V OA' cos- J;+QP' sin

Q étant le point de la circonférence dont la projection sur le diamètre AB est en P, ^ étant l'angle AOM ; on a donc

cp(a,^.)=:'^(OA,QP)

= ?{^^-^'\/ab

POTESTIEL D'iWE CIRCONFÉRENCE HOMOGÈNE ,3:{

Si donc on forme une série de quantités

telles que l'on ait

on aura

et cela quel que soit l'entier n. On démontre facilement que a„ et /',j tendent vers une même limite qu'on appelle la moyenne arithmético-géométrique de a et de h.

Soit m cette limite, on a

y=M f — =iL==M

, / 0 2-y / m' cos" — — \- m- sin- -^—

cp (rt, h) est une fonction homogène de a et de ^. de degré — i, c'est-à-dire que l'on a

on peut donc écrire

et, remplaçant cp (a, i) par o («), on a

Que devient la formule si P est rapproché de la circonférence? a est alors une quantité très petite. On sait que l'on a, en dési gnant par L le logarithme népérien

i84 ANNEAU DE SATURNE

p désignant la distance du point P au point P^, le plus voisin du cercle, t étant une quantité tendant vers zéro avec p, u.g et K étant des constantes ne dépendant pas de la position du point P par rapport à P,, non plus que de la position du point P^ sur le cercle. En reprenant les notations précédentes on a

et comme

h diffère peu de 2R, à l'ordre d'approximation adoptée ; on a d'ailleurs

Cette relation permet de calculer la constante K : on a en efï'et si on fait h = 1 on a

\a]= ■ es ■

Il vient donc dans le cas qui nous occupe, en négligeant a devant l'unité

? («) = 2cp (2 sja ) ;

mais on a aussi

L(Ji) = .L

LK — \m = 2 LK — 2 log 2 — La ;

MASSE ASyCLAIRE DE RÉVOLUTIOS i8J

d'où on conclut