ADDITIONS ET NOTES

PROBLÈME III, 5 D'ALKARKHt.

Si ie premier de quatre hommes reçoit du second un dirhem , il aura le double de ce qui reste au second ; et si le second reçoit du troisième deux dirhems , il aura le triple de ce qui reste au troisième ; et si le troisième reçoit du quatrième trois dirhems, il aura quatre fois autant que ce qui reste au quatrième; enfin, si le quatrième reçoit du premier quatre dirhems, il aura cinq fois autant que ce qui reste au premier. Combien à chacun d*eux?

Posez la quantité du premier chose, et la quantité du second mesure; retranchez de la quantité du second un dirhem, et ajoutez-le à la quantité du premier ; alors le premier possède chose plus un dirhem , et cela est égal à deux fois mesure moins un dirhem ; prenez la moitié , il résulte [la moitié de] chose plus la moitié dun dirhem égal à mesure moins un dirhem; donc vous trouvez la mesure égale à la moitié de chose plus un dirhem et demi. Et cela est la quantité du second.

Maintenant posez la quantité du troisième mesure; retranchez- en deux dirhems, que vous ajouterez à la quantité du second; celui-ci aura, en conséquence, la moitié de chose plus trois dirhems et demi, ce qui est égal à trois fois mesure moins deux dirhems , ou égal à trois mesures moins six dirhems. Ajoutez six dirhems à trois mesures et à ce qui leur est égal, on aura la moitié de chose plus neuf dirhems et demi égal à trois mesures.

ô^l ^j\^ «iJUJi ^ ^UJI JU*! i^-:W- Ax^ y\r (^:> eJUJt c:^ jUJ! Jsi.1 yU ç^\ji] 4X^1 yt^ ^]ji\ ^ âlJl JlJUt »juj\ ifM ^^ -?[;:> a5^- ^SjiS (^ eJUJI

^.^ ù^\^ JS' ^ ^^^:^\ f* ilfJî Jo*! iLiJt *** o^ (^b^ **e;' J-?^' c:^•

J^^l JU vie »:>3 l%:> ^UJI JU (^ 0^3 Ua^ âUJi JU^ lluû J^^l JU Jocs-U

iju^j^a^oAi ^IXJI JU^ »:>j^ c^j^ *jU 0^3 Ik--^ eJUJi JU Jo^U jUJ! JU àS^ ^^ (J^%:> ^! k^ JIjU! &S^ Jo^ viUi^ vJuai^ J^ji> aSAS^ s^^ vJuaj

Gonséquemment une mesure est égaie à un sixième de chose plus trois dirhems et un sixième. Ceci est donc la quantité du troisième.

Ensuite posez la quantité du quatrième mesure; retranchez-en trois dirhems, et ajoutez-les au sixième de chose plus trois dirhems et un sixième. Il résulte un sixième de chose plus six dirhems et un sixième , ce qui est égal à quatre mesures moins douze dirhems. Donc, après avoir «restitué», on a quatre mesures égales à un sixième de chose plus dix-huit dirhems et un sixième. Gonséquemment une mesure est égale à un tiers d'un huitième de chose et quatre dirhems et demi plus un tiers d un huitième.

Ensuite prenez au premier quatre dirhems. Il lui restera chose moins quatre dirhems. Ajoutez-les à un tiers dun huitième de chose plus quatre dirhems et demi et plus un tiers d un huitième. Il résultera un tiers d un huitième de chose plus huit dirhems et demi et plus un tiers d un huitième , ce qui est égal à cinq choses moins vingt dirhems. Donc, lorsqu'on aura restitué et enlevé ce qu'il faut enlever, il reste quatre choses plus vingt-trois parties de vingt-quatre parties de chose égal à vingt-huit dirhems plus treize parties de vingt-quatre parties. Gonséquemment six cent quatre-vingt-cinq parties de cent dix-neuf parties de lunité sera la quantité du premier.

Et parce que nous avons posé la quantité du second égale à la moitié de chose plus un dirhen) et demi, elle sera cinq cent vingt et une parties de cent dix-neuf parties de l'unité.

Et parce que nous avons posé la quantité du troisième égale à un sixième

^\j^ xJ»L^ AJL« <X^3 Ua^ ^lyt JU Jut^U eJUJI JU («x^i U<x^^ ^\j:>

J«X.j(-; ]o\^^\ »j^j\ ^^ s^jjc>' ti>U %:>jJi^ (S^\ 5\ io\M^\ iûojl J^W ^^3 M^t^ -^(^ (J^ *^^ J«^^ «X.»>tyt iiMJiJU Um<X^3 l$^â^âx AAiU^ ^(^ ^<x^ U:>) ^l^ iuoj\ ^! i^^^ A*4 ^^ ^\j:> Hj^j] J^^t f^ùJi çjy£ eJî^ Uaî^ ^j:> ^t;^ iUiU^ i^^ ^^ eJs^^ju^ (^ cute^ vJuAi^ ^\j:> «yl^ i^^ (^^ eJS ^

JU^ 14X4* J^l^ (^ ]j^y^jjS;^ iûu^S^ iSîU cj^ tjp>:?- (JviU^ iû«4^3 ^^^■«^

l*x«^!^ iwU-^ ^J^. U^^ V*,5^ i^^ uuii jUJl JU UUr». bl J^^^ J^^l

de chose plus trois dirhems et un sixième , il aura quatre cent quatre-vingtonze parties de cent dix-neuf parties de Tunité.

Et parce que nous avons posé la quantité du quatrième égale à un tiers d un huitième de chose pins quatre dirhems et demi et plus un tiers d un huitième , il aura cinq cent soixante-neuf parties de cent dix-neuf paities de l'unité.

PROBLÈME m, 6 D'ALKARKHi.

Une certaine quantité (doit être divisée) parmi trois personnes. A la première personne revient la moitié, à la seconde un tiers , et à la troisième un sixième. Elles se partagent d'abord (le tout dune certaine manière). Ensuite celle qui devait recevoir la moitié, rend la moitié de ce qu'elle avait pris; celle qui devait recevoir le tiers, rend le tiers de ce qu'elle avait pris; et celle qui devait recevoir le sixième , rend le sixième de ce qu'elle avait pris ; elles divisent parmi elles la masse rendue en trois parties égales, après quoi chacune d'elles ajuste la partie qui lui était due. (Combien chacune avait-elle pris d'abord ?)

Posons la masse entière une chose plus une partie plus un dirhem , en sorte que le possesseur de la moitié prend chose y le possesseur du tiers partie, et le possesseur du sixième un dirhem. La masse rendue sera alors : une moitié de chose plus un tiers de partie plus un sixième d'un dirhem. Ils divisent cela parmi eux en trois parties égales. Le possesseur de la moitié recevra en conséquence un sixième de c/i05eplusun neuvième de partie plus la moitié d'un neuvième d'un dirhem. S'il ajoute cela à ce qu'il a déjà , il aura deux

iL^U ij^ !^-&- yy^-J iU-i-J^ ArfUw^ *J U>-^ (Û-^ ^^^-? ^^*^^ f^b^ ^jh

ftftMx>t i^*>^\ eJUU. c^UiJl aUU. uuâjJl J.;:^ ,yjû\ A^^ /.tv> JU ~

(âJUUl 4;^b>li03 Ca^ vJuojJt 4eb>U9 Lj^4xj\9 L%:>3 Uwu»3 1!a^ A)é jLXt Jju?.l3

tiers de chose plus un neuvième de partie plus la moitié d*un neuvième d*un dirhem. Mais il lui revient la moitié de chose plus la moitié de partie plus la moitié d un dirhem ; cela est donc égal à ce qu'il a. Supprimons les quantités égales du même genre; il reste un sixième de chose moins quatre neuvièmes dun dirhem égal à trois neuvièmes et la moitié d un neuvième de partie. Gonséquemment, une partie est égale à trois septièmes de chose moins huit septièmes d'un dirhem. C'est ce qu'a pris le second.

Donc le premier a pris chose, le second trois septièmes de chose moins huit septièmes d'un dirhem, et le troisième un dirhem. Mais nous savons que si le premier rend la moitié, le second un tiers, et le troisième un sixième de ce qu'ils ont pris, et qu'ils divisent cela ensuite parmi eux, il retourne au premier un tiers de ce qu'il a rendu, plus un tiers de ce qu'a rendu le second, ce qui est un neuvième de ce que le second a pris, et plus un tiers de ce qu'a rendu le troisième , ce qui est la moitié d'un neuvième de ce que le troisième a pris. De même, il retourne au second un tiers [de ce qu'il a rendu, ce qui est un neuvième] de ce qu'il a pris, plus un tiers de ce qu'a rendu le premier, ce qui est un sixième de ce que le premier a pris, et plus un tiers de ce qu'a rendu le troisième , ce qui est la moitié d'un neuvième de ce que le troisième a pris. Enfin, il retourne au troisième [un tiers de ce qu'il a rendu , ce qui est la moitié d'un neuvième de ce qu'il a pris , plus] un tiers de ce qu'a rendu le premier, ce qui est un sixième de ce que le premier a pris, et plus un tiers de ce qu'a rendu le second, ce qui est un neuvième de ce que le second a pris.

Donc, si vous prenez le dirhem et que vous en retranchiez un neuvième,

uuAi^ ^Lol as^ J Jou J^j:> ^UjI xioj\ Alt i"^ fj^J^ (^, iuyjUm iy^L^dt U \S^ J^j^ ^le^l iUiU' ^1 ^^ ^W iLS^<^ Jj^ «Xd^tyi ^cwJJU f^ ^

AAiU ^1 >(^ ^U^i iiS^ jUJt Ajk^] U^ ù^ J^^l AA^t U jUâi jU3l xs^xii c,..fl,XJt u vJUâj :>j ]!>\ J^^l ^t UV^ «XJ^^ Lij:> cJUJI Ae4Xit U^ ^5 ^ikm\

ET NOTES. ll\3

il reste au troisième huit neuvièmes dun dirhem. Ajoutez-y un sixième de chose et un neuvième de ce qu a pris le second , ce qui est trois pai'ties de soixante- trois parties de chose moins huit parties de soixante-trois [parties] d un dirhem. Il résulte neuf parties de quarante-deux parties de chose plus trente-deux parties de quarante-deux parties dun dirhem, ce qui est égal à un sixième de ce que tous ensemble ont pris; à savoir, dix parties de quarante-deux parties de chose moins une partie de quarante-deux parties dun dirhem. Conséquemment, si vous u restituez et opposez lun à l'autre», il reste une partie de quarante-deux parties de chose égaie à trente-trois parties de quarante-deux parties dun dirhem. Donc une chose est égale à trentetrois ; et c'est ce qu'a pris le premier.

Et ce qu'a pris le second , c'est treize , parce que cela a été posé égal à trois septièmes de chose moins huit septièmes d'un dirhem.

Enfin ce qu'a pris le troisième, c'est un dirhem. — Remarquez cela.

J Js«j p^ ^ \pysr ij^j^3 (ijv^'î C:^• ^>^ iïi oJob^ ^jJ^ Islj ^^3 ^ \fys>-

La Bibliothèque impériale possède deux manuscrits de la Pratique de la Géométrie, ouvrage composé par Fibonacci en 1220. Ce sont les manuscrits latins, ancien fonds, n° 7228, et supplément latin, n** 78. On trouve dans ce dernier manuscrit (p. 387 et suiv.) la discussion des deux problèmes indéterminés x*zta =fy et ce passage m'a semblé d'autant plus digne d'attention, que les constantes choisies par Fibonacci sont exactement celles des problèmes II, 22 et 28 du recueil d'Alkarkhî.

Fibonacci résout d'abord le problème a:' -4- 5==/ d'une manière entière-

ment conforme à la théorie et à la pratique d'Alkarkhî, en posant j égal à x-+-n, OÙ n<c\/l- Puis il explique le problème par une figure géométrique. Je fais observer à ce sujet que c'est simplement une illustration et non pas une construction géométrique du problème. Enfin , il résout le problème d une manière qui parait lui être particulière , en employant la théorie de la génération des nombres carrés par la sommation de la suite des nombres impairs. Cest que pour résoudre a^^^n=y, n étant un nombre impair, il

prend la somme i-4-3-h5-4- -+-(n — 2) = f -) , ce qui lui donne

f — ^,— j -^n= ( — - — j . Ou bien, en multipliant Téquation proposée par un carré impair m*, il résout par la même méthode a?i»-Hm*rt=^i", et a ensuite ^ =— » j' = — . Mais si Ton multiplie 1 équation proposée par un can'é pair, de sorte que mn est divisible par 2^ on prendra la somme des nombres

impairs depuis 1 jusqua — (»''-♦- »)*ce qui donne [ ^ j , et en prenant cette valeur pour x*, on aura

mrn \ nrn m n

Fibonacci donne ces derniers procédés sans démonstration. Enfin, il ramène le problème x" — 10=/ au problème précédent, en remarquant que si

X* — u =y , on a J'* -+- a = a:'.

Je fais suivre ici le passage du manuscrit latin que je viens d'analyser, ainsi que le texte et la traduction des problèmes II, 22 , 28 d*Alkarkhî. Jai donné dans des notes la leçon originale où j'ai fait des corrections au texte latin, et j'ai placé entre parenthèses les restitutions que j'ai cru devoir faire en plusieurs endroits.

Ëxpiiciunt quœstiones geometricales et incipiunt quaestiones quarum solutiones non sunl terminalae, hoc est quod non cadiint ad unum lerminum tanlum, sed ad plures.

(( Ut est ista in qua proponitur inveniri aliquis quadratus numerus , cui si « addatur 5 , proveniat inde quadratus numerus , et hoc potest fieri multipli- {( citer. Pone pro radice majoris numeri rem et aliquot dragmas, quae cum

Il faut observer qu en supposant m = i 2^, oh i représente un nombre impair, on doit choisir

p <C 2^, donc tout au plus p= 2q — i , parce que autrement — ; ( 2^* -4- i ) cesserait d*élre un

nombre entier et impair.

« in se multiplicatae fuerint , faciunt minorem numerum quam 5 ; etsît dragma , ({ et multiplicetur res et dragma in se , veniet census et a res et dragma una, wquae aeqnantur censui et 5 dragmis; abjice ab utraque parte censum et « dragmam , remanebunt 2 res aequales li dragmis , ergo res est 2 dragma- (( rum , et quadratum ejus est 4 , quaesitus numerus , cui si addatur 5 , veniet {( g , qui numerus quadratus est, et radix ejus est 3 ; et si ponamus cum re «dragmas 2, multiplicemus ea in se, exibit census et li res et Ix dragmae, « aequales censui et 5 di^agmis ; projiciamus ab utraque parte censum et A , «remanebunt k res aequales uni dragmae, quare res est -^ dragmae, quae in (( se multiplicata facit -~^ unius dragmae pro quaesito numéro , cui si addatur 5 , «venient 5^, qui numerus quadratus est, et radix ejus est 2^.

« Aliter pone pro ipso quadrato numéro quaadratum a^*, et addatur ei superficies de, quae sit « 5 , et jaceat linea ge in directo lineae hg, et erit « numerus superficialis numerus ae, et provenit ex « ab in be, et proponitur numerus ae esse quadra- « tus», quare numeri ab et he similes superficiales sunt , hoc est quod proporu tio numeri eb ad numerum ab est sicut quadratus numerus ad quadratum «numerum **. Unde possimus infinitos duos numéros invenire habentes « inter se proportionem sicut quadratus numerus ad quadratum numerum « cum quibus poterimus ad propositum devenire ; quai*e ponamus propor- « tionem numeri eb ad numerum ba , hoc est ad numerum gb , esse sicut « [9 ad] lir quare proportio eg ad gb erit sicut 5 ad 4; et est proportio su- « perficiei de ad quadratum db sicut eg recta ad rectam gb , ergo superficies « de ad quadratum db est sicut 5 ad 4 ; unde si superficies de est 5, et qua- V dratum db est 4 ; ergo quaesitus quadratus numerus est 4 , cui si addatur 5 , «venient 9, qui etiaiki quadratus est; et nota quod proportio superficiei de, uquae est 5, ad quadratum db oportet esse sicut aliquis numerus*"^ cujus «quinta pars sit quadratus, ad aiium quemlibet**** quadratum numerum. « Verbi gratia sit proportio eb ad bg sicut 8 1 , quae est quadrata , est ad 1 , erit «ergo proportio de, quae est 5, âd db sicut 80 ad 1, de quibus 80 [5 est] «sexta décima pars, unde quadratum dh est -p^ de i, cujus radix est -f, M quod habetur pro latere gb , et sic tota superficies ae erit 5 7— , cujus radix « est 2 -J-, ut superius inventum est.

La figure manque dans le manuscrit. — ** Comparer Euclide, Éléments, IX, a et VIII, a 6. — '** Le ms. porte : « aliquis quadratus numerus. » — *'** Je propose de lire « quendam. a

« AlHer, quia omnes quadrati numeri ordinate pitnremunt ex aggreg ali one « imparium nmneronun ab uoitate asceDdenthun per ordinem, si oolligamus « impares numéros qui sunt infira 5 , sive i et 3 , procreabuntur inde h , qui «numerus quadratus est, cui si addantur 5, yeoient g, qui est quadratus u numerus; et si multiplicayerimus aliquem imparem quadratum numerum, u ut dicamus g , per 5 , venient &5 , et acceperimus quadratum qui proyenit tt ex a^[r^atione omnium numerorum imparium qui sunt ab uno usque tt in 43 , hoc est qui sunt infira 45 1 qui quadratus numerus est 484 , et ejus « radix est 22 , et super ipsum quadratum addiderimus 45 , nimirum in quau dratum numerum 52g yeniemus, et quia ita est, si diyiserimus utrumque «quadratum numerum per ipsum quadratum numerum, per quem multi> i/ plicayerimus 5 , nimirum duo quadrati numeri ex ipsa diyisione proyenetf rint, quorum unus excedit aiterum in 5, ut qusesitum est, et erit unus «ipsorum quadratorum 53-^ et aiter 58-^; et si yis habere radiées eorum «diyide [per] radicem de g, yenient 7 y. Similiter si multiplicayerimus 5 a per aliquem quadratum parem [ac diyiserimus productum ex multiplicau tione] in duas, yel in quatuor, yel in plures partes impares, itaque una- « quaeque pars sit impar, et jaceant ipsae partes impares in ordine imparium « numerorum , poterimus ad solutionem suprascriptœ quaestionis deyenire. a Verbi gratia multiplicemus 5 per 1 6 , yenient 80 , et diyidamus 80 in duos 'îc[im] pares numéros qui sint continui in ordine imparium numerorum, « eruntque 3 g et 4 1 ; deinde aggregamus onmes impares numéros ab unitate a qui simt infra 3g, quam aggregationem habebis, si multiplicayerimus in a se medietatem duorum extremorum, siye de 1 et 3 7, de qua muitiplica- (( tione exibit 36 1 , cum quibus si addiderimus 80, yenient 44 1 ; si diyiseri- «mus hos duos quadratos per 16, habebimus 22-p^ et 27-^, et radiées « eorum babebimus, si per radicem de 1 6 , quae est 4 , diyiserimus 1 g et 2 1 , K qui sunt radiées de 36 1 et de 44 1 ; et si de 80 fecerimus quatuor partes ((impares, quae sunt 17 et 1 g et 21 et 23, quae quatuor partes sunt circa «quartam de 80, quae est 20, et aggregabimus numéros impares, qui sunt ((infra 17, yeniunt 64, qui est quadratus numerus, cujus radix est 8, super ((quem si addiderimus 80, yenient i44i unde si diyiserimus i44 et 64 u per 1 6 , et radices eorum per 4 , habebimus optatum ut supra.

« Et si dicemus : de quodam quadrato numéro abstuli 10, et * remansit ((quadratus numerus, haec quaestio similis est antecedenti, quia si super

Le ms. porte : • abstuli t et. •

« minorem quadratum addantur i o , provenit inde quadratus numerus; ope- « rare ergo in eam secundum quod superius operati fuimus et inveniemus *. »

PROBLÈME II, 2 2 D'ALKARKHÎ.

:>j^ ilU JUt Jouî^UjJ^ *i ^^ ^\j:> iU4- a^ ^:>j u' J*^ ^ JU Ju^J yU ^W" u' y^^ ^l^^l* »j^>^^ Ô^-à- ^^j^ i^-^3 ^U^^^uâ^ ,i^l;ô iUy^- **^ Jj.^1^ i^^^ûJU ,^!;:> iL-*^^ JU ^:>U^ U,:>^ (j^lû^ AIU^^a.»^ \ij:>^ \!^

,^lj^ iU^J JIH3 cjv*,à

Si à une certaine quantité qui a une racine, on ajoute cinq dirbems, ia somme a une racine. Posez cette quantité carré, et ajoutez-y cinq dirhems; il résulte un carré plus cinq dirhems; prenez-en la racine au moyen de Tistikrâ, ce qui consiste à la poser égale à une chose plus un dirhem; on aura un carré plus deux choses plus un dirhem égal à un carré plus cinq dirhems. Donc la chose est égale à deux dirhems, et le carré est égal à quatre dirhems.

PROBLÈME II, 2 3 D'ALKARKHÎ.

^\ JUt S^\ijS.^ 5UM y\^ ^\j:> ijjAs, xJU ou^ uh^ ii JU Juy^ yU J^\j:> ij^^b^ ^1 JU (^, ^\j:> '»jjS*s> aju jaib!^ ^U aKju^U c»:>;! j^j^-ss ^^ ^\j:> ij^jù^ ^! JU ^^Ijm (jv.iUi ^1 1$,^^ ^U jmij %:> ^t Cui ») J^ J^Ju^l \juii^ ^]j^ iL^ Jj^ ^(^1^ CjvA^ Jj^ji-3 U,:>>i^ •î^J^ 4Xjv>uâ^

Si dune certaine quantité qui a une racine, on retranche dix dirhems, le reste a une racine. Posez pour cette quantité une chose quelconque dont on peut extraire la racine, disons carré; retranchez-en dix dirhems; il reste un carré moins dix dirhems. Posez la racine de cette expression égale à chose moins un dirhem. Il résulte un carré plus un dirhem moins deux choses égal à un carré moins dix dirhems. Donc, après avoir exécuté lopération du djabr, on aura onze dirhems égaux à deux choses , et la chose égale à cinq dirhems et demi; conséquemment le carré égal à trente et un quart, et c'est ce qu on avait cherché.

Il vaudrait peutrétre mieux lire « invenimus. •

Jai dit, au commencement de cette addition (voir aussi ci-dessus, p. 3o), que i^emploi de la théorie de la génération- des nombres carrés par la sommation de la suite des nombres impairs pour la résolution de certains problèmes indéterminés du second degré , semble être une découverte de Fibonacci. En effet, jusqu'à présent je nai encore rencontré cet emploi nulle part chez les Arabes. Au contraire, je fais observer que cette génération des nombres carrés elle-même était parfaitement connue aux Arabes. C'est ce qui résulte du passage suivant que j'extrais du manuscrit arabe , ancien fonds , n° 1 io5 (page 16}, manuscrit de l'ouvrage encyclopédique intitulé: Traités des [khwân Alçafâ :

« Il est encore du caractère de la suite des nombres impairs , que s'ils sont additionnés suivant leur ordre naturel, les sommes sont alternativement paires et impaires, et que toutes ces sommes sont des carrés se succédant l'un à l'autre. »

C'est sans doute dans l'arithmétique de Nicomaque que les Arabes avaient puisé la connaissance de cette propriété des nombres impairs.

«-> O rBw