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degré par rapport a 0,^,7 et 7 ; — — , -— r- sont du premier

igô ANNEAU DE SATURNE

,. d / dT \ degré par rapport a ces quantités; entin — ^^ — l——p est du premier degré avec des dérivées du second ordre. Les équations de Lagrange sont donc des équations à coefficients constants de la forme

A étant une constante, et B étant une fonction linéaire des arguments ; mais ces équations doivent admettre la solution o = s = o; il faut donc que A disparaisse de lui-même ; les équations sont alors des équations linéaires et homogènes, qui s'intègrent par les exponentielles, et on a,

ae"

les ). étant des racines d'équations algébriques, et les a étant des constantes.

Le mouvement sera stable si p ne croit pas au delà de toute limite ; en mettant en évidence la partie réelle et la partie imaginaire de )., on a

le mouvement sera stable si \ est négatif ou nul ; mais si nous démontrons que l'équation en )> a ses racines deux à deux égales et de signes contraires, nous verrons que \ ne peut être que nul. Or si nous changeons t en — t les équations ne changent pas, puisque les termes du second ordre seuls interviennent dans les équations de Lagrange ; il en résulte que si l'équation en À admet une racine, elle admettra aussi la racine de signe contraire, et par suite, la condition nécessaire de la stabilité de l'équilibre, est que les racines de l'équation en X soient purement imaofinaires. La condition est d'ailleurs évidemment suffisante puisque, dans ces conditions, p s'exprime par des fonctions trigonométriques de la variable réelle t.

Vous avons 2.p équations du second ordre, donc ). satisfait à une équation algébrique d'ordre 4p 5 c'est une équation en A", de degré 2p dont toutes les racines sont réelles et négatives.

(ll.iSGEMF.yr DE VAlilMil.ES

Les jnemitTCs des équations de Lagvange sont

?/. — ^»\ I + ?/,) — 2c>7 /. + 1 — ao, = ;/ \jr^^ ;

on peut écrire, en mettant en évidence dans R les termes de dei^rés o, i et y.

Il — H„-f-R. + R,:

et Ton a

i^R i">R. OR,

•Mi, OR, ,. . ,. . .

est une constante. —r-^- est une lonction linéaire.

Les secondes équations sont