CHAPITRE VI

Coordonnées elliptiques. — Considérons les quadiiqucsliomofocales

Par un point de Tcspace passent trois de ces surfaces : en effet, .r, ?/, - étant donnés, on a pour déterminer )>" une équation du troisième degré dont les trois racines sont séparées par les nombres a-, h', c".

Il en résulte que l'une des racines, la plus grande, supérieure à a', correspond à un ellipsoïde; la racine moyenne, comprise entre cr et/r, définit un hvperjjoloïde à une nappe; la troisième, comprise entre h' et c' , définit un livperboloïde à deux nappes.

Soit p-, ;jL-, V" ces racines, on a donc

Réciproquement si p, |j., v sont donnés, ou a trois surfaces se coupant en huit points, placés symétriquement par rapport aux divers plans de coordonnées.

Si on ne considère que les points situés dans un trièdre trirectangle donné, les trois nombres o, •;., v définissent un point et un seul.

On peut écrire

,^-0^-rp'-^);^'-

a' "a- — ù- ' A- — c- ' Ç/r — cr j (a- — ù-) ("a" — ir)

PoiNCARÉ. — l'igures d'équilibre. 8

ii4 FONCTIONS DE LAMÉ

Si on multiplie par )." — r/", et qu'on fasse ensuite ")? = «',

on a

(rr — p-) [a —IX-) {a- — v-

{(r — ù-j {a- — C-) on obtiendra donc

i /(p' — ^^;) iy^' — a') ['>' — fi'') .

[a- - b-) et de même pour y et .',

{c^-a^){à-lr)

Le signe qu'il faut prendre devant le radical correspond au Irièdre des coordonnées que Ton considère. Soit/^(.j) un polynôme, et posons

RiNlN sera un polynôme symétrique des trois quantités p", [a", v" racines de l'équation

et par suite une fonction entière de x', ?/', c". Si on pose

R^(p^)v/^^^^^7?" ou bien

ou encore

ELEMENT LINÉAIRE E.\ COOIiDOWÉES ELLIPTIQUES ii5

et que Ton prenne pour M et X les mêmes fonctions de ;jl et de V, RMX sera un polynôme en .r-, //-, z- , multiplié par.r, par.ry ou par .ii/z.

Supposons que R soit un polynôme entier en o^ ; on peut le décomposer en fadeurs du premier degré et écrire

Alors

L A^ — a /- — ù- Aj — 6- J

RMX sera donc, dans tous les cas possibles, un produit de facteurs de la foi-me (i) multiplié par un certain nomI)re de (|uantités r, //, 3.

Élément linéaire en coordonnées elliptiques. — Les surlaces z =L''\ |j.= C'% V = C''- forment un système triple orthogonal et l'élément linéaire peut s'écrire :

df>' = yrdf-\-^'dy^-\-f(h\ étant des fonctions de z, ;j., v que nous allons déterminer;

ds' = dx- + di/- + dz\

on a

d.r pdz

\xd'j.

X ^—il^

<x' — cr

V" — cr

dij pdp

<xd'x

vdy

'jr — b'

dz zdz

'xd'X

On ;

i donc

,/.,- -h du- + dz- = z'dz-\~^ U ^—t 1 fl__]

Ii6 FONCTIONS DE LAME

et ensuite

Je vais poser

A" et C" sont positifs, B" est négatif; donc A et G sont réels, B est purement imaginaire.

Avec ces notations on a

— rt"

■ir-)

cv/?^— r '

y/v^ — p^est purement imaginaire, donc [ii est réel.

Equation de Laplace. — Voyons ce que devient Téquation de Laplace en coordonnées elliptiques. Nous avons déjà établi (p. 4o)> ^I^e si on désigne l'élément linéaire par

on a

aî^Y jLi^Ç-L a ùp J

L'équation AV = o devient donc :

ô / p^Y ÔV

roxcnoys de lame

On a

J?L = AU v/___J^L:ir__

et réqualion de Laplacc est alors :

A seul dépeiul de p. On a donc