LK=:2L
et finalement
avec rapproximation donnée.
On peut chercher une forme plus exacte pour -^ [a). Posons
'f(«) = ^log4[/-+-V + -Vr+...]
+ -^[l^o + B../ + B,.r-f-...]; en se servant de la relation
on trouve facilement que Ton a
de façon que Ton peut prendre pour -^ [a] la ionction
et cela en négligeant seulement les termes en — -„ .
Masse annulaire de révolution. — Soit G le centre de gravité de la section méridienne, menons Gij parallèle à l'axe de révolution et Gx dans le plan méridien, perpendiculaire à G// et tel que le sens positif soit dirigé de l'axe de révolution vers le point G, soit l la distance du point G à cet axe de révolution. Un élément de surface (h' de la section méridienne, de densité z' et de coordonnées .^•' et y' engendre un anneau dont la masse est
i86 ANNEAU DE SATURNE
Cherchons le potentiel de cet anneau en un point P du plan méridien, dont les coordonnées soient x et ?/ ; il faut d'abord calculer les quantités a et h. Si on suppose le point P du même côté de l'axe de révolution que l'élément di^ on a
Supposons l'anneau mince et le point P situé près de G, de façon que x., y, .r', y' soient négligeables devant /; a est une quantité du même ordre ; on peut prendre pour valeur approchée de h
car [y — y')' est négligeable ; il faut maintenant calculer cp (r/, h). On a
'■?(«'^) = -r ? hr
I la
2 l -\- x-\-.v' a Le potentiel en P est donc
on a
l + x' l-\-x' b il-{-x-\-x'
comme par hypothèse x et .r' sont petits, on peut écrire approximativement
Il vient ensuite
MASSE ASSULAIRE DE RÉVOLUTIOS 187
ce qui peut s'écrire, avec le degré d'approximation donné
on peut alors écrire aussi
Le potentiel de l'anneau sera donc
2'.'L ch -^ I -, — z L (h -{- I :^(h,
les autres ternies étant négligeables, et les intégrales étant étendues h la surface de la section. Nous allons supposer l'anneau homoffène et nous écrirons 0' = i.
Les deux premiers termes sont des potentiels logarithmiques qui jouent, dans l'attraction des masses planes, le même rôle que le potentiel newtonien dans l'attraction des corps célestes ; les propriétés du potentiel logarithmique dans le plan sont analogues à celles du potentiel newtonien dans l'espace : on démontre, par exemple, que le potentiel logarithmique d'un cercle homogène est le même que si toute sa masse était concentrée au centre.
Si le point P est h la surface d'un tore, h une distance a^ du centre du cercle générateur, il suffit de considérer le potentiel logarithmique en P du cercle de rayon «„ ; sa surface est nal, Son potentiel est donc
-a-^L — ; la première intégrale est par suite
La seconde est la somme de deux autres :
la lia
i88 ANNEAU DE SATURNE
dont la seconde se calcule immédiatement, on trouve pour sa valeur
-y- TMq L ;
la première va se calculer plus tard.
On trouve de même
puisque le centre de gravité est h l'origine des coordonnées. Il reste à calculer
nous allons employer un procédé de calcul dont nous nous sommes déjà servi dans une autre question : supposons que la densité du cercle soit
le potentiel sera
U= / rJch' L —
la densité ne dépendant que de la distance au centre, le potentiel logarithmique du cercle est le même que si toute la masse est concentrée au centre. Cette masse est facile à calculer, c'est :
MASSE AySVLAIRE DE REVOLUTIOS
T air" /•■' >o
Le potentiel est donc, en un point A, situé h une distance a^ du centre du cercle rtj > a^,
Supposons que le cercle C se déplace d'une quantité s parallèlement a Taxe des .r, de façon à occuper la position C^; le potentiel en A sera (fig. 36)
la différence de potentiel sera donc dU
Fig. 36.
Nous allons étudier d'où provient cette différence : en un point de l'intérieur du cercle la densité était p', elle est devenue
Dans la région du cercle C extérieure au cercle C, la densité était nulle, elle est devenue égale à p' qui est petit puisque la densité o' est nulle sur la circonférence du cercle C, et Taire de la région considérée est de l'ordre de s. Il y a encore à considérer l'aire égale à la précédente, intérieure au cercle C et extérieure au cercle C , la variation de densité en sens contraire de la précédente est aussi de l'ordre de s au plus, puisqu'en un point de cette aire la densité p', petite sur le bord du cercle, est devenue nulle.
La variation de potentiel due à ces deux aires est donc néglififeable, et on a
igo ANNEAU DE SATURNE
Or
il vient donc, en supprimant le facteur s,
.'Lii<fa'='^"
L'intégrale que nous voulons calculer est donc, au facteur^ près,
' 1 ^ t)U OU ,
effale a — — ; or - — est la composante de 1 attraction suivant ° ox ox
Ox ; cette attraction est , sa composante suivant O.f est — — .
On a donc
x' -. 8^ , Tzaix I
la /\l a^'
et, si on suppose le point situé sur la surface du tore, c'est-à-dire si l'on a a^ = a^, il vient pour la valeur de l'intégrale
On a donc pour le potentiel en un point de la surface du tore
V == 27zaô L- r.a-L---i-—- rui;,
a^ en négligeant les quantités de l'ordre de —~ .
Section méridienne de l'anneau. — Si l'on appelle M la masse de Saturne, to la vitesse de rotation de l'anneau, une condition nécessaire de l'équilibre est que, à la surface du
tore, la fonction U -] soit une constante, U représentant
le potentiel de l'anneau sur lui-même augmenté du potentiel de
SECTIO.y MÉRlDIE.yyE DE L'ANSE AU 191
Saturne, ce dernier peut être représenté, avec l'approximation employée, par -y- et l'on doit avoir à la surface de l'anneau :
En posant
R^ =r Z^ 4- ilx ; la distance d'un point de la surface au centre du tore est
ce qui, avec l'approximation que l'on cherche, peut s'écrire
d'où enfin on a
La condition d'équilibre peut s'écrire
il faut donc que le coefficient de x soit nul, ce qui donne
, L jr, — h orl = 0 .
4^ lai'
Celte équation donne to", aux quantités du deuxième ordre près.
Comme —j- est aussi petit, on a
