OV \ . / OV

Théorème de Gaiiss. — Gauss a démontré que, en dehors des masses attirantes, V n'a ni maximum ni minimum, puisque l'on a -iV = o.

D'une façon générale, si AY est positif ou nul, la fonction V n'a pas de maximum; si AV est négatif ou nul, il n'y a pas de minimum. Dans le cas qui nous occupe, AY est nul ou négatif: V n'a pas de minimum et n'a pas de maximum en dehors des masses ag-issantes.

Donc, si sur une surface fermée ne renfermant pas de masses attirantes, Y est compris entre deux nombres g et //, il en résulte qu'en tout point situé à l'intérieur delà surface, on aura is<\<h.

4 THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE POTENTIEL yE]yTONIEy

Théorème de Green. — Si U et V sont deux fonctions continues à l'intérieur dun volume T limite par une surface S, on a l'égalité

U -—-chôn

UA\Wt

Dans celte égalité, on peut permuter U et Y, et en retranchant les deux égalités obtenues, on a

Cas particuliers de l'égalité (i) : faisons U = i / OV

^cr =

A\Wt.

Faisons :

Si V est une fonction satisfaisant à l'équation de Laplace, AV=o,

"^^--JmA-^ïAW

ch;

le second membre étant positif, le premier l'est aussi.

Si U et V sont des jiotentiels, sur une sphère de rayon sulfi-

THÉORÈME DR GREES 5

snmment orrand, U et V sont de Tordre de-— , leurs dérivées

premières de l'ordre de — . On peut alors appli([uer la formule (ij à l'espace extérieur à une surface S et intérieur a une sphère de rayon très grand. Si ce rayon est suffisamment grand, l'intégrale prise sur la surface de la sphère o est négligeable :

c'est-à-dire est de l'ordre de — ; mais on a la relation

car les éléments de l'intégrale se détruisent deux à deux.

Quant aux intégrales des seconds membres, leur somme donne des intégrales étendues à Tespace entier, et on a, en ajoutant les deux égalités obtenues :

les intégrales étant étendues à tout l'espace. De même, la formule (2) donnera

UAV — yAU)(/T = o

et, en se rappelant que