MASSE E.\ ROTATION

Limite de la vitesse de rotation. — Supposons niainlenaul (iiic (.0 varie d'imo l'aouii coiiliiuic. La figure se dcfornie d'une manière continue, et ou a

la figure étant supposée en équilibre, W -| J est maximum

ou minimum, en tous cas

Il reste

Doue

dl\ — r-^>o.

U^, croit quand (o augmente.

Y étant le potentiel newtonien, on a sur la surface

Si donc la surface rencontre l'axe de rotation, V:^ est le potentiel newtonien au pôle. Si oj croit, ce potentiel croît également. Uj, ne peut d'ailleurs dépasser 2-R- (page i6), R étant le rayon de la sphère ayant même volume que la masse fluide.

En divisant membre à membre, ou a

Si on fait croître w indéfiniment, or finira par dépasser -. W sera inférieur à orJ ;

28 MASSE HOMOGENE FLUIDE

et par suite

3 co - U„

Si oj croît indéfiniment, U^ devra croître indéfiniment ; mais U„ ne peut dépasser a-R^ ; il est donc nécessaire, ou bien que co cesse de croître, ou bien que la surface d'équilibre ne rencontre plus l'axe ; on a alors une figure annulaire.

Nous verrons que parmi les figures d'équilibre, il y a des ellipsoïdes de révolution ou des ellipsoïdes à trois axes inégaux. Pour les premiers, tu est inférieur à 4~ X 0,112. Pour les seconds, to < 4~ X 0,09,3.

Il est aussi possible qu'il existe une succession de figures d'équilibre, pour lesquelles w passerait par une infinité de maximums ou de minimums. Ici, le raisonnement ne s'appliquerait plus et 10 pourrait augmenter indéfiniment.

Permanence de l'axe de rotation. — Jusqu'ici nous ne nous sommes préoccupés que d'un mouvement de rotation uniforme.

On pourrait se demander s'il peut y avoir des figures d'équilibre relatif pour une masse fluide animée d'un mouvement de rotation non uniforme.

Nous allons prouver que c'est impossible.

Nous pouvons d'abord supposer le centre de gravité du corps immobile; puisqu'il n'y a aucune force extérieure, son mouvement est un mouvement rectiligne et uniforme.

L'équilibre ne sera pas troublé si on ajoute une nouvelle liaison au corps, si on le solidifie. Alors le mouvement du solide autour de son centre de gravité est un mouvement h la Poinsot.

D'après le principe de Dalembert, le travail virtuel de la force totale, pour tout déplacement compatible avec les liaisons, est donc nul. Dans le cas qui nous occupe, il n'y a qu'une liaison, c'est l'incompressibilité du fluide, s'il s'agit d'un liquide. Si l'on a affaire à un gaz en équilibre, l'équilibre subsiste a fortiori en supposant le corps incompressible.

Si o.r, oy, 0- représentent les déplacements virtuels d'un point

PEIUIANEXCE DE L'AXE DE ROTATIOS ag

.r, //, -, lu condiliou dincompressibilik' s'exprime par la relation

d.v ■ ' di/ •' ' dz ^

Il peut y avoir Irois sortes de déplacements virtuels :

i" Les déplacements de toute la masse, considérés comme les déplacements d'un corps solide. L'application du principe de Dalembert montrerait que le corps doit avoir un mouvement à la Poinsot autour du centre de gravité, comme on l'a déjà vu.

2" Il y a les déformations du corps.

3" On peut supposer que la masse soit animée d'un mouvement tel c[ue les molécules se déplaceraient sur des surfaces à densité constantes.

Les surfaces d'égale densité étant aussi des surfaces équipo- Icntielles, on aurait

u,^■ Oij dz

Les surfaces d'égale densité restant les mêmes, il en est de même de la forme extérieure. Tout se réduit donc à des déplacements internes dont nious allons étudier le travail virtuel.

Soit un point JNI de masse m, de coordonnées .r, y, z, animé d'une vitesse .r', y', z\ l'accélération du mouvement étant r", ?/", -•". La force d'inertie a pour composantes /n.r", nii/", inz" .

Appelons cop to^, 0)3 les composantes de la rotation instantanée suivant les axes liés aux corps O.r, Oij, Oz.

D'après les formules connues, on a

— co,

L'accélération a pour composantes

.r" = (co,^' - co,c') + [,0'^y - co'.c), z" = {uy/ — (o,//') + (o/, r — 0/,//).