VJ

^ BC e\o en multipliant par ABC on obtient Téqualion

Les coefficients de cette équation sont réels, car A', B', C" sont réels, et par suite leurs dérivées le sont aussi.

Fonctions de Lamé. — Parmi les solutions de réqualion de Laplace, il y a des polynômes de la forme RMN : on les appelle fonctions de Lamé.

Remarquons d'abord que nous avons les identités évidentes ;

^(a^ — v^) = o; Il en résulte que l'équation (2) est équivalente à la suivante

ii8 FONCTIONS DE LAME

Supposons que l'on aitV= RMN et que R satisfasse à l'équation

. , c^'R . clK f/R ^^ ,„ ^,,

(3 k'-j-^ + h. -j --+rip^R+KR = o;

^ ' rfp^ dp dp '

M et N satisferont à des équations analogues, et la fonction V satisfera à l'équation de Laplace. Cette condition suffisante est aussi nécessaire, c'est-à-dire que si V est de la forme RMN et satisfait à l'équation de Laplace, R satisfait à l'équation (3), et par suite M et N satisfont aux équations analogues obtenues en remplaçant p par a et v, et A par B et C.

En eflet si on fait u = v l'équation doit être encore vérifiée; R se réduit îxM en ce cas, et l'équation se réduit à

^, d'M ^ dB dM „ ,,^ ,,,, B--^-^+B , hnu.-M+IvM=o.

«[J.' du. «[JL

Existe-t-il de telles fonctions ? Considérons la fonction p (//) définie par l'équation difTérentielle

j)'a = 2 \/{pn — e,) {pn^e,} [pu — e^) ,

Posons

on en conclut

On a donc

p2 =^pu + ]l,

r=2Ap.

On a d'ailleurs

, du p'u — = 2p;

donc

et par suite

L'équiilioii

devient

Foycrio.ys de lame ng

ati

, dR dix dp dl\

A-rr- =

do do du du

d'ïi ^- ., .,, T-,

-^ + (IIp-+K R = o.

Peut-on choisir II et K de manière que R soit un polynôme en 0, ou un tel polynôme multiplié soit par \ z- — <^/-, soit par

y/p- — b-, soit par y/p- — c'-"}

Ce polynôme, si on y remplace p" par p [u), sera une fonction doublement périodique admettant les deux périodes de p[u) 2to, et 20J.,. Elle admettra une double infinité de pôles qui seront les pôles de p (?/), c'est-à-dire u = imto^ -\- i «to.,, m et n étant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Ces pôles qui sont des pôles doubles deyj(«) seront pour le polynôme des pôles d'ordre in.

De plus y/o" — ci- ^=Ypi/ — e^, est une fonction doublement périodique admettant les périodes 2t0j et 4^., et ayant comme pôles simples les pôles de /; [u); donc si on ajoute à u la valeur aWj, 20)^ ou 2(03, la fonction R garde sa valeur ou change de signe suivant qu'elle contient o ou 2 radicaux, ou bien qu'elle est le produit d'un polynôme par i ou 3 radicaux.

Donc R est une fonction paire, ou une fonction impaire, mais dans un cas comme dans l'autre on doit avoir le développement

si on porte cette valeur dans l'équation, en se rappelant que

p[u)=—r +azr+ ...,

on obtient Icquation :

Pour que cette équation soit vérifiée il faut d'aliord que le terme en ~ disparaisse, ce qui n'est possible que si Ton a

II = — n(« + i).

On a d'ailleurs si q est le degré de R, et qu'il faille lui ajouter j) radicaux, (p z= i, 2 ou 3) :

Formation des fonctions de Lamé. — Ainsi donc les polynômes de Lamé, doivent s'ils existent satisfaire aux conditions suivantes.

Regardés comme fonctions de .r, ij, z ce sont des produits de facteurs quadratiques mnltipliés par un ou plusieurs des facteurs .r, //, 3. Si on remplace ,r,//, -par leur valeur en fonction de p%;-«-', v',on obtient une fonction de la forme R^IX, où R désigne, soit un polynôme en 0", soit un tel polynôme multiplié par 1,2 ou 3 des radicaux

et ^I, N désignent les mêmes fonctions ou p est remplacé par ^u et V.

On a pour Q huit formes possibles, à chacune desquelles correspond une forme pour R. Si n est le degré de cp, le degré de R en 0" sera suivant le cas

n 11 — I II — 2 n — 3

■ — , , ou ,

suivant que R contiendra o, i , 2 ou 3 radicaux.

Enfin si dans R on remplace p-par /;//, on obtient une fonction qui, lorsqu'on remplace it par a -\- 2oj^, change son signe«ou reste

dj:ti:/{M!.\.itjo.\ de k 121

Invai'iable, suivant qu il y a un nombie impair ou pair des deux

radicaux \ z' — />-et\ s' — t", car \ pi( — <?, ne change pas de signe pour if-\-ii.o^.

De même quand on augmente ii de :i(.o,,\ p/t — ^jet\//;/< — e^ changent de signe et par suite R changera de signe ou non, suivant qu il contiendia un nombre impair ou pair de ces radicaux.

Ces résultats sont résumés dans le tableau suivant, où la première colonne contient la (orme de Q. la seconde la (orme correspondante de lî. la troisième le degré du polvnoine <{ui entre dans R en (onction du degré de Q, la quatrième et la cinquième indiquant si la (onction change désigne pour Tadjonction à «des [)ériodcs 2(0^ et 2co^; Q^ désigne uniquement un produit de facteurs quadrati([ues.

QiJ"- ■

Q,zx .

Q .rvr.

R ne contient pas de radical Rconlicntl/o- — a- i