CHAPITRE III
FONCTIONS SPÎIÉRIQUES
Expression de av dans un système triple orthogonal. —- Soient
trois laniilles de surfaces, constituant un système triple orthogonal.
Considérons le petit parallélépipède rectangle dont les faces sont les 6 surfaces.
■fi ='^.0 +^'^i»
Les arêtes de ce parallélépipède ont pour longueurs rtï/ç, hd-r^, ccIZ.
La diagonale est
Supposons une fonction V (;, r, , v) et cherchons à déterminer la valeur de T'intégrale
/iVi.
4o FONCTIONS SPllÉRiqUES
étendue au volume du parallélépipède; elle est égale à
étendue à sa surface.
Le volume étant infiniment petit, la première intégrale a pour expression
LN.a.h.c.dl.dr^.d'C,.
La seconde est la somme de trois intégrales étendues chacune aux deux faces opposées du volume.
Pour la face i = ç^, on a
^^ I 1 ir
Pour la face opposée ç = H^ -|- <:/^, on a hc ÔV . ô / hc ÔV
[^'w^-ki~'ky¥""^
et par suite pour l'ensemble des deux faces, on a 0 f hc ()V\
0; \ a i)ç On a donc
LNahc.dl dr^ dX,
jr j ;.. r ^ l'c ^V c^ ca OV 0 ah DV 1
= dz dr, dC I — v- • — = 1- ■ 1- • I
et finalement on a
bc OV
AV
I "S^ ô / ùc ô\ a Oc / i 0; \ a 0; ,
Application aux coordonnées polaires. — Dans ce système on a
,r = r sin 0 cos es,
y =^ r sin 0 sin 'j, c = /• cos 8.
POLVyOMES SPlIÉRiqiES 4i
et, en posant cos 0 = 'j., on a
.r = /• ^ I — 'j.- cos 'j,
y = /• ^ I — |jL- sm '^,
L'élément linéaire clans ce système de coordonnées a pour expression
h- = dx- + (hf + dz- = ^^z-- + /•-f/O- + /•- sin-Of/'^-
= di- -\- /•■ ! 7-+ '■'(.! — !i.')ac5'.
Au lieu de ;, r, , ^, nous avons /•, 'x, -i et dans ce système
On calcule alors facilement
I cVV
Folynomes sphéiùques. Fonctions sphèriques. — On appelle polynôme splièrique un polynôme homogène en a*, ?/, .c satisfaisant à Téquation de Laplace, A P = o.
b il est de degré ii en x, u. z il contient — coelii-
cients arbitraires. Mais il y a un certain nombre de relations
entre ces coeificients puisque l'on a AP„ ^ o. Cette relation est
[n — i) de deçrré n — 2. Il va donc n relations entre les coef-
ficients.
42 FONCTIONS SPHÉRiqUES
Il y a donc
(«+0(n+2) Ji[n—i)
polynômes sphériques, indépendants du degré ii.
On peut exprimer x, //, z en coordonnées polaires : on aura alors
Y„ étant uniquement une fonction de o et de y., que nous appelons fonction sphérique d'ordre n.
On a évidemment la relation
Considérons maintenant Tégalité (2) démontrée page 4
-|H.)./.= / (UâV-VAU)rfx.
Supposons que la surface S soit une sphère de rayon i, que U et V soient deux polynômes sphériques d'ordre ;« et n, le second membre sera nul, et on aura
Donc, en tenant compte de l'égalité (i), on a
[m — n) I P,„ Prt d(j = G.
Si j)i est différent de n, on a
Pm^nd7= o,
POLYNOMES SPIIÉRIQUES 43
rintégrale étant étendue à une sphère de rayon i ; et on peut
encore écrire ceci
Si m = n, ce résultat n'est plus vrai.
Fonctions sphériques fondamentales. — On a vu que Ton a
x = r \/ 1 — a" cos '^ = /• y I — ;j." y r= ;• y/i — u.- sin -j = /■ y i — o."
Si on remplace .r et // par ces valeurs dans P„, on aura
X^ étant une fonction de [x seulement ; ce sera un polynôme en u. et en y/ i — 'j,-. Les polynômes oùp est pair, ne contiendront y/ I — [j.- qu'à des puissances paires. Les polynômes où p est impair, ne contiendront \/ i — [j.- qu'à des puissances impaires.
Les premiers seront donc des polynômes en y., les seconds seront des polynômes en ^ multipliés par y i — [i.^.
Substituons la valeur de P dans l'équation A P„ = o.
On obtient
En annulant le coefficient de /"-- e'>r, on obtient l'équation à laquelle doit satisfaire Xf;. C'est
