FORME DES COURBES IXTEGRALES

dirigée vers le côté AB, quel que soit le point P. Une courbe intégrale ne peut donc sortir du rectangle par le côté OA, car si elle ressortait en un point P', elle aurait une forme analogue ii la courbe P.MP ^fig. 12), ce qui est inipos-

siblc puisftue — — ne peut être nul clans le

rectangle.

Donc cette courbe ne peut sortir du rectangle que par un point M de la droite AB. De même, si 1 on considère la courbe intégrale passant par un point Q du segment CB, la tangente en ce point a comme coetlicienl angulaire

dr ~d7,

quantité ([ui est négative puisque l'on a

La branche de courbe qui pénètre dans le rectangle est donc dirigée vers l'arc AB, le même raisonnement que précédemment montre que cette courbe ne peut sortir du rectangle que par un point X de la droite AB. Evidemment, d'ailleurs, le point M est il gauche du point N puisque deux courbes intégrales ne peuvent pas se couper.

Les points M ont donc une limite M' lorsque le point P se rapproche de C, de même les points N ont une limite X' lorsque le point Q se rapproche de C.

Le lieu des points M' sera une courbe complètement comprise entre les droites y, ^o, y, = 3. 11 en est de même pour les lieux des points X'.

Est-il possible que INI' et X' coïncident ? Supposons, ce qui sera démontré un peu plus loin que cela arrive. Alors il y aura une courbe intégrale et une seule qui passe par le point 0. Cette courbe sera évidemment la courbe intégrale convenable, puisqu'elle restera constamment comprise entre les droites y, = o,

7,S MASSE FLUIDE HÉTÉROGÈNE. PROBLEME DE CLAniAlT

y, = 3. lien résulte que la fonction 7, (/•) est parfaitonient déter-

mini'C, est donc parlaitemcut déterminé ; e est alors, en

désignant par E la base des logarithnies népériens

La constante Cy sera connue si on se sert de Tune des équations précédentes, par exemple

OT^ Q /tt w" /■

Une seule courbe est acceptable. — Démontrons maintenant qu'il y a une seule courbe intégrale acceptable. Nous allons, pour cela, démontrer qu'il y en a une et une seule qui passe par le point /■:=^o, 7, = o, et que toutes les autres passent par le point /-i^ro.

Démontrons d'abord ([u il y a an moins une courbe pnssant par le point ri =;:;:= o, et une passant par r, = — 5.

Nous avons déjà vu quel était le signe de /•// pour diverses valeurs de r, ; /•// est négatif si y, est inférieur à — 5, ou supérieur à -[- 3 et positif si r, est compris entre o et — 2.

Dans les autres intervalles, les deux signes sont possibles.

Pourri = — ^1 'W peut être nul ou négatif, mais non positif.

l^our 7, ^ — 2, rr/ ne peut être que positif ou nul.

Enfin, nous avons vu que — =- — est une fonction tendant vers o

avec /•, de façon, qu'étant donné un nombre positif y. voisin de zéro, on peut déterminer un nombre >\ tel que l'inégalité

entraîne

L'équation de Clairaut peut s'écrire

i.\i-: sF.ULi: COLRBI-: i:st ACCEi'T.ini.i-:

|i et "rtaiil des ii()ml)i'es positifs, tendant l'un vers zéro, l'autre vers 5 lorsc[ue y. tend vers zéro.

Ceci va nous donner des indications sur le signe de /r, . lorsque /• est inlérieur à /•,. On a le tableau suivant:

r, 1 — ce — 5 ■ 1 o ,3. -f~^

Il v a deux intervalles pour lequel le signe de /y, est douteu.x, mais ces intervalles sont moindres que ceux précétlemmeul déterminés.

(leci posé, je vais démontrer ([ue pour /■</•,,•/•, est nécessairement inlérieur ii [b. Supposons que pour une valeur r,<Ci\ on ait Y, =: y, ,> ,i. Je dis que si /• < /•, on aura encore /■ > ,j. I^n eU'et, l'inégalité ne pourrait cesser que si v/^ |î, mais alors dans lintervalle, y/ sera positil, ce ([ui est contraire h la règle des signes.

Or 1 équation peut s'écrire :

vY)'

par hvpothése

on a donc

.1 fortiori on a

et, si on intègre de r^ ii r<r^,

8o MASSE FLUIDE IlÉrÉROGÈSE. PROBLÈME DE CLAIRAUT

Or 7, — ,3 serait positli : on aurait a fortiori L — <l h

Le second membre est fixe, le premier peut grandir au delà de toute limite, Ihypotlièse faite est donc absurde. Par suite

7, a pour limite zéro lorsque ;• tend vers zéro. Je dis maintenant que l'équalion de Clairaut admet au moins une intégrale tendant vers - — 5.

En effet, étant donnée une valeur 7,^ comprise entre — y et — 5

considérons une courbe intégrale passant par le point {j\i'(n), je dis que si r^ < r^, 7,, < v. Autrement 7/ serait négatii'pour '/■(>—- Y, ce qui est contraire à la règle des signes. On a donc pour /■ suffisamment petit

mais V pourra être choisi aussi voisin de 5 que l'on voudra ; il en résulte que 7, tend vers — 5.

Soient 7,|j et /^^ les deux intégrales dont nous venons de démontrer l'existence. Il leur correspond des intégrales e^ et e^ de l'équation linéaire du second ordre

Ac'D + 2e'D + -^ D' H e'D = o.

L'intégrale générale de cette équation sera

A et B étant deux constantes. L'intégrale générale de l'équation de Clairault sera

re^ AreJ -j- Bre[

■''-~r= AT:+Be,

RELATION ENTRE LArLATISSEMEST, LA J>ESA.\TELR, ETC. 8t

Or. quand /• tend vers zéro, r.j tend vers — 5, y,„ tend vers zéro. 11 en résulte que y,, — y,,, pourra être inrérieiir à — 4. On aura

re' re',

c'est -h-dire que la limite de —^ est zéro quand /• tend vers

zéro. Donc quand /■ tend vers zéro, la limite de/, éstla même que celle de r.^ tant que B est diflerent de zéro. Si B = o la limite est r,g. Il en résulte qu'il va une intégrale et une seule de l'équation de Clairaut tendant vers zéro avec /• : c'est celle qui correspond il B = o.

Relation entre l'aplatissement, la pesanteur et la force centrifuge à l'équateur. — A l'extérieur de la planète, comme cela a déjii été remarqué, on ne peut parler de surftices d'érrale densité, mais on peut encore parler de surfaces de niveau.

Pour ces surfaces, on a toujours l'équation

AV=AV„ + A,IIY)=o;

mais AV„ =: — ^T.z est nul à l'extérieur de la masse fluide. On a donc

A(HY) =0 A(HY} =Y[ir +-f li -'-^^i j= o.

Faisons ;? = 2, on a

tF+llI'4-II = o.

L'intégrale générale de cette équation est

PoixcARÉ. — Fig-ures d'équilibre. C

82 MASSE FLUIDE IIÉTÉROGEyE. PROBLEME DE CLAIRAI'T

mais àrinfini II doit être nul, il faut donc que A = o. On a donc