R^ ' et enfin
20 MASSE IJOMOGÈNE FLUIDE
G a donc un minimum. Je dis que ce minimum ne peut être atteint que pour la sphère.
Le minimum est atteint pour la sphère. — Supposons qu'un corps conducteur ait la forme pour laquelle ce minimum est atteint : on a
-!— désignant la dérivée suivant la normale èi la surface équipotentielle passant par le point (.r, >/, z).
Déformons le conducteur de façon que l'élément de surface
(h devienne dn' (fig. 4)- Appelons -^^,<ia' "C, la projection sur la normale à la
surface du déplacement ch compté avec son siffne.
L'augmentation du volume est
al(
Fi;?- 1-
L'augmentation de l'intégrale est
^-fm^M^Mm
Ceci suppose que le potentiel reste constant: mais, par hypothèse, la figure est en équilibre. Donc il y a un minimum pour
'niEOniE DE LIAPOISOFF .21
^ — ; la variation de riiiléoriale duc à la varialion du potentiel
est donc nulle, puisque cette intégrale est minimum. Or, si on appelle ;j. la densité superficielle, on a
On a donc
Or, il faut que dC = o : donc
et comme on doit avoir en même temps / 'C,d7=o^ quel que
soit !^, il faut que Ton ait a = C'''.
On a d'ailleurs jNI = ;j.S en appelant S la surface du conducteur : on a donc
Supposons maintenant que le conducteur se déforme en restant semblable à lui-même : la capacité est proportionnelle à la racine cubique du volume, et on a
dC i (/T .
d'où on conclut
S-2=i2-TC.
Tous les corps dont la capacité est minimum sont donc tels
22 MASSE HOMOGENE FLUIDE
que cette relation existe entre leur capacité, leur volume et leur surface.
Mais alors, pour tous les corps de même volume, la capacité est minimum si la surface est minimum ; or, parmi tous les corps de même volume, la sphère est celui qui a la surface minimum. C'est donc celui dont la capacité électrostatique est minimum.
Nous arrivons maintenant au théorème que nous nous étions jDroposé de démontrer.
La sphère est la seule ïlgiire d'équilibre. — Je dis que W est maximum quand le corps de volume T a la forme d'une sphère.
Soit T le volume correspondant, donnons-lui un accroissement (fig. 4)
Comme on a
Y dp (h.
Le corps étant supposé de densité égale à i, dp est égal à — i, o ou I ; dp n'est différent de zéro que dans le voisinage de la surlace, qui est une surface équipotentielle, le corps étant supposé en équilibre ; c'est-à-dire que V est constant.
cfW-=V„ / dpd-
/..( SPJihftE EST LA SELLE FIGURE U'KQLILinRE 23
et rintéîxi"''*-^ Pst éi^ale à dT . On a donc
On peut (''l;il)lii' uno anlic r<»]alion ontie tlW rt dT . Supposons que le e(>r[)s varie en restant semblable iilui-nirnie :
l'éneioie varie en restant j)i'opoitionnelle ;i la puissance -, du
volume. On a donc
d\\ ^ dl
Eliminant d\\ et <^/T entre ces deux dernières relations, on trouve
D'après la définition de W, on voit ([ue Ton peut appeler
le potentiel moyen. Il est égal à
Av.
Or W est aussi donné par lintégrale
étendne à l'espace entier.
La partie étendue l\ l'espace intérieur est, d'après la formule de Green 1,4) :
24 MASSE HOMOGENE FLUIDE
Sur la surface, V est conslant. L'intégrale a donc pour valeur
ce qne l'on transforme immédiatement, puisque — AY ==-. 4~p = i-, en
T. a partie de l'intégrale étendue au volume intérieur est donc à la partie étendue au volume extérieur, dans le rapport constant -p-, en supposant évidemment le corps en équilibre.
Mais l'énergie de ce corps est en raison inverse de sa capacité électrostatique.
Nous voyons donc bien C|ue la sphère est le volume pour lequel W est maximum.
