LES VALEURS DE K SO.\T REELLES
bles de Q, la seconde contient les lornies coiiespondantes de 11, la troisième et la c|uatriènie contiennent les cas limites pour d' = b-\ dans la troisit'nie on a mis le signe o si p est pair, i si p est impair ; la quatrième indique si ]\I se réduit à cos p'Z) ou sin p'^; la cin([uièmc et la sixième contiennent les indications correspondantes dans le cas où />-:=6-.
Les valeurs de K sont réelles. — Nous allons maintenant démontrer que les équations en K ont toutes leurs racines réelles.
Supposons d'abord a-=^lr. On sait alors trouver les valeurs de K. Xous pouvons poser <x' ^= a' cos" o -\- Ir sin" C5, puisque <j. est compris entre (i et h et lorsque a ^ b, ceci est encore la valeur de M ; l'équation qui définit 'x
[n {n-\-i) u- — KjM ^= 0 ,
peut s'écrire, en prenant comme variable es
'— d r /— dM I r ,
rt' 1 sm -z. cos 'i
et si on Tait cr = h' on trouve ré(|uation
Cette équation doit avoir comme solutions cos/;c2 et s'in /)■:>, on a donc
L'équation en K a donc n -}- i racines réelles, correspondant aux valeurs de /;,
On voit que les équations en K ont toutes leurs racines réelles ; les valeurs paires de p, séparent les valeurs impaires.
Lorsque h variera de a vers c les racines des équations correspondant aux deux groupes de fonctions de Lame, contenant zéro et deux radicaux d'une part, sépareront les racines correspondant aux deux autres groupes contenant un ou trois radicaux ; cela ne cessera d'être, que si une des racines d'un groupe d'équations, devenait égale ii une racine cp d'un autre groupe.
Soient, K cetle racine, R et S les fonctions de Lamé correspondantes, appartenant par hypothèse à deux groupes diderents : on a par hypothèse
ir — (IIp-+K)R=o,
S" — (IIp- + K)R = o; on en conclut
RS"S"R=o.
On peut intégrer immédiatement et écrire
RS' — S'R = a.
Si on suppose R et S exprimés en fonction elliptique du paramètre //, on sait que l'on pourra augmenter il de i to, de i oj^ ou de 2 0J3 de façon que R par exemple ne change pas de valeur, et que S change de signe, et de même pour R' et S'; mais alors le produit RS' — SR' aurait changé de signe ; on a donc a = o ;
on en conclut que -— est une constante, ce qui est évidemment o
faux.
Deux équations en K correspondant h une même valeur de n ne peuvent donc admettre de racine commune.
Remarquons que dans l'équation en K le coefficient du terme de degré le plus élevé se réduit à l'unité; il est donc impossible que le degré de l'équation s'abaisse.
Les fonctions de Lamé sont linéairement indépendantes. ■ — Je vais démontrer maintenant qu'entre les p Ibnclions de Laméj d'une même forme, et pour une valeur de ?i donnée il
n'existe aucune relation linéaire a coefficients constants ; ip est
1, , , Ji n — \ n -\- \ n
1 un des nombres [- i , , —
LES POLYSOMES DE LAME 0.\r LE CHS RACLEES REELLES 129
En efrct : supposons que Ion puisse avoir une relation Je la forme
en portant R,^^, clans l'équation du second ordre, on aura à écrire que les p coelficlents d'un polynôme seront nuls ; on aura pour déterminer a^ y.,... a,^ . p -{- i équations du premier degré, dont la première sera satisfaite identi([uement. Il restera donc p équations homogènes h fj inconnues. L'élimination de ces inconnues donnera un certain nombre d écjuations en Iv de degré au plus égal il fj et ces équations devront être satisfaites pour les p valeurs de K ; ces équations se réduisent alors à des identités. On peut donc déterminer les coefficients a^, a.,... v.,^ quel que soit K, et on aurait alors un polynôme comme solution de l'équation de Lamé, et cela quelque soit K; c'est une contradiction.
Les polynômes de Lamé ont leurs l'acines réelles. — Je vais maintenant démontrer qu un jndvnome R quelconque a toutes ses racines réelles et comprises entre cr et c' .
On peut partager l'intervalle de — ce à + ce en quatre autres par les nombres «", h' et c".
Je vais d'abord démontrer que le nombre de racines compris dans chaque intervalle est constant lorsque h- varie de a- à c-. En elTet, il ne peut en être autrement que si, pour une valeur de ^, deux racines réelles devenaient imaginaires. Mais alors, pour cette valeur de h, ce polynôme aurait une racine double : R serait nul. On a
R =FR = o,
F étant (IPp -|- K ; on a
R"' = FR-f-F'R, R^v^pf.'/I 2F'R'+FR' etc.:
toutes les dérivées seraient nulles, ce qui est impossiljle.
Il pourrait encore arriver que l'une des racines devienne égale a r/-, h- ou c-. Supposons par exemple qu'une racine devienne égale à à' : comme ou a posé
pu — ?i = '-' — «',
Poixc.^RÉ. — Figures d équilibre. ç)
r3o roxcnoys de lame
la valeur de u correspondante serait Wj, or on a j/lo^ = o, Wj est un zéro de p'to, ; donc ce serait un zéro de R' efc l'on revient au cas précédent.
Ceci posé soit t^ le nombre des racines imaginaires de Tensemble des polynômes correspondant à une valeur de n ;
£.,, le nombre des racines réelles comprises entre «" et P ;
Sg, » )' réelles comprises entre b' et c" ;
e,, » » réelles non comprises entre a- et c^.
Le nombre total des racines est égal à la somme des degrés des polynômes
Lorsque i- est égal à a-, toutes les racines s^ se réduisent h a' et e'g se réduisent à «- ou à c^ ; lorsque Ir est égal à c", toutes les racines Sj se réduisent a c^ et £o se réduisent à «" ou à r".
Mais si rt" = Ir les polynômes sont les dérivées successives
de (v" — i)" et ils ont toutes leurs racines réelles; il yen a un qui
a o racine, un qui en a une, un qui en a deux, ... un qui en a —
abstraction faite des racines ± i ; on a donc
le même on a
n l n Nous avons donc l'égalité
d'où l'on conclut
et par suite
Le théorème est donc démontré.
DÉVELOri'EMnyT D L\\E lOyCTIO.X i3i
Pour savoir maintenant combien il y a de racines dans chacun des intervalles a-... h-, //-...(-, on voit que dans le cas général il v en a autant que dans le cas particulier, où a' = ù'.
Et on voit qu'il v a :
un polynôme ayant o racine entre a- et /r, et — entre l/- et c'.
Développement d'une fonction en une somme de fonctions de Lamé. — Soit un ellipsoïde de la famille, dclerminé par le paramètre p ; si je pose
/MX.M^\./7
MX désignant un des produits déjà désignés, M^X^ en désio-nant un autre, et l'intégrale étant étendue à toute la surface de l'ellipsoïde.
Soit
V = RMX, V^ = R^M^X\.
Puisque Ton a AY = o, la formule de Green donne
l'intégrale étant étendue à une surface fermée quelconque ; supposons que cette surface soit rellipsoïde ; R et R^ sont alors des
constantes. Calculons —, — et —~- : cruand on se déplace sur la
an du ^ *■
i3 2 FONCTIOyS DE LAMÉ
normale à l'ellii^soïde, a et v demeurent constants, p augmente de rfp ; et on a
dN ÔY ^ ^ J^ J? dn Oo f//ï 0?/ do dn
ÔV r/// mais nous avons
l'intégrale devient donc
MN. INI^N, (RR\ — R,R') ^d<j = o;
mais RR'^ — R^R' ne dépend que de p et comme c'est une constante, on peut la faire sortir du radical. On a d'ailleurs
il vient donc en changeant le signe
dn
Tout revient a calculer
du du do
dn dp dn
nous avons vu que l'on avait, en posant p- =pu -\- h
du
? 4fr = - V (?' —"')(?' — ^') i?' — '^') '
d'où
du
lorsque p tend vers l'infini, pu tend vers oc , u tend vers o, donc décroit ; on doit prendre le signe moins.
DÉVELOPPEMEyr L'iNE FOSCTIOS i33
On a crailleurs, puisque rélénient linéaire est ds- = a" dz- -f- 'j'dy -\- Y'(/v" et c[ii<' z seul varie sur la nurniale :
On a donc, en posant
dn
dn •
ce qui est légalité annoncée. L'intégrale, d'ailleurs, ne dépend pas de p. Car nous avons
^7= 'i"d'j.d'j ; et par suite
Uh
I (l'|Jt.-'/v
BC
— I d'jjh
BC
On a démontré que toute fonction déterminée sur l'ellipsoïde peut se mettre sous la (orme d'une somme de fonctions de Lamé ;
Le théorème précédent permet facilement de trouver les coefficients. On a
fl<P M/, X;, d7 = fy^ A;7M/, X/, :\I i X, d7 ; le second membre se réduit à A,, / l^l'[Sldi : ce qui détermine A/,.
i34 FONCTIONS DE LAMÉ
Les fonctions S. — Nous allons maintenant considérer une autre fonction de p satisfaisant aussi à l'équation de Lamé; nous la définirons ainsi qu'il suit.
Soit R une fonction de Lamé de degré n définie par la relation
R/'+FR = o; la fonction S, associée a la fonction R, sera définie par la relation
S" + FS = o où F a la même valeur : on en conclut que
en intégrant on trouve
