I IL

Détermination de K. — C4eci posé, cherchons tt déterminer K. Pour les (onctions du premier genre, R est un polynôme

tl orctre contenant h i coeiiicients homogènes.

Substituons dans l'équation diflférentielle, nous avons un polynôme de degré- h 1 5 <P'i devra être identiquement nul. Le

coefficient du terme de degré le plus élevé disparait de lui-même

il cause de llivouthèse II ^^ — n [ii-\- \ . Il reste alors — + i

coe(ficients a faire disparaître.

Les — -I- I coefficients du polvnome doivent donc satisiaire 2 '

a 1- I équations linéaires et homogènes, dont les coefficients

dépendent linéairement de K; l'élimination des coefficients du polynôme donnera donc pour K une équation de degré (- i.

Si R est du second type, on aura a déterminer coeffi-

cients d'un polynôme de degré -. Le degré de l'équation

en K sera donc, d'après un raisonnement analogue au précédent,

Pour ceux du troisième, l'équation en K sera de degré — .

Pour ceux du quatrième, l'équation en K sera de degré .

Ces résultats figurent dans la sixième colonne du tableau précédent.

Il résulte de ceci qu'à chacune des racines des équations en K ainsi obtenues correspond un polynôme et un seul.

Si 11 est pair^ il n'y a de polynômes que de première et de troisième espèce ; leur nombre est

Si n est impair il n'y a de polynôme que de seconde et quatrième espèce ; leur nombre total

Donc il y a au plus i7i-\- i polynômes de Lamé, Je dis au plus, car les équations en K pourraient avoir des racines multiples ; nous verrons qu'il n'en est rien.

Analogie avec les fonctions sphériques. — Supposons que .r, y, z soient infinis du premier ordre ; [j. et v restent essentiellement finis, mais p deviendra infini du premier ordre aussi.

L'ensemble homogène des termes de degré le plus élevé dans

ASALOGIE AVEC LES FOyCTIOyS SPHÉRIQIES ii3

la fonction de Lamé, satisfait éviclcniment à l'équation de Laplace. C'est donc un polynôme sphérique que l'on peut écrire II .^•,y,c). Le terme de degré le plus élevé dansRMX en z sera ao'"MX. Passons aux coordonnées polaires

X = r sin H cos o,

. Il = r sin h sin 'j,

:: 1^7- cos 4,

si 0 est très grand il difTère peu de /■; y., v dépendront au contraire de cp et de h.

En effet l'équation qui détermine y. peut s'écrire

Si .r, //, - sont très grands, l'unité est négligeable; il reste une équation du second degré ; a et vies deux racines non infiniment

grandes ne dépendent que du rapport -^— et ^ c'est-a-dire de -ç

et de h.

On peut alors écrire

/■"n sin 0 cos '^, sin h sin -s. cos S = ap"MN,

et comme /• = ^, on a

n (sin 0 cos 'p, sin h sin -s. cos S^ = aMN ;

le produit ^IN apparaît donc comme une fonction sphérique. et n sera décomposable en un produit de facteurs quadratiques i'). M. ^Moutard a démontré que c'était le seul cas où un polynôme sphérique était décomposable en un produit de lacteurs quadratiques et de facteurs linéaires.

MX, considérée comme fonction de H et de -s., est donc une fonction sphérique : il en résulte que toute fonction de a et v peut se mettre sous la forme d'une somme

(*) Voir Journal de Lioinille, t. XI, 1846, p. 278.

puisque toute fonction peut se mettre sous la forme d'une somme de fonctions sphériqucs ; mais l'analogie des fonctions sphériques et des fonctions de Lamé, va apparaître davantage quand on étudiera le cas où les surfaces homofocales sont de révolution.

Cas des ellipsoïdes de révolution. — Cela peut se présenter de deux manières difl'érentes suivant c[ue l'on a « = Z», ou Z* = c.

1° Si « = h, on a des ellipsoïdes de révolution aplatis cjuand A' est supérieur à à' et des hyperboloïdes à deux nappes si ^r<A^<6-. Les hyperboloïdes à une nappe se réduisent à des plans passant par Taxe Oz.

2° Si ^ = c, on a des ellipsoïdes de révolutions allongés autour de O.r, pour )," > a' . Si cr > '/.' > Ir on a des hyperboloïdes i» une nappe, les hyperboloïdes à deux nappes se réduisant à des plans passant par l'axe O.r.

Dans ces deux cas, soit [j., soit v ne peut servir de paramètre, on est obligé de prendre comme paramètre l'angle du plan avec un plan fixe, le plan .vOz par exemple dans les deux cas. Nous avons :

Si h tend vers a, [x tend aussi vers a, et l'on voit que l'on a :

-^ = lim\/l^ .V ^ (i- -

Si C3 est l'angle du plan passant par le point (.r, ?/, z) et l'axe Oz avec le plan .vOz, on voit que 'ji. peut être considéré comme fonction de cp, et l'on a

jj." = «" cos' 'j -f- /;- sin" 9.

On voit que l'on a

li ^'- '^

:sin9,

lim\/4^ = '

, , — cos ':>.

CAS DES ellipsoïdes DE REVOLUTIOy laî

Dans les mêmes coiulitlous réquatioii qui détermine v peut s'écrire en supprimant Tunité, négligeable devant .r, ij et r,

Si on passe aux coordonn«''es polaires, on a ;■' sin"0 /-cos-'O

et ensuite

sin h^\/ —, r

Dans ce cas on peut immédiatement former les fonctions de Lamé.

Nous savons que MX est une fonction sphérique ; M ne dépend que de z>, N ne dépend que de 0 ; MX est donc l'une des fonctions sphériques fondamentales considérées plus haut (p. 42;.

On peut alors écrire M = cos y;.p ou sin p-^ \ et pour X on prendra

F1;(cosO;=F;;[v/^]

en posant

On voit que les zéros de X se déterminent en calculant les zéros de ¥\\, abstraction faite des zéros ± i. Ces zéros sont tous réels et distincts ; car, comme on le voit par le théorème de RoUe, les zéros de Ff^ séparent les zéros de F'^~^ On a

Donc si p est pair, F^^ ne changera pas de signe avec sin 0; au contraire siy^ est impair, F,,^ changera de signe avec sin H.

Si on remplace .r, ij, z par leurs valeurs en coordonnées polaires,

ij.6

Q changera de signe s'il contient l'un des facteurs .r ou y ; mais s'il n'en contient aucun, ou s'il en contient deux, il ne changera pas de signe; p sera donc impair dans le jjremier cas, et pair dans le second.

On voit aussi que y et sin p 's> changent de signe en même temps; donc si Q contient le facteur //, M devra être pris égal i» sin/.i'^, sinon JM devra être pris égal a cospo.

De même si P = c", on prendra comme coordonnées polaires

.r = r cos 0,

y =1 r sin 0 cos '^,

" = /• sin 0 sin -j.

La fonction N sera siny;cp ou cos j)'s>, lu fonction M sera

Fi; (cos B).

On prendra y; impair si Q contient l'un des facteurs // ou -; p sera pair au contraire si Q ne contient aucun de ces facteurs ou s'il les contient tous deux. On prendra pour N, sin y> 'i ou cosp'^ suivant que Q contient ou ne contient pas le facteur c.

Résumé. — Le résultat de cette discussion est résumé dans le tableau suivant : la première colonne contient les 8 formes possi-

= Ir

Cos Cos Siu Cos Sin Cos Siu Sin

Pxx. . .

Pxj. . .

Px=. . .

Pxzy . .

Y'Xzx . .

p X xj . .

p X xjz . .

Cos

IW/p' — a-

Cos Cos Sin Siu Sin Cos Sin

R[/p-~lj-

RV/(p' — ^-j(p- — f-y

li\/{p' — c'){9' — »^)