HUITIEME CHAPITRE
Equation proposée x.y .z.t,.. ==j\x,y,z, t. . .)
1 "^ méthode. On donne ky^z^t, . , des valeurs arbitraires et résout 1 équation en x seul qui en résulte.
2^® méthode. On ramène (s'il est possible) le problème à Féquation
jry = ax -{- by -i- c^
et Ion pose x = b±:m, y = a±: ;
, , afc -4- c
OU x = b ± , y = a dt m.
La démonstration de Fauteur indien consiste à faire voir que
xy — ax — b(y — a) = a6-4-c,
de sorte que [x — b)(y — a) = m. " "^^ ;
en prenant pour m une valeur arbitraire positive ou négative.
ni. OUVRAGE DE BRAHMEGUPTA.
THÉORÈMES CONTENUS DANS LA SEPTIÈME SECTION DU DIX-HUITIÈME CHAPITRE ET QUI NE SE TROUVENT PAS DANS LES TRAITES DE BHASCARA.
( I ) Quand on a r ^' -+- a =/, en posant ' — ; — x = x^, • y^-jx^
on aura cx,^-^ i =y^'
Quand on a c.t» — a =y\
en posant '-^ '-xy = x,.
on aura car,* -h i =71».
On vérifie ces deux règles par un calcul facile.
(2) Problème. aa?-Hi=/» hx-hi=z\
S(a-hb)
On pos(
(a - by
et 1 on obtient /= r , z = .
(3) Problème . x-hy^=z\ x —y == »", xj-^\^== w*. Brahmegupta pose
(g» -H 6») -H (g' >- 6') . .^fc.N,
(-'-*')-(-;z:Sn.K-n=..
r (a'-Hfe*) — (g' — fr'n
on obtient ^"^'(ï)' ""^^î* "'^^'(ï) — '*
(4) Problème. x db g = v*, «±6 = 2*.
'fl-6 ^ « ± m
En posant x^\ I qpa
g — fc - g — fc
± m rp I»
on a y = , z =
(5) Problème. aF-Hg=/, x — fc = 2*.
En posant a?= l — îî! 1 -h6,
on obtient y
Voici maintenant tout ce qu il y a de commun entre les méthodes indiennes dont je viens de donner l'aperçu , et celles d'Âlkarkbi.
C'est d'abord la résolution indienne des équations ca:'-Hi = y' et
c^x^-ha=Y* par les formules a? = -p— et a?== ^^'" , qui est conforme
aux principes qu Alkarkhî trouvait employés dans un nombre abondant de problèmes de Diophante. Personne ne conclura donc, en se fondant sur cette conformité, qu Alkarkhî ait nécessairement connu les méthodes indiennes, ou que ce soit d'une source indienne que Talgébriste arabe ait dérivé sa théorie de la résolution de l'équation aa:'H-6a:-Hc = r% lorsquc tt OU C sout dcs carrés positifs.
Ensuite, c'est la résolution des problèmes II, 29, 3o, 3i et IV, 29, 3 1 d*Alkarkhî, qui dépend d'une formule essentiellement identique avec celle donnée par Brahmegupta dans les deux derniers problèmes rapportés ci-dessus. Mais Alkarkhî rend compte, d'une manière détaillée, de la marche suivie dans ces résolutions, et celte marche est celle qui devait se présenter tout naturellement à l'esprit d'un géomètre, initié comme Alkarkhî, à l'analyse indéterminée de Diophante.
Ces deux points auxquels se borne toute l'analogie entre les méthodes d'AIkarkhî et celles des Indiens, me paraissent entièrement insuffisants comme preuve d'une connaissance de l'algèbre indienne de la part d'AIkarkhî, lorsque celui-ci ne reproduit ni les plus belles méthodes indiennes, ni particulièrement tout ce qui se rapporte à la résolution des équations indéterminées en nombres entiers.
J'arrive donc à la conclusion, qu'à la fin du x® siècle de notre ère, l'analyse indéterminée des Indiens était inconnue aux Arabes, et qu'après avoir reçu probablement la résolution des équations déterminées du second degré de savants indiens qui visitèrent la cour des premiers Abassides, les Arabes cultivèrent l'algèbre en l'enrichissant tant d'éléments puisés directement dans des ouvrages grecs, que de découvertes originales, mais portant essentiellement le cachet de l'influence des mathématiciens grecs dont l'étude les avait inspirées.
Il me reste maintenant à dire un mot d'une objection qui se présente naturellement à l'esprit du lecteur.
M. Chasles a montré , par des rapprochements ingénieux*, que la résolution que Fibonacci donne de Téquation indéterminée a;* -h/ = a» h- 6% est essentiellement contenue dans un théorème géométrique de Bralimegupta; et je fais observer que la résolution du problème x-ha=y\ x — b = z* qui, d'après Cossali**, faisait partie du traité des nombres carrés, est la même que celle qu'on trouve ci-dessus parmi les problèmes extraits du xvni* chapitre de l'ouvrage de Brahmegupta.
Or, Fibonacci ne pouvait connaître les méthodes indiennes que par l'intermédiaire des géomètres arabes. Si donc les solutions dont je viens de parler sont dérivées nécessairement des théories de Brahmegupta, on est obligé d'accorder aux Arabes une connaissance des méthodes indiennes que je ne puis trouver dans Âlkarkhi.
Il serait facile de donner une solution plausible à cette difficulté. Il y a entre Alkarkhi et Fibonacci un intervalle de deux siècles, pendant lesquels les mathématiciens arabes ont pu faire de nouveau connaissance avec l'algèbre indienne, et d'autant plus facilement, que la conquête de l'Inde par Mahmoud le Ghaznavide avait ouvert ce pays à leurs recherches"*. Mais il serait inutile de vouloir résoudre la difficidté par une hypothèse, puisque l'étude des mathématiciens arabes du xi® et du xn* siècle nous fournira, sans doute, le moyen de résoudre ce problème par des données tout à fait historiques et certaines.
Voir Aperçu hbloriqne du développement des méthodes en géométrie, p. 44i •
Origine delT algebra , 1. 1 , p. 1 2 4 > n" 2 . Les problèmes n* 3 et n° 4 ne sont que des cas particuliers du problème générai qui les précède. Dans Ghaligai, Pratica d'Arithmetica, fol, 61 r*, n° Sg, on trouve seulement la solution particulière
au lieu de
D*ailleurs, cette résolution n*est pas essentiellement différente de celle qu*Alkarkbi donne des problèmes II, ^Q-Si, IV, 29, 3i de son recueil, dont il a été question ci -dessus. On peut donc aussi supposer que Fibonacci marcbait ici sur les traces d*Alkarkbî, dont il connaissait évidemment le trailé.
Voir les savantes recherches de M. Reinaud : Relations des voyages faits par les Arabes et les Persans dans l'Inde et à la Chine, t. I, p. xlviii et xlix, et Mémoire sur VInJe, p. 24-3 1, 3o8 et suiv. et 32 1.
