A(HY

contient Y en facteur ; on a donc

A(IIY)=Y(IH-C)/-'(V,)

= ^ (" + Cj j:^

Si on prend Y = i , on a

6 / iD

H est donc déterminé par une équation linéaire du second ordre.

Si on prend

H est déterminé par l'équation :

(«) MHV)=(.i;4i)v.2:±i2:.

64 MASSE FLUIDE HÉTÉROGÈNE. PIîOBLÈiME DE CLAIRAUT

Pour les autres, ou a siuiplement Tcnjualiou

(.„, .(„v) = ,n-ii^l^.

Ces dernières équations ont une intégrale évidente, II = o; nous allons démontrer que l'on ne doit pas en considérer d'autres.

Dans le cas où Y est une fonction du premier ordre, on peut trouver la valeur correspondante de II. En efTet, il y a trois fonctions indépendantes du premier ordre :

Considérons l'une d'elles, — par exemple, on a vu que l'on

avait

Si je prends les dérivées des deux membres par rapport à Xy j'ai:

iH' \ ÙV.,

A(-^)=nv.:

dr ' dx) ' ^ '' dr ' dx' d\, x\ d\, X ,D" + 4D'

dr r iD

On voit que si Y est égal à — , l'équation

A (IIY) = IIY

îst satislaile pour 11 = « — -— . 11 en est de même si i =; -^

ou Y

LES SURFACES DE MVEAU SO.\T DES ELLIPSOÏDES Cy)

On a alors pour les l<'nnes du premier oidre

a, i, c étant des constantes quelconques. — Nous verrons prochainement qu'on peut les supposer nulles, a condition de j)rendre le centre de gravité de la masse comme origine des coordonnées.

Les surfaces de niveau sont des ellipsoïdes. — (Considérons une surface de niveau primitivement spliéii(|ue, l(jrs(|ue la rotation est nulle.

Pendant la rotation (Hg. 9}, le point ^I est venu en M' sur la nouvelle surface de niveau. Le déplacement normal est

:; = i\IM'cos(/-, MM').

Avant la déformation, on avait en M

Après la déformation, la densité en !M est encore p. La dcnité en M est ^i= — -j—-, en appelant V le potentiel en M, et

on a la relation

On a de plus