OG

àq -

iVy ' OO' dq

et, comme on a

ôT ^'- 09 '

on conclut :

OH 0(T— U) dq dq

STABILITÉ DU MOUVEMEST 179

De même on voit que l'on a

OH 0(T — U) ^(j' dfj'

On peut faire disparaître 'j'de ces équations, on n'a en efTet qu'à remplacer 0' par

et comme, ni T ni U ne contiennent 0, H ne sera plus fonction que des deux variables x et y, et de leurs dérivées. On trouve

ii^>-Br^^v.

Supposons maintenant que le centre de l'anneau soit très près de Saturne, c'est-à-dire supposons .r et// petits, et voyons si dans le mouvement ultérieur x et i/ resteront petits.

Les termes de degré zéro qui entrent dans II peuvent être négligés, car ils n'interviennent pas dans les équations de Lagrange. Les termes du premier degré en x et ij doivent disparaître d'eux-mêmes : en effet, dans les équations de Lagrange ils donneraient des termes constants, et ces équations doivent admettre la solution .r = o, i/ = o. Quant aux termes du premier degré en .r'et ij' ils disparaissent dans les équations de Lagrange. Il ne reste donc que les termes du second degré, que nous appellerons W, le reste étant négligeable.

Développons H, en ne conservant que les termes du second degré ; on trouve pour W le développement suivant :

Ex'^2Cxy-{-Fy--h-^ + ^ ~ ^' !/" — x'y +(1 — ^a'jXij' en posant

cr