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i8o ANNEAU DE SATURNE

Les équations de Lagrange, comme on Ta remarqué, peuvent se réduire à

d ôW OW dt ôx' ôo-' '

c'est-à-dire

x" — 2(1 — a~) y' :^i Y.X + 2 C?/, ( I — rt-) y' + 2 ( I — «-) .r' = 2C.r + 2F//.

Ce sont deux équations linéaires à coefficients constants ; pour intégrer on pose

On aura quatre valeurs possibles de to, et Téquation générale du mouvement sera

les / et les m étant des constantes quelconques déterminées parles conditions initiales. Pour que le mouvement soit stable, quelles que soient ces conditions, il faut que les valeurs de to soient à partie réelle négative ou nulle.

Pour déterminer oj, on remplace x et y dans les équations difFérentielles et on a

oi'-x — 2(1 — a-) toy = 1 E.r + 2 Cy , ( I — à') to'y +2(1 — rt") iox = 2 Cx -\~ 2 Fy ,

on peut éliminer x et y entre ces deux équations, et on trouve

to* ( I

L'équation en oj- doit avoir ses racines réelles : car si elles étaient imaginaires, les racines carrées de ces deux racines ne

rOTESTIEL D'USE CIRCOSFÉRESCE HOMOGÈNE i8i

seraient pas des imaginaires pures, et par suite, comme elles sont égales et de signes contraires, lune serait à partie réelle positive.

Or, pour un anneau homogène, où

l'équation se réduit à

les racines en sont imaginaires : si ^, a, [i sont voisins de zéro, elles seront encore imaginaires. Il faut donc que <7, a et ^j soient grands, il y aurait donc de grandes irrégularités dans l'anneau : et sa régularité apparente serait inexplicable.

Maxwell a fait le calcul dans l'hypothèse où l'anneau serait homogène, sauf en un point, où il y aurait une niasse supplémentaire : et il a trouvé que cette masse devrait être au moins

les -p- de la masse totale de l'anneau, cest-à-dire que Ion aurait

M. Radau a examiné le cas où l'épaisseur de l'anneau serait variable d'un point à un autre, et il a trouvé que la densité devrait varier de 2,7 à o,o4, ce qui ne parait pas probable.

De plus, la section de l'anneau étant mince, il lui faudrait une grande résistance pour résister h l'attraction des satellites : Hirn a calculé qu'il lui faudrait une résistance mille fois supérieure à celle de l'acier : donc rannean de Saturne ncst pas solide.