CINQUIÈME SECTION
(3) Posons
on aura
il suit
5x' = *»; [posons 2 = x] ,
{à) Posons
on aura il suit
3y' = j« [posons z =j] ,
J'^3; / = 9, ir" = 36, z'=2j.
(5) Posons
(6) Posons
on aura
posons
il suit
(7) Posons
on aura
posons
il suit
Posons donc
4a;* == z'; [ et , en posant z = x],
* — *» ^ — le»/ — i«'
8j;*= i6ar*, a;= 2; .T>=4, / = 64, 2* ==256.
a;« == jr«, j? = 1 , a:' = 1 , ^ = 1 , «' = 1
/ = SA Sx* = z\
Il faut maintenant qu'on pose cela égal au produit de deux nombres, lun carré, 1 autre cube, sous lesquels est contenu un nombre carré, pro-
blême qu'on vient de résoudre*. Recommençons donc le problème et posons f = 64jf*,
99 v". donc • j.y = 64ar* = 2";
posons 2=i6jc»;
il suit 64«^=256ar»,
ou 256 = 64a?», a^=^k, a?=2;
x' = 8, jr*= 5l2, «'=4096.
(9) **-4-ioaf»==/.
Prenons y de sorte que / > loac*,
disons jr = 4x-,
on aura x* -h 10a:* = i6«", a: = 6 ;
x* = 2 1 6 , 1 ox* = 36o , ^==576 = 24.
(10) a?*— iOJr*=7'.
Posons y = ^,
on aura iix» = a:»,
ou a; == 1 1 ;
ar*=i33i, ioa^= 1210, ^= 1 21 = 1 1 .
(11) 5a; =j^, ioaî==z'.
On a
5 jo
oor".donc 2* = 2/, et, [en posant ^ = 2],
si Ton ne veut pas qu'il soit ^ = 2, posons 7= 22;
on aura 2* = 82*, 2 = 8, 2* = 5i2, /=256, x = h\\.
On avait résolu a?,' . jx = 2,* ( n* 6 ) . ou «* = x,*.
Or, en posant / =^,' . «», 2 =- r, . a% l^ substitution indiquée par Tauteur est donc
on aura a:* . y =^,' . a;*, 2' == 2,*. a:* =^ a;,* . j',* . «•; réellement nécessaire , afin que a? ne devienne
donc yf ,j^ z^ jfj« . j^,» . a;*, pas irrationnel.
(12) iox=y, 5x=^:*.
On a j» = ar*;
posons / = hz\
donc jt»==£», «=a;
Autre méthode. Posons y = --, ou =nz, par exemple =2r.
On aura dans le problème n" 1 1 , |2» = a?,
dans le problème n" 1 2 , ^z*==x.
Donc , dans le n° 11, 10, jz* ou 8s' = z\ z = S\ 100 v".
a? = — OU =!-• 10 5
Dans le n° 1 a , on aura |2* = x» 5x ou 2c' = r', 2 = 2;
Les équations proposées étant
ax-=y^ hx==z*^
on peut aussi poser j ,a = z* ou = (m]*;
dans le premier cas on aura —.6 = 2».
Posons
donc
Posons
encore
donc
-'x* — x*. X — i: X» — 1 X*. JL.
Mais si Ion ne veut pas qu'il soit x=y, posons :
iN 1 O . X -— 2^,
12iî
RXTR vrr Dr farehl
(ionc
irti l'
on ;wira
Hori<t
icnav'
manv*, ^ = 2, * = ^fT.
Orj p<*nf ausîii prendr*^ an rixbe cpiel<!onque et son côte; F un et Fautn? diviî^^ pfnr I o, donnent re^p^^.tLvetnent le» deçà nomJbre» ch<»rchésv-
iw* = r»
Pùnf quf*. If". pTohIfrme puisée être résolu, H est nécessaire que h . 9 soit
(Vmt
r'^Six*,
3îi:r* = x»,
t4f1t^/'HU^:tmflffii
fph^
(fU
ft/|;e*--324;
ou 6»4?' = o», x = * "^i
Vi=iV-*^
fifi voit donc que x ne sera rationnel qu autant mit* ah eut un nombre carré.
Zy, 3** =
Ici , il faut que le facteur commun (à savoir 8) soit un cube*, On a a^ = 27/,
donc 216/ = 64/, 216=^64/, /== 34;
^=ij, x=àj, a;' = 9»î»[/ = 3J, 2* = 729» ^ = 27],
aa^ = l*, 6af* = r.
Ce problème ne peut être résolu (juautant qu'on a p; égal à un nombre
carré * *.
Conséquemment, posons « = 64 » 6 = 2; on aura 6àa:* — (2x»)'=^4a;*» 64 = 'i^', j;*= 16, a; = 4; «•= ioa4, e = 32.
(-9) On a
donc
il faut donc que u soit un nombre cube.
Posons
on aura
2j!r'=^,j2ar';
mais on sait que
donc
aar*,
OU
16 = aar*;
donc
ir> = 8, «= 2.
* En effet, les équations proposées étant X = my, na^ = 2*, n/ = z ,
donc
il faut donc que n soit un nombre cube.
on aura m^ . n .y = n*/,
Puisque
130 EXTRAIT DU FAIvIÏRÎ
Posons « = 64, fc= i;
on aura j7» = y/64x';
mais
OU
donc "^ ^'
Ici, il faut que ^* soit un nombre dont la racine carrée est un cube.
(ai) .,*-H/ = 2*.
Posons /=fi'a:»,
disons = 4 '' i
on aura > 7^* = ^* î
posons
loSr'.il suit i7.r» = a7.i>; 0^ = 77» y =
Posons ^' = "Y '
disons = '*/ •'
on aura i5/ = 2';
posons
et, puisque -
lOJ
on obtient IJ^^^*' '^■^^»'''
donc 7 = »P a;-=3f
• Le leite porte : «le nombre majeur divisé On a ax^ = b*x\
par le carré du nombre mineur. * H fallait dire cube. 'l^"^
(2 3) Posons disons
disons il suit
disons on aura
donc
on aura ja ^^3 = , « .
posons 2 = ny,
Posons
j:» — ar* = 2'';
posons 2 = 3a;;
Posons j==^, on aura x» .^» =^ -« .
posons
parce que si Ton posait r = a? ou = nar, on aurait z^>x* — *';
il suit
^.^3 i^.^ ^=(i-4-i), a:» = ^,/ = ll, . = i.
(26) ar*-H/ = 2».
Posons ^« = 4^«,
on aura a?» ->- 40;' = r' ;
posons 2 = 2;i',
, x-^ -h4a:' = 8«»; ar=ri, a;'r=.;îi-, y'.-^li.
il suit
132 EXTRAIT DU FAKHUÎ
Posons / = 4a:», r=î*;
on aura x* — 4x» = ia:»;
donc jr = 4i,^ = 9i,
(a 8) (ar»)« -+- 5/ = r».
Posons j = n»%
disons = îar*;
on aura x* -1- aar* = 2*.
Posons 2 = ma;*, en prenant m de sorte que m*— ao soit un nombre carré;
résolvons donc «• -4- 30 == (S* ;
on trouve a* = 1 6, /S« = 36 , /S = 6.
Gonséquemment , posons z = ex» ;
on aura a^ -+- 20a* = 36a?*,
x*= 16, ar== 4; ^* = (2«*)*= 1024, x' = 64.
(a 9) {^«)*-4-io/r=r«.
Posons x» = 4/,
on aura 1 6/ -h 1 0/ == «* -, posons z = 6/,
donc 16/ -H 10/ = 36/; ^ == 7» j:* == 1 , / = 5.
1 o4 V*. Posons «' = 4/r
on aura 16/ -h/ = 2*;
posons 2 == 6^,
donc i6y -\-y == 36/; y = ao, / = 8000, j:' = 64oooo.
Posons on aura posons donc
Posons on aura posons
(^)'-tr')' = ^'-
z == aar*, a^ — 1 6a;* = 4«*; x = 20 , a:* = 8000 , jr* = 64oooo.
et, comme on a
il suit
ou
8/ — i/=2/, ^=12; y =1728, ar=a88, «" = 82944.
io5r'.
Posons on aura posons il suit
2ix*= 2*;
7at •
(34) Posons
on aura
posons
il suit
Posons io3 v'. on aura
^-Hr
j;* -t- 4x» = z\ ar» — da:* === «",
posons il suit
(36) Posons
posons ii suit
ou
ii faut donc qu on ait
Or on a
ii faut donc qu*on ait
ou
t==x, 3^ — ka?^ = x'; j: == 5 , ^* = I oo\ X* = I aS.
/ = m,/, / = «i/, ^=='»i» et j' = «»;
on trouve
Maintenant posons
io6r*.il suit
w» =7»» " — TT-
et l'on serait arrivé au même résultat en posant 4/ -+-/== ^/.
Donc
«» » *• est ♦ ^ iBoT*
(3?) On a
et Ton pourrait maintenant employer la méthode de Tégalité double. On
EXTRAIT DU FARHRÎ
peut aussi résoudre
ce qui donne '2 5 , 1 6 , et puis poser «• -h 4x* = aS*"-,
donc
ou bien
ce qui donne également
X* — bx* 3= 1 ôop*,
doi
x' = 44ii «* = cj26i
x* -H 5ar* = j'*, «* -f- i o** = «*.
On peut maintenant employer Tégalité double. Mais on peut aussi poser
ce qui donne
et il faudra qu^on ait
x=m* — 5, jf = n" — 10;
io6 v'
OU
on trouve
Maintenant posons, soit x" -h 5x»= (53J)a?*,
soit
x"^ ,Oj:« = (58J)ar*;
lun et l'autre donne x = 48 J. x* == ^^J^ , a:* = — ]-
j;* — bx* =y^ x^ 1 OJC* = 2*.
En posant ^ = mx, t = nx, on sera amené, comme ci-dessus, à chercher deux nombres carrés m^, v? tels que n" -i- 5 = m*,
disons
on posera , ou bien
ou bien
lun et lautre donne
a:* — 1 QX^ = 'iX* ;
don
(4o) Sa:* — x*=/, 7^* — x* = 2«.
En posant y=:mxy z^^nx^
de telle sorte que m« <: 3 , »* <: 7,
il faudra, comme ci-dessus, quon ait 3 — m" = 7 — u\
ou n* = AH-m*;
on trouve m* = a ^ , n* = 6f
Maintenant on posera , ou bien 3a:" — «» = ( 2 i ) a?*,
ou bien 7jt* — a:»==(6i)a?»;
lun et lautre donne * = î ;
donc ^*==^7T* ^ — fï-
Posons x" =^ 4aîj% j' = 4a?, ;
on aura 1 6a?,* — 64a?,* = z\ 1 6a?,» -t- 64a?,* = «*.
107 v*. En posant z = mx^\ t == nXi\
il faudra qu*on ait 16 — m* = ii*— 16;
en même tenips il faut qu*on ait iii*<:i6, n*::>i6; il s agit donc de résoudre m» -4- «* = 3a ;
on trouve "»* =- îï» n* = 3 1 ^.
Maintenant posons, ou bien 16a?/ -♦- 64a?,»= (3i ^)a?,%
ou bien 1 6a?,* — 64a?,* = ^ a?,*,
lun et Tautre donne x, == ^ = ^ î
1 l»Ofl! -J ^ HOOOQO
* »7*» 7^ — lie •
(42) «* H- [y*y = z\ a^ — (fY = ««.
En procédant comme dans le problème précédent, on aura
et en posant z = mjr,*, t=n:i,\ io8r*.
il faudra chercher deux nombres carrés m^ n* teis que iii*==n*-4-3a; on trouve m* = 36, «" = 4.
Ensuite on pose, soit 6Aa?,*— i6a:,*= 4a?i\
donc X, = 3|î
soit 64a-,* -H 1 6jr,* = 36j:,\
ce qui donne également a?, ==3J;
donc Y* = ~-^—, a^ = '*-mJ^
(43) aj^=/, hc^=y\
Ici, il faut que ti soit un nombre cube.
Posons a = 3a, 6=2;
on aura ax'^yJJâ^-,
donc -— r = ax*,
ou 16 = 20:', a:* = 8.
On voit qu'on a divisé 3 a successivement deux fois par a pour obtenir le cube, c'est-à-dire qu'on a divisé 3a par le carré de 2 ; de là, la condition cidessus.
Ce problème est identique avec le 19' de cette section.
