

ï^' * — »o» » 7 i6«» * — ao» •

Posons X .^ -H « = X,' -H 6x, -4- 9 , 2 = 9»

donc X .^ = x,*-H 6x, ;

posons a; = X|, ^ = x, -4-6,

donc X2 -4-7 = 1 oxj -I- 6 , ^z -4- X = I ox, -H 54 »

Mais on trouve facilement deux nombres carrés ayant 48 pour difiFérence . par exemple, 1 6 et 64 ;

posons 1 oxi -4- 6 --= 16,

ou bien lox, -h 54 = 64;

on aura <r = X| = 1, ^ = 7, « = 9.

(55j X »y — zzz^ i^^ y , z — X = vS z . X — y = 10^ ***.

Posons j' = x-|- 4, z = 4x;

94v». on aura x^ — z==x»,

xz — y = 4x* — (j: -H /| ) = lo*, yz — x = 4x* -h 1 5x =^ «*;

• Comparer Diophante , III, i3. — " Ibid. lll, i4. — *" IbidAll, i5.

Résolvons « . /3 = i6a? -i- 4 ;

on aura « = 4 , /3 = 4a? -+- i ;

puis on aura , soit — - — = « »

soit

donc v= 2af-4- 2^, t»* = 4a:*-H6i -»-ioa;= iar'H- iSx;

(54) a?^ -H 2» == t*, yz-^x' = v\ zx-{-f = w*\

Posons ^ = 4a: -f- 4 , 2=1;

on aura xy -{- z* = hx' -^ àx -{- t ^= (2X -{- i)\ jz -{- x* == x* -^ àx -i- i = (x -\- 2)\

posons w = 4a? — 5 ,

il suit 16a:* -4- 16 -H 33a? = i6a:*-4-25 — 4oa?;

(55) a?.^-HXH-^ = t*, j' . z -H^ -4- z = V*» z. a: -4-2-4-

Posons «=4,7 = 9, parce que a«. (o-f- i)*-4-a«-+-(a-4- 1)« est toujours un nombre carré***; on aura 5z-f-4 = w% ioz-f-9 = v%

Résolvons a |S = Sz h- 5 ,

disons a = 5, |S = 2-|- i;

on aura ''*""(""T^^) "^(^"^0 =9-+- y-*- 32= 102-1-9,

— =72, ou 2 = 28.

On serait arrivé au même résultat en posant «»*== {— — 1 =52-4-4.

Comparer Diophante, III, 16. "* a* (a-+- i)' -4- a* H- (a -4-»)"

" IhidAll, 17. =(a.ia-M|)*+20(a-M)-»-i=-(aja+i j-M.'.

(56) a!y—(x-{-y) = e, ^2 — (^-+-z) = t;*, zx — (z-+-x) = te»*.

Cherchons d'abord deux nombres a, j8 tels que «.jS — (tt-f-l3) = f»% et ,6a — i6 = 4^ — 4 , où Ton pourrait prendre en place de 4 , 1 6 aussi bien deux autres nombres carrés.

Posons donc a = x, -4- 1 , (3 = 4a?i -+- 1 ;

on obtient «/3 — (a -h (3) = 4a;,» — 1 = ji« ;

posons fi= 2x1 — 2 ,

donc tix* — I = kx* -H 4 — Sa;,,

et a;, = j ,

Maintenant posons «; = ^, 7 = ^;

9O r". on aura ^z —^--^--w* et , en multipliant par 16, 1 02 — 26 = id,*,

ii 2 — 2J» = y» et , en multipliant par Ix, 1 oz — 1 4 = »i* ; donc V,' — w,'= 12.

Prenons deux nombres dont le produit soit 1 2 , disons 2 et 6;

on aura f — ; — j ou 16=102— lA,

donc 2 = 3;

/Cl \ S

oX Ton serait arrivé au même résultat en posant f — - — j = 102 — 26.

96 v". (57) xy -I- x---t^, ^y-^y = v*y x J -f- a; -f- y = w* **.

Posons ^ =- 4a? — 1 ;

xj-i-x sera un carré ;

puis on aura xy-hy^-^ hx^ -+- 3a; — i = i;% xy-^x -4-7 = 4a;* -J- 4a; — 1 =^ w",

Prenons deux nombres dont le produit soit x, disons kx et ^;

^f^±-iy=.= 4x»-4-;a;-|-J = »i;'=-4a;*-4-4a;- 1;

on aura

(iOmparcr Diopliaiitef llî, 19. — ** IbidAll^ 20.

(58) xy — ar = f*» xy — y = v*^ xy — (x-\-y)=w**. 97'"'*

Posons X = Xj -+- 1 , ^ = 4a?| ;

xy—y sera un carre ;

puis on aura xy — x = ^x^* -h Sxi — i == t", xy — {x -{-y) = iXi* — Xi — i = u;',

Prenons deux nombres dont le produit soit Ixx^ , disons kcc^ et i ;

1-J j = l^x* -♦- 2X, -*- { = f* = 4a:,* -h 3ar, — i , j:, = i {;

Posons x= 2t-f- I, ^=4t-H4î

on aura x-^y = 6t-{-b = io[x = ^, y = ^, * = ï]î

et pour résoudre x -{-y =10, t* — a? = v*, t* — r = w* **",

posons t* == x,* -H 20?, -4- 1 1 x= 2X1-^ }, y = 4x, ;

on aura 6j:,-+- 1 [= 10, a? = 4, ^ = 6, f = f].

(60) [(x -+- y -h z ^ ty -i- X = m*, {x -^ y -\- z -h ty — a; == m|^

(x -{- y -h !t -^ ty -\-y = n% (.r -^y -a^ z -^-^ t)* — y = n,*,

( X H- ^ --H z -H <)' ■■^2=^ p*, [x -Y-y -^z-^ty — z= Pi*,

(x~^y-\-z-hty-^t^(f\ [x-^~y~{-z-\~ty— « = 9,'""*.]

On sait que si i oîi désigne l'hypoténuse et les deux eathètes dun triangle rectangle par h, fc, , fe, respectivement, on a fe* -f- 2/f,^', = fx% fe* — 2fe,A', = i;*. Il 97^' s'agit donc de trouver quatre triangles rectangles ayant tous la même hypoténuse , mais des eathètes différentes. Prenons d abord deux triangles rectangles quelconques, disons 3, 4, 5 et 5, 12, 1 3; on sait qu'alors 39, 62, 65 et 25, 60, 65 seront aussi des triangles rectangles. On a donc deux des quatre triangles cherchés. Maintenant, résolvons deux fois a'-HjS' = e5' par des nombres autres que Sg, 52 ou 2 5, 60; disons 33, 56 et 16, 63.

Comparer Dioplianlc, III, 21. *** Ibid. iU, 2Z.

" /6iV/. III, 24. '•** llmL ni, 22.

98 r'. Ensuite posons x -4-^ -+- z -h « = 65*,,

a? = 2 ( 1 6jf, . 63*1 ) = 20 1 6af,*, z= 2 (60*1 . aSjp,) = 3oooâ;|\ y= 2 (33«i . 56x,) = 3696^;]% t = 2 (39^?! . 620:1) = 4o56x,';

donc

65a;, = 1 27680:1*, OU *i == ^.o » ^i*

ar = ,^ =

12768 1 56 I 56oo

98 v'. Posons on aura posons il suit

Posons on aura posons il suit