CHAPITRE VIII ANNEAU DE SATURNE
Etude des figures annulaires d'équilibre. — On peut faire trois hypothèses sur l'anneau de Saturne : on peut admettre qu'il est solide, qu'il est fluide ou qu'il est composé d'une masse de solides indépendants ; la troisième hypothèse connue sous le nom d'hypothèse de Cassini paraît être l'hypothèse véritable.
H Y P O T H È: s E DE l/ A X N E A U SOLIDE
Historique. — Laplace est le premier qui ait examiné cette hypothèse : et il a remarqué que si l'anneau était homogène son mouvement serait instable ; pour peu que son centre s'écartât du centre de gravité de la planète, l'anneau se précipiterait sur celle-ci ; l'attraction de Saturne ne tendrait qu'à accentuer l'anomalie. Si donc l'anneau est solide il doit présenter des irréo-ularites ; Laplace ne chercha pas à déterminer l'ordre de grandeur de ces irrégularités ; Maxwell a fait le calcul et a reconnu qu'elles doivent être considérables ; ces irrégularités sont inadmissibles.
Equations du mouvement. — Parmi les forces qui sont appliquées à l'anneau il n'y a pas h s'occuper de l'attraction de l'anneau sur lui-même parce que l'anneau étant solide ses diverses parties n'éprouvent pas de déplacement relatif; il n'y a donc à s'occuper que de l'attraction de Saturne et de celle des autres corps célestes ; nous négligerons cette dernière action et nous allons nous occuper seulement de l'attraction de Saturne.
Nous allons supposer que l'anneau a son centre de fio-ure au
I y 4 ^ NNEA U DE SA TURNE
centre 0 de la planète : Tobservation montre qu'il en est ainsi; le centre de gravité G de l'anneau est supposé difFérent de 0. Un point M de l'anneau, puisque l'on ne parle pas de l'attraction de l'anneau sur lui-même, est soumis à l'action de l'attraction de Saturne ; l'ensemble des forces d'attraction fait donc équilibre à la force d'inertie. Un point M de l'anneau est soumis à l'attraction de Saturne et à la force centrifuge : si l'anneau conserve son centre de figure au même point cette force centrifuge et cette attraction sont constantes : M tournera alors avec une vitesse égale à celle d'un satellite placé à la même distance ; c'est la condition nécessaire et suffisante de l'équilibre. Si l'anneau est homogène, cette condition n'est pas nécessaire, car la vitesse de rotation peut être quelconque : chacun des points de l'anneau serait soumis à la même force, et l'équilibre aurait lieu quelle que soit la vitesse de rotation. Dans le cas général le centre de gravité G décrira donc d'un mouvement uniforme une circonférence autour de Saturne.
Prenons comme unité de longueur le rayon de l'anneau, comme unité de masse la masse de l'anneau ; son moment d'inertie par rapport au centre de figure sera égal à i. Il reste à déterminer l'unité de temps : on peut la prendre de façon que, en désignant par M la masse de Saturne et par /*le coefficient de la gravitation, on ait fM= i.
Etudions le mouvement : soient x et y les coordonnées du centre de gravité, nous avons
pds= I 0 coss.ds.
y I pds ^ I 0 s'ni s. ils.
en appelant p la densité de l'élément linéaire de l'arc ds de l'anneau supposé étroit.
est la masse de l'anneau.
STABILITÉ DU MOUVEME.\T i^S
Les équations du mouvement du centre de gravité sont
c ds = j 0 cos s ds = X 1 zds,
d'où
(il' d'i/
IF
Les intégrales de ces équations sont, en prenant une origine, des temps convenable,
i .r = v cos t,
j sin /.
Le point G décrit donc une ellipse dans le cas général ; si c'est une circonférence, elle est décrite avec une vitesse angulaire égale à l'unité : c'est la vitesse d'un satellite placé à l'unité de distance et décrivant un cercle et dans ce cas, a = 3.
Stabilité du mouvement. — Il reste à voir si ce mouvement est stal.>le. Supposant négligeable, par rapport à la masse de Saturne, la masse de l'anneau, nous pouvons supposer Saturne fixe.
Par son centre 0, faisons passer deux axes fixes OX et OY (fig. 33) ; par le centre de figure de l'an-
neau, faisons passer deux axes ox, oi/ invariablement liés h l'anneau, leur position, et par suite celle de l'anneau, sera déterminée, si l'on se donne les coordonnées X et ij de 0 par rapport à xoy^ et l'angle ^1 de l'axe ox avec OX. Soit G le centre de gravité de l'anneau, qu'on peut supposer
Fig. 33.
sur ox ; on a oG = a, c'est une donnée du problème; les coordonnées X et Y du centre de gravité sont
f X = — 7/ sin 9 + (« — .r) cos 0, ( Y= ycos9-)-(« — .1') sin 9.
La force vive de l'anneau est égale à la force vive de trans-
lation (X'"-f-Y'") augmentée de la force vive de rotation JB'".
Le moment d'inertie par rapport au point o est donné par la relation I = J -|- a'. La force vive est donc une fonction de .v, jj, 6 et de leurs dérivées et on a
X'^ + Y'- = .r'^ + ,/ ^+ r- [f + (« - xf] - 28' [x'^j + {a —x) //'] .
L'énergie potentielle est
