U = — /MV

V désignant le potentiel de l'attraction de l'anneau au centre de gravité, et comme on a

on a

Supposons que la densité de l'anneau soit une fonction développable en série de Fourier. Si d>J^ est l'angle sous lequel on voit du centre de l'anneau un élément linéaire, on aura, en appelant p la densité au point déterminé par l'angle 6,

p = p„ j I + 2a cos (^ -| :t- cos 2'J -| r^ SIU 2U; -j- ... I ;

si ^ et r, sont les coordonnées d'un point de l'anneau par rapport aux axes mobiles, on a

p^Js = a,

STABILITE DU MOIVEME.XT

On trouve encore

p (ç- — r,'^' «6- = I 0 cos 2y f/y = —

d.s = I z sin 2'1 d'I = -rr--

Le potentiel en G de l'attraction de Saturne sur l'anneau est, comme on le voit en efTectuant le calcul,

Les équations de Lagrange donnent

d /^\ i)T DU

"dT \"ô7/ ~~"ô7~^~^~~'^'

mais comme U ne dépend pas de rj' on a

dt d(j' d(j

On peut écrire

où l'on il posé pour abréger

PoiACARÉ. — Figures d'équilibre.

remarquons que T — U ne dépend pas de B ; la première des équations de Lagrange donne donc :

^p D(T — U) dt

et, comme U ne dépend pas de 0, il reste

cW

p étant une constante. Il est d'ailleurs facile de calculer cette constante, étant données les conditions initiales ; si on développe l'équation on a

Ae'+B=:/;.

Supposons .{■„= o,?/o= o, et par suite x\ et y^, très petits, on trouve

Ao=i, Bo = o,

et par suite p = ^'^-^ donc c'est la vitesse de l'anneau, supposé en équilibre : on a, comme on l'a démontré plus haut, ^\ ^=^ i ; donc p=i : l'équation obtenue est l'équation des aires.

Transformons maintenant les équations de Lagrange : posons

Les équations de Lagrange conserveront la même forme, si on y remplace T — U par II ; car, si q est l'une des variables, on a