MASSE I/O MO GENE FLUIDE
L'équilibre relatif ayant lieu, il y a équilibre entre le travail de l'attraction et la force d'inertie ni.v", mij" , mz" .
Cette force se compose de deux parties : l'une est ce que l'on trouverait si l'on supposait le mouvement uniforme; l'autre est due à l'accélération du mouvement de rotation.
A un instant /, l'axe de rotation est OP (oj^, to^, 103) ; à l'instant t-\~dl l'axe instantané de rotation est OP' (fig. 5). Le vec-
pp/
Fi&- 5.
teur OQ éqnipollent au segment
dl
tend^ lorsque dt tend vers zéro, vers une position limite, et ses projections sur les trois axes sont
Si on prend cet axe OR lui-même comme axe Oz
La force d'inertie due à l'accélération angulaire se réduit à
Appliquons maintenant le principe de Dalembert aux déplacements virtuels que nous considérons.
Le travail de l'attraction est nul, puisque la forme du corps n'a
pas changé. Le travail de la force centrifuge est éo-al h -— oJ, en
posant to- = (jjj -f- to:, -j- wj.
Ce travail est nul puisque J ne varie pas. Le travail de la troisième partie est
ni[//o.v
xoi/).
Puisqu'il y a équilibre, il doit être nul. Or, on peut toujours choisir un déplacement virtuel tel que
2^m{7JO.V — A'?Jlj)
ne soit pas nul; il suffît de supposer un courant autour de Oc. La somme aurait pour mesure l'aire du plan des a-0)j, limitée par la projection du courant sur ce plan.
STAniUTK DI-: L'i'Qlir.inRE 3i
Il l;uiL tloiic ({lie 0)3 soit nul, c'esl-ii-dirc que Ton ait un niouvenient de rotation unitorine. (.. (^. 1'. 1).
Il faut de plus (|ue Taxe de rotation soit un des axes piincipaux d'inertie; cela résulte de l'étude du niouvenicnt d"uu corps solide.
Stabilité de l'équilibre. — Jusqu'ici on ne s'est pas préoccupé des conditions de stabilité de l'équilibre.
Lejeune-Dirichlet a démontré que la condilion nécessaire et
suffisante de la stabilité de l'équilibre est (jue W + .1 soit
niaxiniuin.
.Mais il l'aut l'aire la distinction entre la slabllilé temporaire et la stabilité séculaire. Lord Kelvin qui le premier a lait celte distinction, appelle stabilité séculaire celle (jui a lieu même en tenant compte du l'rottement; tandis que la stabilité temporaire, <|ui subsiste quand on ne tient pas compte du Iroltement, ne subsiste plus si on en tient compte. Lord Kelvin a démontré que :
La condition nécessaire et suHisante de la stabilité séculaire de ré(juilibre relatif est la condition- de Diriclilet.
Evidemment celte condition est toujours sullisante ; mais supposons que W +- J ne soit pas maximum, il pourra, d'après
le théorème de L. Kelvin, y avoir équilibre stable, à condition qu'il n'y ait pas de frottement. Mais s'il y a un frottement, si petit qu'il soit, l'équilibre ne sera plus stable.
On ne peut appliquer immédiatement le théorème de L. Kelvin, car il suppose que tout mouvement détermine un frottement, ce qui n'est pas le cas pour cette masse fluide : en effet, si la masse isolée dans l'espace se déplace d'un bloc, k la façon d'un corps solide, il n'y aura pas de frottement.
Solide équivalent. — Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de définir ce que nous appellerons le corps solide équivalent à la masse fluide. C'est un solide où, à l'instant considéré, les molécules ont la même position que dans le système fluide.
La vitesse de son centre de gravite est la même que pour le fluide.
32 MASSE HOMOGENE FLUIDE
Les axes principaux d'inertie ayant évidemment la même position, les trois moments de rotation autour de ces axes sont les mêmes que pour la masse fluide.
Son mouvement est donc bien défini à l'instant considéré ; mais il faut remarquer que le solide équivalent à l'instant t, n'est pas le solide équivalent à l'instant //.
Théorème. — La force çU>e du fluide est èquwalenle à la force vù'e du solide èquiçaleiit^ augmentée de la force vii'e du fluide dans le mouvement relatif par rapport à des axes hwariahlement liés au solide équi^> aient.
En effet, appelons ^, tj, ^, les composantes selon ces trois axes de la vitesse absolue de la molécule m ; i', t)', (^' les composantes de la vitesse de la molécule correspondante du solide équivalent ; ç'', rf , ^" les composantes de la vitesse relative de cette molécule par rapport au solide équivalent. On a
Les trois forces vives considérées ont pour expression :
et il faut démontrer que
On a
T = ^ ■f-[(i' + l"Y + (V + -rrf -h {K' + K'f]
COyDITIOX DE STAIilUTÉ DE LEJELSE-DIRICIILET 3J
Je vais démontrer que
/ "^; ; -]- r, fi + s s ; — o.
Cette expression représente le travail cFiin système de force S', tel que la force agissant sur la molécule di ait pour composantes /;?;", /»■/■/', /«^", mais ce système est la difTcrence de deux autres S et S', dont les forces sont /«;, mr^, niZ^ et /;;;', /«r/, m^' ; ces deux systèmes de forces sont écjuivalents. La résultante générale est la même et les moments résultants des deux systèmes sont les mêmes par rapport aux trois axes, par la définition même du solide équivalent.
On a en eiret
^nr,=y^ml'
puisque la vitesse du centre de gravité du solide équivalent est la même que celle de la masse fluide.
De même on a
puisque les moments de rotation sont les mêmes autour des trois axes de coordonnées. Donc S = S' et S" est nul; son travail l'est
aussi.
Par suite
ym(;'r + VV' + ;T)=o.
Condition de stabilité de Lejeune-Dirichlet. — Revenons maintenant a notre masse fluide.
On a Tégalité
D'où
Cette égalité suppose qu'il n'v a pas de frottement : autrement X' -j- T" — W ira constamment en diminuant.
PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre. 3
34 MASSE HOMOGÈSE FLUIDE
Si on pose
— ^ est nul s'il n'y a pas de frottement. dt
Mais alors c'est qu'il n'y a pas de mouvement relatif, et par suite T" = o.
Si T">o, ^<o.
Dans ce mouvement de rotation le théorème des aires s'applique, et on peut considérer comme des données les trois moments de rotation.
Je vais démontrer que la condition nécessaire et suffisante de stabilité est que T' — W soit minimum.
Pour une position d'équilibre relatif, on aura
Si l'on part de cette position d'équilibre, et que l'on fasse varier très peu les éléments des mouvements des molécules, mais de façon que les moments de rotation ne soient pas altérés (c'est une restriction sur laquelle nous reviendrons), la masse fluide ne s'écartera pas beaucoup de la position d'équilibre.
En effet, soient T' et W, les valeurs de la force vive et de l'énergie, on a
On a a fortiori
T -|- T" — "\V = 2 est d'ailleurs voisin de T^ — Wo-
Cette quantité ne peut jamais croître, donc elle restera toujours voisine de T^ — W,,.
Les valeurs des variables ne différeront que très peu de leurs valeurs pour T^ et W^, donc il y a équilibre stable : la condition est suffisante.
DÉTERMiyATIOS DE L'AXE DE ROT ATI OS 35
Elle est aussi nécessaire. En efTet, si T„ — W^ n'est pas minimum, je puis choisir T' et \V de manière ([ue
et même que
T" claut suffisamment petit.
Mais alors T' -j- T" — W ne peut que décroître ; T" lui, tendra vers zéro; T' et ^V ne pourront alors reprendre leurs valeurs primitives.
Il V a une restriction à lever. Supposons que Ton écarte le corps de sa position d'équilibre sans conserver la valeur des moments de rotation autour des axes principaux ; on sait alors que le solide équivalent aurait un mouvement où les moments de rotation auraient des valeurs peu différentes de celles qu'ils avaient précédemment et l'on est ramené au premier cas.
L'axe de rotation est le petit axe de l'ellipsoïde d'inertie. — Je vais démontrer maintenant que l'équilibre n'est stable que si l'axe de rotation est le plus petit axe de l'ellipsoïde d inertie relatil a la masse fluide.
Soient (fig. 6) O.iijz un trièdre fixe de coordonnées ; OA,OB, OC, les axes principaux d'inertie; to la vitesse instantanée de rotation dont les composantes sont tOj^, tUj, 0)3 suivant les trois axes fixes,/?, </,/• suivant les axes OA, OB, OC ; on a F'&- ^
(o- = toj + to] + M2 = p- -hq''-\- '•' •
Soit OR l'axe instantané de rotation, J le moment d'inertie par rapport h cet axe.
36 MASSE HOMOGENE FLUIDE
On a
T'=— (A«- + Br/^+C/-^) = — J.
Soient ULj, p-jiF'-s' ^^^ moments de rotation par rapport aux trois axes de coordonnées. Le segment OM, dont les projections sont (H"-!' [-'■25 \^z)y ^^^ ^^® dans l'espace (théorème des aires), et l'on a
Les projections de OM sur les axes OABC sont A/;, B<^, Cr, et l'on a encore
La condition de stabilité, comme nous l'avons dit, est que T' — W soit minimum. Or, si on change l'orientation sans changer la forme du corps, W ne variera pas. Donc il faudra que T' soit minimum. OM est fixe dans l'espace.
Si on pose
On a
