FORME DES COURBES ISTEGRALES

DoiK- 0 ^= o pour /• < r^.

La masse de la planète est donc cnlièrement concentrée an centre.

Forme des courbes intégrales. — Etudions niainlcnant la lornie des courbes représentées par lécpuilion

rr, -\--fr -f ^'^+— [3~ .' +■'". = o-

Traçons les axes de coordonnées Oy, et ()/".

II suKlt évidi'ninient d'étudier les courbes comprises dans les n'-oions où Ton a

Traçons la droite D d'équation y, = 3.

l*ar un point du plan passe en général une courbe et une seule, ;i moins que r/ ne soit pas une lonction liolomorplie. Oi', on a

•^.-+or.+ — ly- fi+r.)

7/ n'est pas liolomorplie si /• = o ; la droite /■ = o est une courbe intégrale de ré([uation ; il y a sur cette droite deux points remar- (juables y, ;=: g et y, =r — 5, pour lesquels y,' est indéterminé

il condition (pie — j — tende en elTet vers zéro avec /•. Or, on a

Le second membre est essentiellement négatit', la densité d une couche étant inférieure ii la densité moyenne de la niasse intérieure à cette couche, puisque par hypothèse il y a équilibre.

Lorsque /• tend vers zéro, s tend vers une limite p„ et Ton a

?<iJ<?..

mais I leiicl vers zéro avec /■, donc -r—

Po , ^^

zéro et par suite — p— tend vers zéro avec /•,

I tend aussi vers

Aux deux points

les deux courbes intéorales ne sont pas définies d'une lacon uni([ue.

Faisons maintenant r suffisamment grand, alors

L'équation devient

Elle s'intègre immédiatement, et son intégrale générale est

Les courbes représentatives sont toutes asymptotes à la droite Y, = 3, mais elles ne sont pas nécessairement asymptotes à la droite

/•= o, car on a - =^ — 3 pour

/• = o : le raisonnement ne s'applique plus.

Considérons le rectangle OABC (fig. Il) formé par les droites Y, = o, /• = o, Y, = 3, /• = /;„ /;, étant une valeur quelconque. Par un point P, pris sur le côté OA, passe une courbe intégrale et une seule. Pour cette valeur

yig. ••.

la portion de la courbe qui pénètre dans le rectangle est donc