I \ MM ' MM' MM

MM7 dx'- ' ôy- ' ôc'^

On sait que l'on peut écrire

V 1-2 7rCosY+^

où P„ est un polynôme en cos v de la forme Ay cos"*' + A., cos"~-v -[-. .

loo MASSE SOLIDE RECOUVERTE D'UNE MASSE FLUIDE

si on y remplace cos y par sa valeur, on aura

Le polynôme Q sera un polynôme homogène et de degré n par rapport à chacun des systèmes de variables (.r, ?/, .z, /■), Çf' , y' , z', /•'). Il ne contiendra d'ailleurs /• et /•' qu'il des puissances paires, on pourra donc remplacer /■■ et /'" par leurs valeurs

on aura donc :

z^ et y^ + y^ + c'^

MM'

(V représente un polynôme homogène et de degré n par rapport il chacun des systèmes de variables x,y,z; x' ,y\ z', chacun des deux ensembles y entrant de la même iaçon que l'autre. On a d'ailleurs

Donc on a

et, comme /• ne dépend pas de .r', ?/', -', on a :

A'(QO=o.

iV est donc un polvnome sphéricpie d'ordre n par rapport aux variables x',y',z' et par suite par rapport aux variables (^x, y, z). Nous savons c^u'il y a 2/;-(- i polynômes sphériques d'ordre/;, de (orme

'>EPARTM£NT Q„ MATHEMATO

MNiVERsiTYQ^roRor/ra

CAS OU H EST SUFFIS. IMMEXr GRASD loi

où (j prend les valeurs

On peut donc écrire

formule où P est un polynôme fondamental en .v, y, z, Q u:i polynôme en (.r', ij\ z') ; Q' est d'ailleurs fonction de

cos Y = a|i.' -\- y/ 1 — |ji.- \ I — |j.'' cos ['S — '^')

Cy ne dépend donc que de la dlfTérence ['o — 'J/') : lien résulte (|ue le coefficient de P,„^ne peut être que

et on pourra écrire :

MM'

Zj 1-'' + '

A^,,^ est un coefficient numérique que l'on peut déterminer facilement.

Application. — Supposons que /• soit suffisamment grand par rapport au rayon de la planète. On pourra développer le poten-

tiel suivant les puissances croissantes de et on aura

Y . \ 7"! ^pq

D'après ce que l'on a démontré plus haut, la connaissance de SjlNletoj suffit pour déterminer V, donc ces éléments permettent de déterminer B^,,^; or, on a

I MM' ^ r-''-^' I ? i>'-i '

102 iMASSE SOLIDE RECOUVERTE D'UNE MASSE FLUIDE

il vient donc

P'^, ,^ est l'un des polynômes sphériques fondamentaux d'ordre p. On doit donc savoir calculer

Considérons d'abord le polynôme d'ordre o : Po,o== i ; on a

>Wt' = M.

Les polvnomes d'ordre i sont .v', i/\ z' : on connaît donc la valeur des intégrales

Ce sont, à un facteur près, les coordonnées du centre de gravité de la niasse. Supposons que la surface extérieure possède un centre de symétrie, et prenons l'origine des coordonnées en ce centre ; les intégrales sont nulles puisque ce sont les coefficients des termes en A^, ^r-, — n dans le développement du j.i j.-. j.i

potentiel et que les surfaces équipotentielles doivent admettre l'origine comme centre de symétrie. Le centre de gravité de la planète coïncide avec le centre de symétrie. Les j)olynomes de second ordre sont

Si / x' y' rJd-z est nulle, ainsi que les deux autres intégrales

RELATION ENTRE L'APLATISSEMENT, LA PESANTEUR, ETC. lo'j

analogues, les axes de eoordonnées sont les axes principaux d'inertie du système. Si / Lv'- — ij'-) zd- est connu, on connaîtra la dilTérence entre les moments principaux d'inertie.

On a trouvé une relation entre e^^i\, D^ et (o ; les deux premiers éléments sont donnés par la connaissance de S; D^ est connu puisque l'on connaît M et S ; '^ est connu puis<[ue l'on connaît to ; C — A est aussi connu. On doit en conclure que la relation déduite de l'équation de Clairaut est vraie, quand même la distribution intérieure de la matière ne serait pas conforme à l'hypothèse faite pour l'établir.

Relation entre l'aplatissement, la pesanteur et la force centrifuge à l'équateur. — Proposons-nous de calculer les premiers termes du développement de ■..,., '

On a d'après la formule du binôme

]\or

néofliffeant les termes de l'ordre de — —; nous avons

I I /•' cos -' , I r '■ ' 3

iMM' /•

MM'

/• cos 7 , I r '■ ' 3 r> o H