c— A)^— i\\y-\d- — f\[\ri)r^Xih
La première intégrale est nulle, car c est le produit de deux, intégrales :
jW.r'dr j\\h.
dont la seconde est nulle. L'intéçfrale
r dr I \ d'y ;
et comme on a
COMPARAISOS DE LA TULORIE ET DES OIJSER\ATIO.\S <,,
il vient
, . . . i6- / A IIY . ,
-~- -ez r dr j 1 S
nz r\li
Doue on a
C'Jr'\lr
(jnantilé positive.
On a done en se reportant à la formule .5 P'^'gf ^7
Ou aurait pu faire une hypothèse différente de celle de Clairaut, par exemple, supposer un novau solide non homogène, recouvert dune masse fluide ; la relation établie plus haut subsisterait encore.
Compa.ra.ison de la théorie et des observations. — Poson;
= J, on a
ty 0 I 2 / r'Vidr
e, est mesuré par la géodésie, on trouve — ^-r ; '-^ est ^ ^ 29.3,;) '
par la physique, on trouve ; J est mesuré par la préces-
sion des écruinoxes, on trouve o,oo32753 = t; — zr— — on a donc ^ ' aoD,3i
l'égalité
2 fr'Ddr
Revenons maintenant à Téqualion de Clairaut
/■r/D + (-v+ 5r.)D + 2/'D'(i -{--f,) = o ; on a
rf'- L J 2v/i+T, 'fv/i+7i Vi+'^<
yA+y, L 10 J D J
On peut donc écrire l'équation de Clairaut
d r ., , ^ "1 5/''D r vr rj \
dr I J y/1+7. L 10 '^- J
~ V/i+rj L' ' 10 J'
J'intègre de o a /-^ et j'ai
On peu't appliquer le théorème de la movenne, puisque 5/' D est une fonction positive; q désignant une valeur comprise entre o et 3, et correspondant à une valeur de /■ comprise entre o et i\, j'ai
COMI'AIIAISOX DE LA THÉORIE ET DES OllSEl! \ATIO.\S t,
Vovons les variations de
lorsque ; varie de o à S on trouve
K= I ,oooj5 niaxinuim
iv, =0,99954
On voit que K varie très peu et reste compris entre 1,0007."), et o, 99954. K est donc très voisin de i ; et si dans la formule ou remplace 7,, par sa valeur 0,544? on trouve
2 fr'DJr
rV» + ^.
Précédemment on a trouvé pour la même valeur
Comment peut-on expliquer cette dilTérence? On peut admettre qu'il y '<^ tles erreurs sur les quantités qui entrent dans le calcul : c'est-à-dire des erreurs sur J et e^. La première équation donnerait alors comme valeur exacte :
2 fr'Ddr
= 049140 p oe^ H —- oJ
= 0,49145 — 3o5,3i oe^ --{- 155,26 oJ.
g4 MASSE FLUIDE HÉTÉROGÈNE. PROBLÈME DE CLAIRAUT
La seconde équation donnerait :
d.KÇr'\)dr , , ,,
./ — (/., + i]de
alv I r'\ydr , „ ^
j = 0,49700 — i20,iooe^.
/■îD,
Supposons oJ = o; pour que ces formules soient comparables, il Faudrait que ot'j soit égal à — 0,000027 et la valeur de e^ serait
alors
295,85 Si on suppose que Terreur est commise sur J, on a
oJ= o,oooo34-
J'aurai alors pour valeur -r^ .
^ 002, ib
Cela est-il admissible ? Remarquons d'abord que le J ipii
. , , , . . C— A ligure dans cette lormule n est qu a2)proxiniativement —, — .
Cela revient à remplacer J par
L'erreur commise est oJ::^^j- J' : on trouve
oJ = 0,000006.
Ce n'est pas de la que provient l'erreur.
D'autre part les mesures de nutation sont assez précises. Si on désigne fiar N la constante de la nutation, on a
en désignant par [j. le rapport — de la masse lunaire, à la masse
COMPARAISOy DE LA THÉORIE ET DES OnSEIiVATIOys i/,
torrcstre ; le nombre cnlre parenthèse étant non le coellici.'nl mais le logarithme cle ce nombre.
Soit p la précession des équinoxes : c'est la somme de deux t larmes
celui dû ii lattraction de la lune
celui dû il ratlracllon du soleil
Posons
p est mieux connu que X. ou peut donc supposer 0/^ = 0; et
, oJ . ,
résolvant les deux équations où Ion regarde — comme égal
o,oooo34 x3o5,3i =o,oio3, on trouve :
Cela revient ix prendre pour X la valeur 9 17 au lieu de 9' 21
et pour 'j la valeur -^ au lieu de-^. Ces chiffres paraissent ^ ' 81,0 02
dilticiles à admettre.
On peut alors supposer que Terreur provient de la somme des erreurs commises sur chacun des termes.
Une autre explication serait que Thypothèse de Clairaut n'est approchée qu'aux termes du second ordre près. M. Callandreau, qui a fait le calcul, a montré que considérer les termes du second ordre reviendrait à creuser l'ellipsoïde de 9 mètres seulement. C'est négligeable.
On pourrait alors se demander jusqu'à quel point l'hypothèse de Clairaut serait exacte : par exemple, on peut supposer la terre complètement solide sauf la mer. Au moment de la solidification, les couches obéissaient a la loi de Clairaut, mais depuis ce moment, la vitesse de rotation aura pu varier (par exemple, les marées diminuent cette vitesse de rotation) ; et de plus l'aplatissement des ellipsoïdes internes aura pu se modifier par suite des tassements qui ont produit les continents et les montagnes.
Enfin on pourrait supposer qu'une portion intérieure de la terre est restée fluide ; les deux parties fluide et solide, agiraient alors séparément dans le phénomène de la précession : mais l'hvpothèse de la fluidité intérieure de la terre n'est guère vraisemblable.
Jusqu'à présent nous avons considéré les planètes comme fluides et nous avons montré quelle devait être la distribution des densités à l'intérieur.
Supposons maintenant que l'on ait une masse solide, de forme quelconque, où la distribution des densités est quelconque, mais entièrement recouverte d'une masse fluide de laible épaisseur, soumise à la pesanteur et à la force centrifuge due à la rotation.
La surface extérieure sera une surface de niveau, sur laquelle on aura
mais à l'intérieur les surfaces équipotentielles ne sont pas nécessairement les surfaces d'égale densité.
CIIAPlTlll- y MASSE SOLIDE RECOUVERTE D'UNE MASSE FLUIDE
Théorème de Stokes. — S(/j)/)osons que Von ail diUenuinê la forme de la surface extérieure S, la niasse M et la rotation co, on pourra déterminer en tout point extérieur la caleu/' du potentiel V.
Il y a une infinité de lois de distribution de la matière dans le novau, qui peuvent donner une même surface extérieure, mais quelle que soit cette distribution, le potentiel V, à l'extérieur, est complètement déterminé par les éléments S, M et o).
En effet la fonction V satisfait à l'extérieur de la masse ii l'équation AY^o. A l'infini Y = o; sur la surface on a
et enfin l'égalité
Le problème de la détermination de Y est complètement déterminé. En efïet, soit Y' une autre solution. Sur la surface, on a
Y — Y'=U — U' = K — K'= constante.
On a d'ailleurs A (V — Y') = o.
PoixcARÉ. — Figures d'équilibre. 7
gS MASSE SOUDE RECOUVERTE D'USE MASSE FLUIDE
Donc V — V est le potentiel d'une charge électrique répartie sur la surface, puisque c'est une fonction constante sur cette surface.
La charge a pour expression
()(V — VQ
l'intégrale étant étendue à la surface extérieure ; mais elle est nulle puisque l'on a par h3q30thèse
on
V — V';le potentiel d'une charge nulle, estdonc nul. C'est ce que l'on voulait démontrer.
L'expérience du pendule qui peut faire connaître les valeurs de i,'- à diverses altitudes ne peut donc rien nous apprendre sur la distribution des masses intérieures, que ne nous fassent connaître les éléments considérés dans le théorème de Stokes. De même, nous ne pouvons rien apprendre de plus par les perturbations produites sur le mouvement des autres astres.
Développement de
Soient
622 série de polynômes.
0 l'origine des coordonnées (fig. i4), M' un point attirant de coordonnées x\ y' , z' , de densité p', M [x, y, z) un point attiré. En prenant les coordonnées polaires on a :
