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PROPRIÉTÉS DES FO.\CTIO.\S SPIIERIQUES

Chacun des termes de lu somme est une fonction sphériquc.

On a donc défini les fonctions \',[ h un facteur près.

(fj."+P

Propriétés des fonctions sphériques. — Soit U une fonction de /•. et P„ un polvnome sphérique :

Proposons-nous de calculer A ^U P„\ On a

mais

OU rfU 0/- f/U .r

AP„ = t) ; -^ — = —7 — . -r — = —j — . — O.f dr v.v dr r

dr-

o dV -j

A (UP„) = P, ^ 2 dV I 0P„ , OP, 0P„ \

et, parce que P" est une fonction homogène,

//•- ' /• di

Proposons-nous maintenant de calculer

A(UY„^=A[-l-xPn]

on d\}

puisque P„ = '"" Y,i.

A(UY„)=p„r4-4^+^^

A(L-Y„) = yJ |1L + a 4L ^V!±0£ L di- /• fi/' /•■

48 FOXCTIOyS s PUÉ RI QUE s

Couche sphéroïdale. — Nous allons appliquer ce qui précède à l'étude d'une masse fluide sphéroïdale, c'est-à-dire d'une masse lluide dont la figure d'équilibre est peu différente d'une sphère, ou, d'une manière plus précise, dont la surface est comprise entre deux surfaces sphériqucs de rayons voisins. Une couche sphéroïdale sera une couche comprise entre deux surfaces sphéroïdales.

Action d'une couche sphéroïdale. — Soit (fig. y) f/o- l'élément de surface d'une couche de rayon i, s l'épaisseur de la couche

sphéroïdale, d-: l'élément de volume de la couche sphéroïdale ; on a

d'=td7.

On peut supposer que la masse contenue dans d-z est sur l'élément d7, et est représentée par u.d'j

Soit un point M dont les coordonnées cartésiennes sont .r, y^ z, les coordonnées sphériqucs

/•, a^cosO, C2.

Fig. 7-

Soit un point M' dont les éléments analogues sont x', y' , z' ; = I, p.' = cos()', 'i'.

La distance MM' est égale à i + /" — 2r cos (OINI, OM'). Cos Y = cos (OM, OM') = cos fJ cos H' + sin 9 sin 0' cos (cp — f) .

Développement en série de la couche sphéroïdale, est

MM'

Le potentiel en M, dû ii

s'dy'

c' est une fonction de u. et de z> ; /• est plus petit que i. Or

MM'^ =1 — 2/- cos Y +/•-=( I — /-e'ï ) ( I — ;-e-'v) , 1 / \ I

MM'

I — re~

DEVELOrPEMEST E.\ SERIE DU POTEMIEL

On a

C'est une série absolument convergente pour /• < i . De même

I — re-"-\ ■^= i-\ /r-'v4-...-| -^ L ,-"e-'":-i-..

Le produit de ces deux séries est une série encore convergente, si /• < I ; le coellicient du terme en /•" est

Le coeflicient du terme en e''- égale celui du terme en e''''-.

On a donc un polynôme ii coefficients réels du cosinus de l'angle v et de ses multiples jusqu'à n ; comme les coefficients de ce polynôme sont tous positifs^ ce polynôme atteindra sa valeur maximum pour Y = o. Mais alors :

MM

Donc les coefficients du développement sont inférieurs ou éo-aux à l'unité.

On peut donc écrire

Ta,,.",

MM

A„ étant une fonction de ;j., de -s, de <x' et de -f'-

Développement en série du potentiel d'une couche sphéroïdale. — Le potentiel V sera alors égal à

PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre.

5o roACTioys spiiériques

Les termes de \ sont moindres que /•" I t' d'y.

L'erreur commise quand on prend pour V la somme des n pre-

miers termes, est moindre que / z' àrr.

La série sera donc convergente si /•<!.

^ peut être développe suivant les puissances croissantes des variables x^ y, ',

MM'

et, si on revient aux coordonnées polaires, on aura un développement suivant les puissances de /•".

Si j'appelle V„ l'ensemble des termes de degré ?i dans Y, j'aurai

Or V satisfait h l'équation de Laplace : on a donc

Cela exige que chacun des polynômes V„ soit un polynôme sphérique; et, si on remplace dans V„, x, y, c, en fonction de r,y^x et cp, on aura un résultat de la forme /" Y,j où Y,j est une fonction sphérique. On a donc

Cette formule est valable si /• est plus petit que i. Supposons maintenant /• supérieur à i, et considérons le point Mj image du point M, tel que OM^ X OM = i (fig. 8);

DÉVELOPPEME.XT E.\ SE RIE DE POTESTIEL 5i

j'ai OM = /', OMj = — . Si M est un point de lu sphère, on a les égalités

MM' __0M^__0M^\^0>1><()M' . /ÔM'

liîW~15ÂF-T)M7-^OM'xOM, "~V ôm;-'-

Or le potentiel en M^ est On a donc

Or le potentiel enMj, point

situe a une distance — du /•

centre, est

Le potentiel en M est donc

Supposons maintenant que !M et M, se rapprochent de la surface de la sphère en restant inverses l'un de Tautre. Les valeurs du potentiel M et ]Mj sont voisines, mais les dérivées ont des valeurs différentes de part et d'autre de la surtace et on a

l-ig. 8.

5;j roycTiOAS spjjériqles

On a donc lorsque /• tend vers i

lim

Dans les mêmes conditions, puisque -y;- est fini, on a

h m lim

?nfin

lim V (i — /■-):=o.

Si on ajoute ces quatre égalités, on voit que l'on a

Posons

^^ Or

Si 7- est inférieur h i, 4> peut se représenter par une série de la forme

cf.= y (2^4- I )/•'%,;

^ est donc une fonction satisfaisant à l'équation de Laplacc, puisque c'est une somme de polynômes sphériques.

Si /• tend vers i, ^ tend vers 4"^-- Si on démontre que ce développement est encore valable pour / = i, on arrive au théorème de Laplace :

Théorème. — Une fonction quelconque de deux variables est développable en une somme de fonctions sphériques.

Potentiel en un point de la couche sphèroïdale. — Soit ; la fonction donnée sur une sphère de rayon i.

POTEXTIEL Ey UN POIXT DE LA COUCHE SPIlÉnOIDALE 5J

Elle définit a rintcricur de la spluM'c un potentiel V, picnaiiL sur la sphère la valeur 4~î-

Ce potentiel est développable en une série entière

converoente si /• est inférieur à i : et, si on resiirde /• connue une variable complexe, cette série définit une fonction <!> convergente à l'intérieur du cercle de rayon i, et qui sera obtenue en faisant dans y, /• = pe'î.

Dans V, faisons r ^ e''; on a une fonction <I>' (b-finie sur le cercle de ravon i, sauf peut-être en un certain nombre de points singuliers. Si la série (i) converge pour p :=r i , elle représentera <I>' d'après le théorème d'Abel.

Je dis qu'il en est ainsi dans le cas où <!>' est développable en série de Fourier.

Nous avons alors

Je dis que l'on a

En effet, d'après le théorème de Gauchy, la suite des valeurs <!>' définit à l'intérieur du cercle de rayon i une fonction qui n'est autre que la fonction V (pe'r).

Cette fonction est développable suivant la série (i), et on a d'autre part

les deux intégrales étant prises le long du cercle de rayon i. Mais la première intégrale se réduit à A'„, la seconde à B'„. On a donc

Donc, si <!>' est développable en série de Fourier, la série sera encore convergente pour /-^e? et en particulier pour /• = i .

54 FONCTIONS sniÉRiquES

Tout revient donc à démontrer que $' est développable en série de Fourier, c'est-à-dire que <!>' est une fonction de cp admettant une dérivée, sauf en quelques points singuliers, et qu'en ces

points singuliers l'intégrale / | *î^' ! dz

■0 a un sens.

Nous allons maintenant démontrer que s est développable en une somme de fonctions sphériques. Le potentiel en un point M de coordonnées (/•, 0, cp) est

MM'

t' étant la densité de la couche sphérique, au point (OVf)- On a

Comme cela a été démontré, nous avons