D<;Y = (iI + -Î^\y

A..=DY=-|,[.l.Y+^.,.n-].

On a d'ailleurs aussi

I uisque Y est une fonction sphérique du second ordre. On a aussi

-9 ^iiY ^ '/-D" + 4D') crY, 47:

L'équation devient donc

Acr-DY = (;-D"+4D')e/-Y.

LIMITES DE r, G ,

On a démontré que si P est un polvnoine sphériquc cForclre n.

A(up)=pru"+2(/i+i)-^i.

Si nous posons pour « = 2

U=eD, P = /-Y,

On aura l'équation

d'{eT>) , 6 d.e\) ,,„ 4D'e

//- ' /• dr

en développant les caleuls on trouve,

C'est une équation linéaire du second ordre que Ton peu! ramener ii une équation du premier par le changement de variables.

re'

, re" re'- e'

L'équation devient

C'est l'équation de Clair a ut.

Limites de r^. — Nous avons vu ^p. 60^ que l'on avait

Dans l'équation (12), substituons ces valeurs extrêmes de /D .

70 MASSE FLUIDE HETEROGENE. PBODLEME DE CLÀIRAUT

et considérons les deux paraboles (fig. lo), où l'on a porlé en abscisses y, et en ordonnées rr.'

et

Fig-. 10.

Le point dont les coordonnées sont rt^' ai r, ne peut se trouver qu'entre les deuxparaboles (dans la région hachurée sur la figure. )

Je vais maintenant démontrer que r, est compris entre t) et 3.

r\ ne peut être négatif. En elî'et, s'il est négatif pour une râleur /-p, on pourra trouver deux nombres positifs a et [j tels que l'on ait

— 'P<-fi< — ^-, a et [ii pourront même satisfaire à l'inégalité o < a < 2 < 5 <fj.

Je dis que r, ne peut dépasser — a.

LIMITES DE r, 71

Eu cllct. si Y, atteignait le valeur — a pour une valeur /• inlV-

neure a /•„, — ; — serait ne-ialit, /• -— — serait negatil. dr ^ dr

I,e point dont les eoorclonhées sont /v/ et y, = a ne se trouverait pas alors dans la région hachurée.

De même y, ne peut dépasser — 3. En elTet, si pour une valeur

di. . ... /v/y,

de /■ inférieure à r„ on avait /• < /•„, -yr serait positil, — — serait

positif aussi et le point représentatif serait dans une région du plan où le point (/y/, y,) ne peut se trouver.

Donc si pour une valeur de /•„, y, esl négatif, il est, pour toute valeur de /-inférieur il /■„, compris entre deux nom])res — act — [i, on a donc

re' < — a ;

Va\ intégrant de /-^ à /■ </"o, on a

Or e croîtrait plus crue lorsque /• tend vers zéro, ce qui

est imj)ossible pour ;■ suKisamment petit, car e serait très grand. Donc y, ne peut être négatif.

Je dis maintenant que Y, est inférieur à 3. Le raisonnement est le même.

En elTet, supposons que pour r=^ /'^ on ait y, = y.^ > 3, je dis ({ue pour /■ inlérieur à r^, on aurait encore y, > 3.

En efFet, l'inégalité ne cesserait que si y, devenait inférieur à 3, ou si Y, devenait négatif en passant par l'infini. (]ette dernière hypothèse est \\ écarter d'après ce que l'on a vu plus haut. Il reste donc à montrer que y, ne peut devenir égal ii 3. En effet, pour Y, = 3, y;' serait positif, /-y/ serait positif, ce qui est absurde,

72 MASSE FLUIDE IIETEIiOGE.\E . PROBLEME DE CLAIRAUT

le point (/•■//, V,) ne serait pas compris entre les deux courbes. On a donc toujours

On a d'ailleurs

/•// -\- y,"- — r, — 6 < o pour r, > 3. A fortiori on a

et en multipliant par dr qui est négatif si /• décroît de r^ à zéro, on a

dr . dr^

c'est-a-dire

Le second membre est une quantité Unie ; le premier est une somme de deux termes, dont le premier seulement devient infini lorsque /■ tend vers o, l'inégalité est donc impossible.

On a donc bien

o<rj <i,

Les limites peuvent-elles être atteintes? hi on a - • = o, 1 équation se réduit a

et admet la solution

LIMITES DE -r,

bi — j-p ^ — .), 1 iMjualion se reiliul a

([111 ;ulinct la Sdlution /, =: 3.

Le premier cas correspond à un point intérieur de la masse supposée homogène; le second correspond aux points extérieurs il la niasse, et en particulier au cas où toute la masse est concentrée au centre.

Je dis que dans ces cas particuliers, les seules intégrales admissibles sont les solutions r, = o et r, = 3.

En ellet :

Supposons — — — = o. L équation se reiluit a

dr (h

iloiit la solution est

Pour /• =^ o, on aurait

donc y, = — .j ; or pour /' quelconque, r, est toujours positif : donc la constante d'intégration ne peut être que — oo , et l'intégrale se réduit à r, = o. Il en est donc de même pour y, ^= 3. dans le cas de la masse concentrée au centre. A l'extérieur de la masse, on a l'équation

dont l'intégrale générale est

y. 4-2 La constante d'intégration ne peut être que o et on a y, ^ 3.

Ce sont les seuls cas où y> puisse attcindic ses limites. Eu effel, supposons cVabord que pour une valeur r^, on ait y, = o, pour /• différent de zéro, 7> est supérieur à zéro, donc y/ (r^) = o, et en portant ces valeurs dans l'équation de Glairaut, il vient

D' = o, mais comme

on a D= 0. La densité en ce point est donc éaale à la densite moyenne, et- comme par hypothèse la densité ne peut diminuer vers le centre, on a un novau homooène.

Supposons de même que pour /• ^ /-^ on ait y, = 3, de même que précédemment il faudra que y/ ;= o ; donc

p =. o en ce point, et pour /• y-r^on a encore 0 = 0; p ne peut augmenter puisqu'il y a équilibre, et par suite y, = 3 pour /• > j\^.

Il reste à voir ce qui se passe pour /• < i\^. Je dis que Ton a encore y, =3. S'il en était autrement, yj serait plus petit que 3, /■' (y, — 3) serait une quantité qui diminuerait avec /•, sa dérivée serait positive. On aurait donc

~ /yZ+o^y. — 3)>o.

Or, l'équation de Glairaut peut s'écrire

;.,/! 5(r.-3) + (Y.-3)^+[-^ + 6J |"i+YiJ=o.

Les deux derniers termes étant essentiellement positifs, il en résulte que l'on devra avoir

ce qui est contraire îi ce que l'on a établi plus haut. Pour /• < /y, on a donc encore y, =^ 3, et par suite