THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE POTENTIEL NEWTOMEN

Si ces masses sont continues, le potentiel a pour expression

o' étant la densité de l'élément de volume d'z' , r étant sa distance au point /;/, et Tintéf^ralc étant étendue à tout le volume attirant. On sait que l'intégrale a un sens.

Si la masse attirante est répandue sur une surface, avec une densité superficielle jj.', le potentiel a pour expression

Enfin, si c'est un volume infiniment mince d'épaisseur s', alors et le potentiel est

Pour un volume, en dehors des masses attirantes, Y est une (onction continue, ainsi que ses dérivées premières, dans tout l'espace, et on sait que l'on a

Ô-V eVV Ô-V

u.t *'// or

A l'intérieur, en un point de densité p, on a AV = — 4^0.

Les dérivées secondes sont discontinues en une surface de séparation de deux milieux différents.

Pour une surface, V est continue dans tout l'espace, mais ses dérivées ne le sont pas sur la surlace elle-même.

Sur la normale en un point A d'une surface S (fig. i), prenons deux longueurs

AB = ^/?,, AC = f//^.

TlIKOItEMI-: DE GAISS

Si \^ est le potenliel en A, le potentiel en B cl C est

( )n a d ailleurs

'j. étant la densité de la niasse attirante.

Si Ton désigne par /, /n, n les cosinus directeurs de la normale., supposée dirigée vers l'extérieur, par

il)-

les valeurs des dérivées partielles à l'intérieur et à l'extérieur de la surface, on a