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/ Ri
Poi>'CARÉ. — Figures d'équilibre.
i45 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
et on est ainsi ramené à un théorème d'arithmétique connu. Le
premier rapport est compris entre la plus grande et la plus
petite valeur du rapport des quantités placées sous le signe J: la
plus grande de ces valeurs est i correspondant à u ^0,0:^ 00,
0" — a' la plus petite est '-5 r-j ; le théorème est donc démontré. On
en donnera plus loin une démonstration plus générale.
On voit de suite que Taxe de rotation ne peut pas être l'axe Oy, car il faudrait que R,S., soit la plus grande des trois quantités analogues.
La relation (11) a une solution évidente, c'est R., = R3, qui conduit à un ellipsoïde de révolution autour de O.r : c'est l'ellipsoïde de Mac Lauriu.
Ellipsoïde de Jacobi. — Les relations (II) peuvent aussi être satisfaites pour un autre ellipsoïde découvert par Jacobi, mais nous devons, avant de le rechercher faire la remarque suivante :
Si nous nous donnons un ellipsoïde homogène quelconque, nous pouvons toujours choisir les constantes a, |j, y, de manière à satisfaire aux relations (I) c'est-à-dire de façon que cet ellipsoïde soit en équilibre sous l'action de la gravitation et d'une force supplémentaire dont les composantes sont a.r, [j^, yz ; nous allons supposer a = o,
La condition d'équilibre d'un ellipsoïde homogène E soumis à la gravitation et à une force perturbatrice dérivant d'un poten-
tiel — C^if' -\- Y^") est que, à la surface
soit une constante.
Supposons que l'ellipsoïde se déforme mais peu, de façon que la nouvelle surface S ne diffère pas beaucoup de l'ellipsoïde, et
ellipsoïde de j.icoin i.i^
cherchons à quelle eoïKlIlioii ï sera une future d'équilibre, en continuant à supposer (pie le lluidc reste soumis aux mêmes forces, c'est-à-dire à la gravitation et à la force a,r, |j//, "z.
La condition d'équilibre est que, en désignant par V -j- v le potentiel dû à la figure i] ;
soit une constante à la surface.
Soit ^ la longueur de la normale comptée de E à ï ; on pourra développer Ç en une somme de fonctions sphériques :
et l'on aura à la surface
D'autre part, on aura, à des quantités près de l'ordre de v",
et, en appelant i^ l'intensité de la pesanteur ii la surface, il vient
OU
d'où
La condition d'équilibre est que U soit une constante et comme la condition d'équilibre est que
i48 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
soit une constante à la surface c'est-à-dire que
(,) y i!!Ë RosûMN — y ^miN = C''-.
Je dis que gl est une constante sur l'ellipsoïde ; en effet, déplaçons l'ellipsoïde parallèlement h l'axe O.r, l'équilibre ne sera pas troublé, car par suite de la condition a = o, le travail de la force (a.r, fjy, y-) est nul. Nous avons vu que l'on avait pour Ç la valeur
K étant une constante ; l'équation précédente se réduit en ce cas à
ceci ne sera constant que si
gt q i^^Wi-
L'équation (i) devient alors
et l'équation d'équilibre devient, en supprimant l'indice zéro, R,S, U.S,
rr-'- = O.
Si la masse est en équilibre sous l'action de l'attraction et de la force centrifuo-e, elle le sera encore si on lui donne un mouvement de rotation. Cette rotation est une des transfoi-mations que l'on peut faire subir à un ellipsoïde de Jacobi, sans troul^ler l'équilibre.
Nous avons vu que dans ce cas, on avait à un facteur constant près (p. i44)
ellipsoïde de JACUIII I j,j
on en conclnl f[ue r<'lli[)soïdc de Jaeobi doit satisfaire ii la relation
Réciproquement, supposons (ju'un ellipsoïde soit en équilibre sons l'action de l'attraction et d'une force dérivant du ])otenti<,'l
je dis que si on peut le faire tourner d'un annle u) sans tioubler l'équilibre, c'est que ^^^^^.
Vax ellet, à la surface on doit avoir, en ajipelant \ le potentiel newtonien
au sommet du petit axe V = Vj; si on fait tourner l'ellipsoïde il'un ano'le lo autour de Ox, le sommet du petit axe restera sur la sur-face de l'ellipsoïde, la constante Vj n'aura pas changé, V n'aura pas changé non plus.
Or
il faudra donc que sur la surface et en tenant compte des relations
rjij = ^,)Z
on devra avoir sur la surface donc
l5o ATTRACTIOX DES ELLIPSOÏDES
Discussion de Féquation des ellipsoïdes de Jacobi. — Nous avons donc à discuter léquation des ellipsoïdes de Jacobi
Cette équation ne convient pas aux ellipsoïdes de révolution, cela provient de la façon dont on a établi cette équation : dans le cas d'un ellipsoïde de révolution, on aurait en effet Ç=o.
Au lieu de discuter l'équation (i),nous allons discuter l'équation plus générale
ijn-{- I 2.n-\- i
où l'on a p" > «- ; ni étant l'ordre de la fonction R;, n étant
l'ordre de la fonction R,.
F et -—-sont de même signe, de plus R,, ne peut pas s'annuler
puisque les racines des polynômes R sont comprises entre o' et c' ; donc l'équation
__ F S, S; Rf
' ' ~ l'^i- " (2/« + i) R/. i>« -1- I ) R, "Rf ~ ^
a les mêmes racines que F = o.
Les racines de l'équation -jr-r- = o sont séparées par celles
R/i de la dérivée :
^F, I d S, I Rf d S,
du 2/«-f-i du W, 2n-\-i ni du R,
I S; ^/ / Rr
2/1 + I R, du \ l\l
On a par définition
du R;. R^
D/scrssio.y di-: lkquatiox des elupsoides de jacoiu o, et par suite
d\\ o S, R, r;r,, — r,r;, as, r;i{, — r,r;, .
mais S, ne peut s'annuler : donc les racines de — — - snnl les
racines de RiR/, — I^,l^/-- Nous ne nous occupons évideninient que des racines supérieures l\ a'.
Cherchons la dérivée de cette fonction par rapport a //. c'est :
et, d'après la dtWinilion de R, et W,^,
r;/ = (iIo^ + K)r„
R^R^ ;[«(«+ i)—m '/H+i)] p-+Ki— K;,;.
Les deux premiers facteurs n'ont pas de racines en p- supérieures i» a~ ; le troisième ne peut évidemment en avoir qu'une
seule : donc — - — ne peut en avoir plus de deux, F ou F ne peudn
vent en avoir plus de trois.
buj^posons que - — soit constamment croissant, sa dérivée ne
R/ s'annulera pas; donc F^ sera constamment décroissant et ne
• Il pourra avoir qu une seule racine. Au contraire, si -—- est toujours
décroissant, Fi sera toujours croissant. D'ailleurs pour u = o,
0 = OD , —7^ est à peu près égal h— ; donc F part de zéro et est
toujours croissant ou toujours décroissant, donc n'a pas de racines, sauf la racine p = ^o c|ui n'est pas admissible.
Dans le cas le plus général, F peut avoir, nous 1 avons vu, trois racines : mais parmi celles-là se trouve la racine p = xi ,
iS-i ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
F a donc zéro, vme ou deux racines supérieures a cr ; si-j^- est
toujours croissant ou toujours décroissant, elle n'en a aucune. Revenons alors à Téquation
(P \ - — ' I sera un polynôme
dont toutes les racines sont réelles et comprises entre cr et 6'-; donc la dérivée ne peut s'annuler pour une valeur de p^ supérieure à à^. L'équation F n'a pas de racine supérieure à «^. Supposons maintenant que R; ne soit pas divisible par yp- — «% et que n soit plus grand que i, je dis que l'équation a au moins une racine. En efFet, substituons cr, le premier terme s'annule, le second est négatif : on a donc une somme négative ; remplaçons p par 00 ; le premier terme de l'équation est à peu près égal à
le résultat est positif; il y a donc un nombre impair de racines entre a' et + co , il ne peut y en avoir plus de deux, il y en a donc une et une seule.
Ce raisonnement n'est pas valable si /^ = i, c'est-à-dire si
ou bien
dans ces deux cas, la quantité
Rf
çj~lr
Rï
et les quantités analogues sont toujours croissantes lorsque p" varie de oo h a'. Donc l'équation correspondante n'a pas de racines : c'est un théorème déjà énoncé (p. i45).
l'ianilCS DÉRIVÉES DE L'ELLIPSOÏDE DE MAC LAUIUS i53
Appliquons ce principe \\ rdlipsoïtle de Jacohi. Il laut considérer l'équation
R, n'est pas divisible par R^ : donc il y a une racine, et une seule. Donc parmi les ellipsoïdes homolocaux, il y a nn ellipsoïde et un seul, qui soit une ligure d'équiliijrc ; c'est l'ellipsoïde de Jacobi.
Figures dérivées de l'ellipsoïde de Mac Laurin. — Supposons que //- = (■- et cberchons s'il y a des (inures peu difFérentes de l'ellipsoïde de Mac Laurin. Pour qu'il existe une ligure d'équilibre ï peu diflerente de cet ellipsoïde, il faut que l'on ait la condition
iS'ous avons vu qu'en posant
on avait
N,= cosy^'j,
// étant une constante. On a posé
La condition nécessaire et suffisante pour ([ue l'équation (i) ait une racine est que R, ne soit pas divisible par y p' — (i^' '■, donc M, ne doit pas être divisible par y «- — ij.", donc ii-\- p doit être pair, n et p étant déterminés, une figure d'équilibre voisine d'un ellipsoïde de révolution est déterminée par la relation :
J^= £ DIj cos po
ou, d'une façon plus générale,
Ç = ^]Nb (^t cos p's-\-t' sinp'-^).
i54 ATTRACTION DES ellipsoïdes
On peut supposer s'^o : cela revient à faire tourner les axes de coordonnées d'un anorle convenal^le autour de O»;. La licfure que l'on obtient ainsi est une figure admettant l'axe Ox comme axe de symétrie d'ordre y^. F (ç) ne change pas si l'on change \ en — ^, donc le plan des yz est un plan de symétrie. Si/; = o, (i^ ne dépend pas de cp, la figure est de révolution.
On ne doit pas conserver parnn les équations obtenues celle où /? = o, car le volume ne serait pas conservé; de même on doit exclure /? = i , car alors R^ serait divisible par y/p- — a- : donc la valeur minimum de n est 2; à cette valeur de ?i correspondent deux valeurs àe p : y; = o, et p^ 2.
Quelles sont celles de ces figures qui sont ellipsoïdales : considérons un ellipsoïde E^ et un autre E^ qui en soit peu dillerent mais non homofocal. Le potentiel de chacun d'eux h son intérieur est une fonction du second degré des coordonnées cartésiennes ; la dillerence des potentiels est donc aussi un polynôme du second degré : c'est d'ailleurs le potentiel dû h la couche comprise entre les deux ellipsoïdes. On peut par suite développer ce potentiel sous la forme
sRMN,
R, M, N étant des fonctions sphériques d'ordre o, i ou 2. A la surface on a
Y=^ sR^MN, et à l'extérieur on a par conséquent
V = y si SMN, l'épaisseur de la couche produisant ce potentiel est donc
Zj 4- s
=y£'mN.
