THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE POTENTIEL NEWTOMEN
l'intégrale étant toujours étendue h tout l'espace; West l'énergie du système.
On a
oW = £.
On peut d'ailleurs écrire, puis(|uc AV = — 4'^^)
et, en tenant compte de (6),
l'intégrale étant toujours étendue à l'espace entier.
Conditions d'équilibre — Ceci étant rappelé, nous allons commencer létude du problème que nous nous sommes proposé.
Considérons une masse fluide, isolée de toute influence extérieure, tournant autour d'un axe fixe que nous prendrons comme axe Oc, d'un mouvement uniforme de vitesse angulaire w; prenons les axes Ox et Oy, invariablement liés à la masse fluide.
Soity^» la pression en un point (.r, ij, z) ; p ne dépend que de X, y, z, la force s'exerçant sur l'élément de volume d- a pour composantes
A = --~d-z, 1 ^= -7— d'z, L = — î- dx. 0:r 0^ 03
Ecrivons les conditions d'équilibre relatif, en remarquant que l'accélération de Coriolis est nulle. Si on appelle X, Y, Z les composantes suivant les axes de coordonnées de la force agissant sur la molécule (,r, ?/, -), on a
et. on posant
THEOREME DE GREKS
OU
OU
ou
d'où Ton tire
O.r Oy 0" \ O.r oij O3 /
Cette relation montre que c est uniquement (onction de p ; L' csl par suite, aussi uniquement (onction de p et, par suite, de ^. On arrive alors au théorème suivant:
Théorème. — Quand une /nasse fluide, animée d'un moui^emenl de rotation autour d'un axe fixe, est en équilibre relatif, les surfaces de niveau sont les surfaces d égale pression, et aussi d'égale densité.
A la surface de la masse, on a p^:^o. Donc U est une constante. La surface libre est donc une surface de niveau.
S'il n'y a pas de rotation, on a U = V.
Dans le cas général on a AV = — 4~?- -^^^ est donc simplement fonction de U.
Kemarquons que la iorce totale -- — , — — , -— — est en gênerai ^ ^ O.c ' Oy 0; °
normale aux surfaces de niveau, U:^=C.
Ces conditions d'équilibre sont nécessaires.
Une condition nécessaire et suffisante d'équilibre est que le travail résultant d'un déplacement virtuel soit nul. Ce travail comprend le travail de l'attraction, plus le travail dû à la force centrifuge.
