Ô/- / MM
Supposons que OM soit une direction fixe que nous allons prendre comme axe Oc :
Ô = o, [J. = 1, MM' =1 — IV cos y -1- /■- = I — 2|j.'7- + r^ .
L'élément de surface est di' =:.d^^x'd's\ et ou a pour valeur en M de la fonction 4>
POTENTIEL EX f.V POiyT DE LA COUCHE SPIIÉROIDALE 55
car s' seul dépend de -s' . Si on pose
<ï) = fi — /•-)
F • 'jS d'x'
i (i — ir[x' -\-r-)
Supposons que lu sphère soit partagée en un nombre fini de polygones sphériques dont les côtés soient des arcs de courbes analytiques, et que dans chacun de ces polygones t' soit une fonction continue de <j' et de cp'.
Dans ces conditions, F([jl') sera une fonction analytique de ;a.', excepté pour les valeurs de 'x! correspondantes aux sommets des polygones, ou aux parallèles .de la sphère tangents aux côtés des
polygones. La fonction ' sera alors intégrable entre — i et
Si on pose ;- = e'^, on aura
MM' = i?\~ (r + — ) — ;/]= a/icos •} — ;/l et si on pose ensuite
cos 'l — <x' ^ Z",
on aura
Nous démontrerons plus loin que <î> est une fonction de 6 admettant une dérivée, et est par suite développable en une série de Fourier.
Enfin, si nous développons suivant les puissances de r, nous aurons une série convergente pour|/-|<i. Elle sera sûrement convergente même si [ /• | = i , dans le cas où t ne comprend qu'un nombre fini de termes.
56 FONCTIONS SPIIERIQUES
Voyons quelques exemples qui nous serviront par la suite-
Si on fuit £';^= , on aura
Vi^.x']= I -l-=i.
SI on lait £ := , on aura
On pourra prendre pour fonctions sphériques correspondantes Yo = -^ouYo = — .
ix' .
De même, si e' = ' ,on a en appliquant la formule de la page Sa
Dans le cas qui nous occupe
et
Théorème de Laplace. — On a toujours le droit d'écrire
« et ^ étant des constantes quelconques ; ^ sera alors de la forme
2^4- 2be''^ -\- «l'j et si on pose
, ■ V I — /•" — i sin 'il . i,
on aura
F. fuWa'
^,=-ni^) j ^lATl^-
Tlir.OIiEMF. DE LA PLACE 5^
Ceci posé, pour étahlii- que '!> est tl('vel()ppal)lc en série de Fourier, il laul déinoiUrcr : i" que — jj- existe et est Imi saul eu un nombre limité de points singuliers de la fonclion «I» ; u" que
I <I> I <^/'I> est fini en ces points singuliers. Il y a une difliculté,
car Z s'annule si a' :^ cos 6. Il faut donc que F (ijl') s'annule pour u.'=:cos6 et alors on doit étudier vers quelle limite tend la fonction lorsque [jl tend vers cos J/.
rfij/
existe. En effet on a
Or, je puis disposer de a et b, de façon que l'on ait
F, (cos 'D = o, Fj (cos 'l) ^= G.
Si donc cos -i — ijl' est un infiniment petit du premier ordre, F(|Jl'), qui est analytique au voisinage de cos ô, sera un infiniment petit du second ordre, et, sous le signe d'intégration, les
dénominateurs sont respectivement d'ordre — et — • : le numé-
rateur est d'ordre 2. I/intégrale est donc finie, sauf si cos '|/ est une valeur singulière de F(;jl'). Il faut qu'en ces points singuliers, où 'j = '1^, l'intégrale
soit finie.
Supposons
a = F (cos 'i^g) b=o.
58 FONCT!Oi\S SPHÉRiqUES
On a alors
|a>|^.}<2 / lF(cos^)l4+ / -r^d'l I 1F(!^0 n^<^'^)\^^^
Le second membre doit rester fini. La première intégrale est finie. Il faut démontrer qu'il en est de même de la seconde.
C'est une intégrale double qui, aux points singuliers, doit être un infiniment petit d'ordre inférieur à 2, et aux lignes singulières d'ordre inférieur à i .
Or, nous avons ici une ligne singulière, la ligne [j.' = cos t]>,
mais pour u.' = cos '\)q le dénominateur est d'ordre — , le numérateur est d'ordre 1, sauf aux points singuliers de F(;J-')- Donc l'élément de l'intégrale devient infini de l'ordre — , l'intégrale
a un sens.
Aux points singuliers F([j.') i^ F(cos '|), la fonction est d'ordre
— , l'intégrale a encore un sens.
La fonction *P remplit donc les conditions nécessaires pour être développablc en série de Fourier.
La formule de Laplace est valable pour ^= i, et l'on a
Le théorème de Laplace est ainsi démontré.
Préliminaires. — Supposons le mouvement de rotation Je lu masse suffisamment lent : la surface dilTèrera peu de celle d'une sphère, le carré de la vitesse de rotation oj- sera considéré comme un infiniment petit du premier ordre.
On a déjà vu que si le mouvement de rotation est nul, les surfaces équipotentielles sont également des surfaces d'égale densité. Le potentiel ¥„ en un point est uniquement fonction de /• et l'équation de Laplace se réduit à
La masse contenue entre deux sphères infiniment voisines de rayon ;• et /• -\- dr est
et la masse totale contenue à l'intérieur de la sphère de rayon /• est
^-r-odr.
Si on appelle D la densité moyenne de cette sphère
6o MASSE FLUIDE HETEROGENE. PROBLEME DE CLAIRÂUT
D est une fonction de /• dont la dérivée D' est négative dans l'hypothèse d'un équilibre stable.
En différentiant cette dernière équation, on a
En supprimant le facteur ^Tj--dr., on a
En prenant encore une fois la dérivée, on obtient la relation
(3) 3p' = 4D'+rD"
qui nous sera utile par la suite.
Faisons encore la remarque suivante. (3a a évidemment :
La première inégalité est vérifiée puisque D' est négatif* la seconde l'est, car p est positif. On a donc
— D Un a - ■ =0 SI la masse est homogène.
Un a — pp = — 0 si toute la masse est concentrée au centre.
Le potentiel de la sphère de rayon /• en un point de sa surface est
La force qui s'exerce sur une molécule de la surface est
Puisque p et Vg sont uniquement fonction de /•, on peut les supposer fonctions l'un de l'autre, et, en vertu de la relation (i),
DKVELOPPEME.yr DU POTRyTlKL E.\ SEIllE 6i
AVy est fonction de \^, et on peut ('crire AV^ =/i^Vy) ; en dillérenliant
^/•,V„) ^ r/(AY,.) dr -^T.^'
dr 6
En tenant compte delà relation (3 j , on a
Développement du potentiel en séi-ie. — Supposons maintenant un mouvement de rotation lent. La surface se déformera, mais peu. Le potentiel en un point d'une sphère sera développable en une somme de fonctions sphériques, et l'on aura
Y représentant une fonction spliériquc et H étant un coefTicient qui est une fonction de /• de l'ordre de i<r , puisque Y diffère peu de Y^.
L'équation de Laplace peut s'écrire
(G) AY=AY„ + Va11Yj = -4t:o.
On a d'ailleurs, d'après une formule démontrée plus haut
(PU 2 m
A flIYl = Y
f dm o. dn n{n-\-i) -1
\ dr' "^ /• dr /- J
en supposant que n soit l'ordre de la fonction sphérique Y. Si on pose
la condition créc[uilibre est, comme on l'a démontré plus haut, (|ue les surfaces U = constante coïncident avec les surfaces d'éorale densité.
On a donc
AY = — 4~? = fonction de U.
w- étant très petit, V diffère peu de V^ ;
AV diffère peu de AVg.
La relation entre AV et V diffère peu de la relation entre AV„ et Yg, et on peut par suite écrire
AV=AU) + cp(U),
'S étant une fonction dont la valeur est constamment de l'ordre de i.o''.
Si l'on développe le second membre suivant la formule de Taylor, on a
+ ?(Vo) + (U-VJ'/(V„)+...
En vertu des hypothèses faites, on peut négliger les termes infiniment petits du deuxième ordre et écrire
AV =f(y,) + (u - Y„) f (v„) + '. (v„)
