FONCTIONS SPHÉRIQUES

L'intéffrale générale de cette équation est une fonction transcendante, mais il y a une intégrale particulière qui est de l'une des deux formes exigées par la définition de Xf„ et qui est déterminée à un facteur constant près.

On voit que Xf^ et X~'' satisfont à la même équation. On a donc

x^; = AX-",

A étant une constante quelconque. On a ainsi la forme des 27? -f- I fonctions spliériques cherchées.

X" XV''= X- p^î X"e'"'ï

On peut écrire autrement iji -\- i fonctions indépendantes en

posant

X° , X,\C0SCp, XfjCOS 2Cp ,..., X;^cos/i'^,

X,\ sin cp, X;, sin 2cp , . . . , X" sin /?cp.

Deux fonctions spliériques diffèrent donc soit par «, soit par/;, soit que Ji el p soient égaux, mais que l'une contienne le sinus, l'autre le cosinus de jrs).

On a déjèi démontré que

est nul si m ^ n ; nous allons achever la démonstration et démontrer que l'intégrale

est nulle si Y et Y' sont deux fonctions différentes.

Il suffit de le démontrer dans le cas de deux fonctions de même ordre.

On a alors

■^H ^H "l-*- / cos po cos fj'^ d'o

ou bien

DÉTERMISATIOy DES POLVyOMES \\\

X;; X;{ <^;ji \ sin pz s'm rj-^d-^, »+i

Dans les trois cas, la seconde intégrale est nulle.

est difFcrent de zéro.

Détermination des polynômes Xj;. — Proposons-nous maintenant de déterminer X^;, et pour cela, commençons par le cas où /) = o.

L'équation est alors

C'est l'équation qui définit les polynômes de Legendre, et on a

X° (Cos 0) est donc une fonction sphérique où 0 représente l'angle d'une direction avec Taxe Oz.

Par raison de symétrie, X°(Cos£), où s représente l'angle de la direction considérée avec une autre direction cjuelconque, mais fixe, sera aussi une fonction sphérique ; mais on a

cos î =: cos 0 cos 0'-}- sln 0 sin h' cos {'i — -^'j et cela, quels que soient H et H'.

/j6 ro.\crioys spiieiuques

Donc

X", I cos 0 cos 0' + sin 0 sin G' cos (-^ — cp') I

sera encore une fonction spliérique.

Si on pose

sin 0' e~'^' = 2ç,

sin Q' e'^' = 2r, ,

cVoù on conclut, en ajoutant membre à memljre après avoir multiplié ces deux équations respectivement par e'? et e~ '?,

sin 0' cos (cp — '/) = ;e'> +r,e-'>

et en multipliant membre à membre,

sin- fj' = 4cr, ;

d'où

cos'-f)' ^ I — 4i'''i j

la fonction

est donc encore une fonction spliérique quels que scient ç et r,. En particulier, si on fait

„[p. + V/i— re'> J

est une fonction spliérique.

Si je développe suivant la formule de Taylor, j'ai un polynôme :