OF
OF Oa„
et on aura
OF
Différentions la relation — — = o par rapport à A, on aura
cVF dx^ O.r. O.z-, d\
ce qui peut s'écrire
dx. Oa
Si A est différent de zéro, on peut trouver les valeurs de .. ' ■>
puisque l'on a n équations linéaires a n inconnues et les .r seront des fonctions uniformes de À, dans le voisinage des valeurs considérées.
Supposons A nul, sans que tous les mineurs du premier ordre le soient, supposons que l'on ait par exemple
i66 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
Nous pouvons alors résoudre les ii — i dernières équations linéaires par rapport à
ce qui montre que x.^, x.^, ... x^ seront fonctions uniformes de x ^ et de \.
Substituons dans la fonction F les valeurs de x^^x.^. ... x^, en fonction de x^ et )v tirées des équations
ÔF dF
on aura une fonction ^j^(.rj,).), et on a
rf^ ôF c^F dx, DF dxn .
dx^ ô^j O.r^ dx^ '" dXn dx^
mais par hypothèse
ôF OF
5^2 dXn
quand on y remplace x.^x.^ ... x,, en fonction de x^ et de À ; on a donc
dà OF
La condition d'équilibre est alors que l'on ait
C'est une relation entre .r^ et A qui définit une courbe, .r^ sera
d-6 une fonction uniforme de A si — j-V- est différent de zéro ; la
dxi
condition A = o équivaut donc a — t-~- ^=^o.
'■ dxi
Supposons que cette condition soit remplie sans que l'on ait
d-'h en même temps —7 — ^=:o, la courbe a alors une tanojente ver- ^ dx^dK ' °
ticale (fig. 22).
ECHAyGE DES STABILITES 167
Quand \ traverse la valeur de l'abscisse de cette tangente, il y a pour a\ deux valeurs réelles qui viennent se confondre, puis deviennent imaginaires ; de même pour X.,, ... .2„.
bi —, — V— = o, le point corres-
pondant de la courbe est un point double, à tangentes distinctes ou confondues ; Tune des tangentes peut être verticale ou non, on a deux dispositions princijDales :
celle qui correspond à doux tangentes distinctes et non verticales correspond à une tangente verticale et une non verticale (fig. 24).
Fi g. 22.
fig. 28) et celle qui
Fig. 2J.
Fig. 24.
On a deux cas à distinguer : dans le premier cas, deux valeurs réelles de x se confondent et redeviennent réelles quand on traverse la valeur correspondant au point double.
Dans le second cas, deux groupes de valeurs réelles se confondent et deviennent ensuite imaginaires lorque ). traverse la valeur critique dans un sens convenable, une autre valeur de .r est réelle avant et après la valeur critique. Les autres dispositions de figures peuvent se ramener à celles-là, du moins au point de vue qui nous occupe.
Échange des stabilités. — H y a équilibre stable, avonsnous dit, lorsque F est maximum, x^x., ... .r„ étant variables. Il faut a fortiori que F soit maximum si x^ étant donné on fait
i68 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
varier .r^, Tg, ...,Xn d'une façon arbitraire, il faudra donc que ÔF ÔF OF
(Sx.
On tirera x.^^x.^^ ••-•^n de ces équations dont le déterminant fonctionnel n'est pas nul par hypothèse, on portera ces valeurs dans F (.r^.r^ .■..î'„), et on aura une fonction qui devra être maximum pour qu'il y ait équilibre. Donc J/ {x^, \) doit être maximum ;
il y aura donc équilibre si -7-!— = o, mais il n'y aura équilibre
stable que si 1 on a en même temps — r^<o.
ax\
Un arc de la courbe 7" ^=0 partage la région du plan où
il se trouve en deux parties, 1 une ou , ^ > o, 1 autre ou , ' <o ;
SI c est un arc sans singularité — y~ ne sera pas nul et sera
" dx\ ^
négatif si la région où ■ , est positif est située au-dessous de dx^
. d'I l'arc de courbe; et au contraire sera positif, si est positif au-
dx^ ^
dessus de l'arc de courbe considéré. Le premier cas correspond à une position d'équilibre instable.
En couvrant de hachures la région où est positif, on voit
que la figure 20 correspond au cas d'un équilibre stable et la figure 26 au cas d'un équilibre instable.
Fig. 23.
Fi g. 26.
Dans le cas où l'arc BAC a une tangente verticale en A, deux cas peuvent se présenter, suivant que c'est la partie convexe ou la partie concave qui est hachurée.
ECIIA.\GE DES STABIUTKS
Dans la figure i-j :
l'arc BA correspond ii des positions d équilibre instable, l'arc AC » » stable ;
dans la figure 28 :
l'arc BA correspond a des positions d'équilibre stable l'arc AG » j) instable.
Fig. 28.
Ce qu'il y a d'essentiel, c'est qu'en suivant l'arc et en passant par le point A, les deux systèmes de figures d'équilibre échangent leur stabilité.
Dans le cas d'un point double sans tangente verticale, deux cas peuvent aussi se présenter; dans les figures 29 et 3o, les
JC
Fig. 29.
Fig. 3o.
arcs BA et AC correspondent à des figures d'équilibre instable, les arcs B'A et AC correspondent à des figures d'équilibre stable. Remarquons encore qu'en suivant l'arc BAC ou l'arc B AC les figures d'équilibre, de stables deviennent instables ou réciproquement.
Enfin dans le cas d'un point double avec une tangente verticale, on arriverait à la même conclusion, les figures d'équilibre
ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
que l'on obtient en suivant un are quelconque échangeant leur stabilité quand on passe par un point où -^~r= o (fig. 3i et Sa).
'''/Mh.
iàk
Tjii
Wf//
n--<ffl////l,
JC-
Fig. 3i,
Fig. 32.
Stabilité de l'équilibre des figures trouvées. — Appliquons ceci à notre problème et considérons la figure 21; ce que nous avons appelé [x représentera ici ce que nous avons appelé X et co correspondra h :i\.
La fonction F, qu'il faudra rendre maximum est
10^ augmente lorsqu'on se déplace de A sur D, et décroît de D à H; sur AU, M va en croissant, et croît aussi de B à G ou à C.
Il s'agit maintenant de traiter la question de stabilité.
Partons de A, où co = o et où on a une sphère, nous savons que dans ce cas l'équilibre est stable : donc tous les coeflîcients de stabilité sont négatifs. Ils cesseront d'être tous négatifs quand on rencontrera une figure de bifurcation.
La première bifurcation que l'on rencontrera en suivant AH sera au point B, où l'ellipsoïde de Mac Laurin diffère peu d'un ellipsoïde de Jacobi. Le coefficient de stabilité s'annulera donc en même temps que
Après cela il ne s'annulera plus; quand on arrivera en E, un
coscLUSioy 171
autre coefficient s'annulera en changeant de signe, mais le premier coefficient restera positif. Donc de A à B nous avons un équilibre stable, au delà de B il est instable.
Sur la branche BC, on a au contraire des ellipsoïdes qui sont stables jusqu'en G ; en G l'un des coefficients s'annule et au delà reste positif, donc à partir de G sur la ligne BC on aura des positions d'équilibre instable, mais à partir de G commenceront de nouvelles figures d'équilibre et ce sont celles dont il faudra étudier la stabilité ; il y a une difficulté, car, pour ces figures, M peut croître ou décroître.
Il est aisé de voir que l'on a en tous cas un maximum ou un minimum ; on a en effet pour ces figures, si elles correspondent à des formes peu différentes de celle que l'on a en G
en G même, £ = 0, Si on change c de signe, la figure a une forme symétrique de la première, M garde donc sa valeur; il en résulte qu'en G la quantité M passe par un maximum ou un minimum. Si M<MGon a après une seule figure d'équilil^re ; si, au contraire, M > M^ on aurait trois figures d'équilibre dont une est stable. On n'a pas encore fait le calcul complet, bien qu'il semble plus probable que l'on a un minimum.
Conclusion. — Quoi qu'il en soit voyons les deux hypothèses : supposons une masse fluide homogène animée d'un mouvement de rotation et soumise à un refroidissement assez lent pour qu'il ait le temps de se propager dans la masse ; supposons de plus que le mouvement de rotation soit le même dans toute la masse, et cela en supposant le frottement suffisamment grand.
La vitesse du mouvement de rotation n'est pas constante, ce qui est constant c'est 'jl:^oj-J, en vertu du théorème des aires ; le volume T doit diminuer puisque la masse se refroidit, donc M augmente. Ou a des figures d'équilibre stable jusqu'en B ; après cela, ce qui devient stable ce sont les ellipsoïdes de Jacobi et cela jusqu'en G ; le refroidissement continuant, on ne peut plus avoir d'ellipsoïdes de Jacobi, puisqu'ils sont instables. Si, pour l'autre série, M^ est un maximum, cette seconde série ne donnera aucune figure, et le corps se dissipera dans l'espace; si, au contraire,
ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
Mq est un minimum, on aura une sorte d'ovale étranglée que l'étranglement divise en deux parties inégales.
On n'a pas fait le calcul jusqu'au bout pour voir ce qui arriverait ensuite : peut-être l'étranglement s'accentuera-t-il et la masse pourra se diviser en deux parties. Remarquons que ceci ne jDcut s'appliquer directement à rhvpothèse de Laplace, car la nébuleuse considérée par Laplace n'est pas homogène, elle doit au contraire être fortement condensée au centre.
Quoi qu'il en soit, on ne sait pas jusqu'à présent si en G correspond pour M un maximum ou un minimum.
