SEPTIÈME CHAPITRE
Ce chapitre traite de la résolution de l'équation
et plus spécialement des difierents cas que peut présenter l'équation
Quant au premier membre, on peut toujours le ramener à la forme (ma:-hn)", notamment en le multipliant par 4ûm et en ajoutant au produit ^* — 4a,ci, de sorte que si l'on peut satisfaire ensuite à l'équation
on aura ar = ^ — - .
Il s'agit donc de discuter les différentes formes que peut présenter le second membre de l'équation proposée, après la transformation du premier membre dans un carré complet.
cÇ= — = — , iix== — ^ ; commun diviseur, 11 suit que -i^— - — ou
ce. ç
et, c5 et rtx étant des nombres entiers, — soit un nombre entier; c. q. f. d.
leur somme ^ "^T" • sera également un * C*e»t ce qu'on obtient en posant
nombre entier; mais a et £ n*ayant pas de y^=cx-\-m.
On pose ay -hh = z\
équation discutée dans le troisième chapitre.
On résout a/ -h fc = z\
et l'on a ^
zf—n
(3) ay-hhj-hc.
On pose ay-hhj-hc = z\
ce qu'on peut toujours transformer dans
on résout a'^» -h fc' == t\ et 1 on a a; = , y ==
On pose ay-{'h = m^\
m^ étant choisi arbitrairement,
et 1 on a « = -î , 7 =
ma
(5) ayH-6«*-Hc.
On suppose, dans ce cas et dans les cas suivants, qu^il s'agit de satisfaire en même temps à une seconde équation F[y,z) = o. On choisira « avec sagacité, » un nombre iWi ou n^ tel qu'en posant ^ = m,f ou
J' = ^-hn,, on obtienne (aiih*-hfc)2*-hc==<*, ou (o-+-6)«'-H îoii|ZH-(c-han|»)
= t'*. On aura a:=:— ^. Puis on résout F(m,z,«) = o ou F(z-t-nj,«)==o,
On satisfera à la première ou à l$i est donc ramené à TéquationaXi'-^-^^^i^
seconde équation , si Ton peut faire respec- ce sera même la seule équation à résoudre ,
tivement a m,* -♦- fc ou anj* h- c égal à un lorsque c = o. carré; dans Tun et dans Tautre cas, on
38 NOTICE SUR LE FAKHRl.
Conformément à la dernière règle du m' chapitre , on pose
-m nii •
on aura x=r^ n]:m;
puis on résoudra P (LUzzaiL ,z)==o.
r \ 2ami y
(7) ay-{'bjrz-\-cz\
On pourra transformer cette expression dans
(m,y -H mzy-^piy -h 9, z\ et Ton posera, diaprés la règle qu'on vient de citer,
^ly -\-n,z^ r r, 1 : 2.
La règle indienne ne va pas plus loin. L'exemple qui se rapporte à ce cas est de la forme
tt'r* -♦- fc/2 -H c 2*,
ce qui peut être transformé dans
de sorte qu'eu prenant z en place de la valeur arbitraire r^ , on obtient
donc y= ^^'"~^"'"~ ' .2.
ce qu'on peut substituer ensuite dans F(^,2) = o.
On donne kt^v^w . . . des valeurs arbitraires, et sera ainsi ramené à un des cas de af-\-f[z).
Il esl bien entendu qu'on pourra qui contribuera, selon les circonstances, prendre ici pour m, une fonclion de 2: , ce k simplifier considérablement le problème.
(9) Si Ton a (inx-hn)*=ay-^i=^z\ a,j'H-i=««.
posons z = o» -f- 1 »
on aura ^ = ai;*H-ii>,
donc a, a»* -I- 20i t> -♦- 1 = (%
ou (a^av-h(l^Y = aalt* — aui-t-aj';
ainsi, le problème est ramené à la forme a/-Hfc = z'; on trouve les valeurs de f et de ajav-^at, donc aussi de v, et Ton a
av — n -♦- 1
y = oi»-4-2Wf a? = •
On trouve encore dans ce chapitre une ou deux autres règles que je ne reproduis pas, parce que, en vérité, elles ne se rapportent qu'aux particularités de problèmes spéciaux. Mais je fais observer que dans la discussion d'un des exemples, on trouve exposé le procédé particulier à Diophante pour la résolution de l'égalité double.
Le chapitre se termine par la résolution, en nombres entiers, des équations
x* — a = hy et ^ — a = hy.
(1) x" — o=fcj'.
Condition : a = tt|* ou aztmh=^ a,*.
Prenons un nombre quelconque n tel que y et ^y^ soient des nombres entiers, puis posons x = n* h- a,.
Condition : a-^a,^ ou a± mh = a*.
Prenons un nombre quelconque n tel que j et — p soient des nombres entiers, puis posons x^m-^a^.
Si l'on avait à résoudre
ex* — a = by OU ex* — a = by,
cela revient, comme on voit, à résoudre
X* — ac =-by OU oi^ — « c' = hy.
