II = Z/"D
L'équation devient
/•"Y est un polynôme sphériipie; en applicpumt la formule
on oljlient finalement
ce qui, développé, s'écrit :
Si l'on fait le même changement de variables
?yj
on a
Ck^lte ('([iialion se discute de la même manière que Téquation de Clairaut ; — — — est compris entre les limites o et — G. On est donc amené à considérer les deux équations :
rz' -f- ^'+ (2/2 — 5) £ — 6 [n — i) =0.
On construit les courbes en portant £ en abscisses et /'s' en ordonnées (fig. i3); on obtient deux paraboles, et comme précédemment on démontre que £ ne peut être compris qu'entre o et 3.
A l'extérieur de la planète on a A (HY) =0, ce qui peut s'écrire
H" 4--ir- -^^^^^4=^11 = 0.
L'intégrale générale de celte équation est
Il devant s'annuler à l'infini, on a « = o, et par suite
II=Z;/-"-i,
DÉTERMIXATIOX rRÉCISE DE L' APLATISSE»! EXT
OU
Maisî doit être compris entre o et 3 ; donc h doit ètic nul.
11 = O est donc lu seule solution possible, h lextérieur de l;i masse. Il en est donc de même à l'intérieur.
Ce résultat ne subsiste pas si « = i ou a, mais nous avons déjà examiné ces cas.
Détermination précise de F aplatissement. — Nous avons trouvé
Nous avons donc l'équation
A:IIY)=--t:c='/Y,
et, en se rappelant la formule
AfHY
^ y[ IF+ — — ''- +'^ II 1
clans laquelle ?i = 2, on arrive pour déterminer II à l'équation linéaire avec second membre :
I/intérrrale aéaérale de l'équation sans second membre étant
où a et [j sont des constantes d'intégration, on déterminera l'intégrale de l'équation avec second membre, en regardant a et [j comme des fonctions de /•. La méthode de variation des constantes donne
(i) aV^+[^y/-^ = o,
par suite
ir = 2a7- — 3;ii/-''
H" = 2aV — 3 ^'r-' + aa + 1 9. [i,-' et, portant ces valeurs dans l'équation primitive, on a
(2) 2aV — 3fiV-' = -^ -ep'r.
Les équations (i) et (2) déterminent a' et ^i'
3' = —-^- eo'i-\ ' i5 '
On a donc
ii^iîïl / ,,'^, 4!!;:!- / .,w/-
nrrFRMry.inox précise de l'aplatissemest %-
Cotte (onction comprend deux constantes arbitraires a et h. Clinniucnt faut-il les choisir ? Suit t\ le rayon de la planète ; pour r supérieur à/',, 0 = 0, c'=:o, par suite les intégrales se réduisent à di's constantes
et
Pour /-.-^cc. H doit s'annuler. Donc le coelHcienl de /• est nul; on a donc (i ='",•
De même pour i= o,!! doit être fini; donc le coefficient de /• ■ doit être nul, si /■ = o, on a donc /; = o.
H est ainsi complètement déterminé.
Portons cette valeur de II dans l'équation
ei
Il vient
(^ue devient cette expression à la surface pour /• = /-^ .^ D devient l)i la densité moyenne de la planète, et on a
{^) c = — -4— / eoW/
'^ étant comme on l'a déjà indiqué le rapport de la force centrifuge a l'équateur, a la pesanteur.
Moments d'inertie de l'ellipsoïde. — Calculons l'intégrale / \-d<7, Y étant la fonction
On a
a; = 7' y I — (ji- cos (5,
1/ = r \/ I — [j." sm C2,
di = d^xds.
On a donc à calculei"
PC qui donne
(4) /YV.= -i|^
Calculons les moments d'inertie A, B, G de la masse
On a
Or on a
AY=-47rp,
-4^B = rAV(c^ + .r^y/T,
— 4TtC=j''AY(.t- + 7/-^)^T
o:,(A + B + Cj =J^\[.^+,f+.-')d'.
